Calculadora de matrices

¡Te damos la bienvenida a la calculadora de matrices de Omni! Este poderoso solucionador de matrices sirve como centro para conectar y coordinar todas las calculadoras de Omni relacionadas con diversas operaciones matriciales en matemáticas. Aquí puedes obtener una vista general del amplio mundo de las matrices, incluyendo:

• Aprender (o recordar) qué es una matriz en matemáticas;
• Cuáles son los tipos de matrices más importantes, y
• Encontrar una gran colección de enlaces a casi todas nuestras calculadoras de matrices.

¡Que lo disfrutes!

Una matriz es un nombre elegante que usamos para referirnos a una colección de números. Un ejemplo de matriz sería:

Las matrices tienen filas y columnas. En la matriz $A$ anterior, la 1ª fila es $[1\ 2]$ y la 2ª fila es $[3\ 4]$. Su 1ª columna y 2ª columna se leen respectivamente:

El número de filas y columnas da las dimensiones de la matriz. En nuestro ejemplo, $A$ es una matriz $2 \times 2$ de dos filas por dos columnas.

En función de esta dimensión, distinguimos varios tipos de matrices:

• Una matriz cuadrada, en la que el número de filas es igual al número de columnas.
• Una matriz fila solo tiene una fila (de ahí su nombre) y varias columnas.
• Una matriz columna tiene una sola columna y varias filas.

Además, decimos que una matriz tiene celdas en las que escribimos los elementos de nuestra matriz. Por ejemplo, la celda de la 2ª fila y la 1ª columna de $A$ contiene el valor $3$: las coordenadas de este elemento son $(2,1)$ y lo denotamos como $a_{2,1} = 3$.

Las matrices proporcionan una manera conveniente de almacenar y manipular más datos que un solo número. Y ahora surge la pregunta: ¿Qué operaciones podemos realizar con matrices? ¿Podemos, por ejemplo, sumarlas o multiplicarlas como los números normales?

Pues, casi. Dado que involucra muchos números a la vez, los cálculos con matrices son más complicados que los que se hacen con números individuales. Por ejemplo, si queremos sumarlas, primero tenemos que asegurarnos de que podemos, ya que solo se pueden sumar matrices con las mismas dimensiones. Y para la multiplicación, el requisito de dimensión es aún más complicado.

Esta calculadora de matrices es muy fácil de usar. Te explicamos cómo:

1. Los primeros campos de la parte superior de nuestra calculadora de matrices te ayudan a elegir la operación de matrices que necesitas. Están ordenados de manera lógica, pero no te preocupes: la lista completa está en la sección siguiente.
2. Elige el tamaño de la matriz. En este solucionador de matrices solo están disponibles las dimensiones $2\times2$ y $3\times3$. Hay más tamaños disponibles en las calculadoras especializadas para la operación matricial seleccionada; el enlace específico aparece en la parte inferior.
3. Ingresa los coeficientes de tu matriz y disfruta del resultado que aparece inmediatamente.
4. Para más información sobre la operación matricial que acabas de realizar, visita la herramienta dedicada.

Aquí enumeramos todas las operaciones matemáticas matriciales disponibles en nuestro solucionador de matrices. Para saber más sobre ellas, sigue los enlaces a las calculadoras dedicadas.

Operaciones matemáticas que actúan sobre una matriz (operaciones matriciales unarias)

• Operaciones que devuelven un número:

  • traza 🇺🇸;
  • determinante 🇺🇸;
  • rango 🇺🇸; y
  • norma de una matriz 🇺🇸.

• Operaciones que devuelven una matriz:

  • matriz inversa;
  • matriz pseudoinversa (inversa de Moore Penrose) 🇺🇸;
  • matriz adjunta 🇺🇸;
  • cofactores de una matriz 🇺🇸;
  • potencias de matrices 🇺🇸;
  • transpuesta 🇺🇸;
  • multiplicación por un número 🇺🇸;
  • diagonalización 🇺🇸.

• Descomposiciones:

  • factorización LU 🇺🇸;
  • descomposición de valores singulares (SVD) 🇺🇸;
  • factorización QR 🇺🇸;
  • factorización de Cholesky 🇺🇸; y
  • descomposición polar 🇺🇸.

• Otros:

  • valores propios y vectores propios 🇺🇸;
  • polinomio característico 🇺🇸;
  • valores singulares 🇺🇸; y
  • detección del tipo de matriz (véase el apartado siguiente).

Operaciones matemáticas que actúan sobre dos matrices (operaciones matriciales binarias)

• suma y resta 🇺🇸;
• multiplicación (matriz por matriz) 🇺🇸;
• producto (tensorial) de Kronecker 🇺🇸; y
• producto de Hadamard 🇺🇸.

Los tipos especiales de matrices más populares son los siguientes:

• diagonal;
• identidad;
• triangular (superior o inferior);
• simétrica;
• antisimétrica;
• invertible;
• ortogonal;
• definida positiva/negativa ; y
• semidefinida positiva/negativa.

Definamos brevemente cada uno de los tipos de matriz que hemos mencionado anteriormente.

• Matriz diagonal

  Son matrices cuadradas cuyos elementos fuera de la diagonal son todos iguales a cero. Calcular sus potencias es bastante sencillo.

• Matriz identidad

  Es una matriz diagonal que solo tiene unos en su diagonal y ceros en el resto. Es la matriz favorita de todo el mundo cuando se trata de multiplicar matrices, porque deja la otra matriz inalterada, ¡es como multiplicar un número por $1$!

• Matriz triangular (superior o inferior)

  Es una matriz cuadrada con coeficientes distintos de cero en la diagonal y por encima (si es triangular superior) o por debajo (si es triangular inferior) de dicha diagonal.

  Su determinante coincide con el producto de los valores de la diagonal. Se encuentra comúnmente en descomposiciones de matrices y métodos numéricos.

• Matriz simétrica

  Es una matriz cuadrada que es simétrica respecto a su diagonal, es decir, $a_{j,i}=a_{i,j}$ para todo $i,j=1, \ldots, n$. En otras palabras, el coeficiente de la $i$-ésima fila y $j$-ésima columna es igual al coeficiente de $j$-ésima fila y $i$-ésima columna. Una matriz así tiene valores propios reales y una base propia ortonormal.

• Matriz antisimétrica

  Es una matriz cuadrada cuyos elementos cumplen $a_{ji}=-a_{ij}$. De esto se deduce que los elementos de la diagonal son todos iguales a cero, ya que solo $a_{i,i}=0$ puede satisfacer $a_{i,i} = -a_{i,i}$. Por tanto, la traza de una matriz antisimétrica es siempre igual a cero.

• Matriz invertible

  Es una matriz cuadrada que tiene inversa, es decir, $A$ es invertible si existe $B$ tal que $AB = BA = I$, donde $I$ es la matriz identidad. El determinante de una matriz invertible siempre es distinto de cero.

• Matriz ortogonal

  Es una matriz cuadrada cuyas columnas constituyen un conjunto de vectores ortonormales (y sus vectores también forman tal conjunto). Equivalentemente, podemos decir que una matriz es ortogonal si su transpuesta coincide con su inversa. El determinante de una matriz ortogonal es igual a $1$ o $-1$.

• Matrices definidas

  Todas las matrices que consideramos a continuación son simétricas (o hermitianas). $x^{T}$ denota la transpuesta (hermitiana) de $x$ (tanto si $x$ es un vector como una matriz).

  • Matriz semidefinida positiva
    Una matriz $A$ es semidefinida positiva si $x^{{T}}Ax\geq 0$ para cada vector $x$.

    Solo las matrices semidefinidas positivas tienen valores propios reales y no negativos, y todas las matrices semidefinidas positivas tienen tales valores propios.

  • Matriz definida positiva
    Una matriz $A$ es definida positiva si $x^{ {T}}Ax > 0$ para cada vector distinto de cero $x$.

    Solo las matrices definidas positivas tienen valores propios reales y positivos, y todas las matrices definidas positivas tienen tales valores propios.

  • Matriz semidefinida negativa
    Una matriz $A$ es semidefinida negativa si $x^{ {T}}Ax\leq 0$ para cada vector $x$.

    Las matrices semidefinidas negativas son exactamente aquellas matrices cuyos valores propios son todos reales y no positivos.

  • Matriz semidefinida negativa
    Una matriz $A$ es definida negativa si $x^{ {T}}Ax < 0$ para cada vector distinto de cero $x$.

    Las matrices definidas negativas son exactamente aquellas matrices cuyos valores propios son todos reales y negativos.

Ciertos tipos de matrices en matemáticas son fáciles de identificar, mientras que otros tipos son más complejos. Aquí tienes algunos consejos sobre cómo detectar el tipo de matriz:

1. Empieza por fijarte en la estructura de la matriz: ¿Es diagonal? ¿Simétrica? ¿Triangular?
2. Otros tipos dependen de propiedades más profundas: comprueba los valores propios, la inversa, la transpuesta, el producto de la transpuesta, y la matriz inicial, etc.
3. Utiliza un software matemático avanzado, por ejemplo, el solucionador de matrices de Omni, para ayudarte a detectar el tipo de tu matriz.

Nadie lo sabe realmente, pero hay muchas. Los científicos inventan nuevas operaciones matriciales que les ayudan a resolver distintos problemas relacionados con las matrices y sus aplicaciones en la vida real. Recuerda que las operaciones matriciales pueden actuar sobre una o varias matrices, y pueden devolver otra matriz, varias matrices, o un único número/vector, o un conjunto de números/vectores o un polinomio, etc. ¡Las posibilidades son infinitas!

Como las matrices son una forma perfecta de tratar muchos números simultáneamente, son extremadamente útiles en muchos ámbitos de nuestra vida moderna, cargada de datos. Las aplicaciones de las matrices en la vida real incluyen:

• gráficos 3D, por ejemplo en juegos;
• criptografía y ciencia de datos;
• economía y econometría;
• ingeniería y construcción;
• electrónica; y
• física, en general.