Calculadora de Matrizes

Bem-vindo à calculadora de matrizes da Omni! Este excelente solucionador de matrizes serve como um kit que conecta e coordena todas as nossas calculadoras que envolvem diferentes operações de matrizes na matemática. Aqui, você pode ter uma visão panorâmica da ampla gama de possibilidades das matrizes:

• Você aprenderá (ou relembrará) o que é uma matriz em matemática;
• Quais são os tipos de matrizes mais importantes, e
• Você encontrará uma grande coleção de links para (quase) todas as nossas calculadoras de matrizes.

Aproveite!

Uma matriz é um nome sofisticado para um conjunto de números agrupados em dimensões $m \times n$. Um exemplo de uma matriz seria:

As matrizes têm linhas e colunas. Na matriz $A$ acima, a 1ª linha é $[1\ 2]$ e a 2ª linha é $[3\ 4]$. Sua 1ª coluna e 2ª colunas são lidas respectivamente como:

O número de linhas e colunas fornece as dimensões da matriz. Em nosso exemplo, $A$ é uma matriz $2 \times 2$ com duas linhas por duas colunas.

Com base nessa dimensão, distinguimos vários tipos de matrizes:

• Para uma matriz quadrada, o número de linhas é igual ao número de colunas.
• Uma matriz linha tem apenas uma linha (daí o nome) e várias colunas.
• Uma matriz coluna tem apenas uma coluna e várias linhas.

Além dos pontos anteriores, dizemos que uma matriz tem células nas quais escrevemos os elementos de nossa matriz. Por exemplo, a célula na 2ª linha e na 1ª coluna de $A$ contém o valor $3$: as coordenadas dessa célula são $(2,1)$ e nós a anotaríamos como $a_{2,1} = 3$.

As matrizes são uma maneira conveniente de armazenar e manipular mais dados do que apenas um número individual. E agora surge a pergunta: Que operações podemos realizar envolvendo matrizes? Podemos, por exemplo, adicioná-las ou multiplicá-las como números comuns?

Bem, quase. Como muitos números estão envolvidos simultaneamente, os cálculos com matrizes são mais complicados do que com números individuais. Por exemplo, se quisermos somá-las, primeiro precisamos ter certeza de que podemos, isto porque, somente matrizes com as mesmas dimensões podem ser somadas. E para a multiplicação, a exigência de dimensão é ainda mais complicada.

Essa calculadora matricial é muito simples de usar. Veja como:

1. Os primeiros campos na parte superior da nossa calculadora matricial ajudam você a escolher a operação matricial de que precisa. Elas estão ordenadas logicamente, mas não se preocupe, a lista completa está na próxima seção.
2. Escolha o tamanho da matriz. Neste solucionador de matrizes, somente as dimensões $2\times2$ e $3\times3$ estão disponíveis. Outros tamanhos estão disponíveis nas calculadoras dedicadas à operação da matriz selecionada. O link específico é exibido na parte inferior da calculadora.
3. Digite os coeficientes da sua matriz e o resultado aparece imediatamente.
4. Para obter mais informações sobre a operação de matriz que você acabou de executar, visite a ferramenta dedicada apropriada.

Aqui listamos todas as operações matemáticas de matrizes disponíveis em nosso solucionador de matrizes. Para saber mais sobre elas, siga os links para as calculadoras dedicadas.

Operações matemáticas que atuam em uma matriz (operações matriciais unárias)

• Operações que retornam um número:

  • Traço 🇺🇸;
  • Determinante 🇺🇸;
  • Característica de matriz 🇺🇸; e
  • Normas da matriz 🇺🇸.

• Operações que retornam uma matriz:

  • Matriz inversa 🇺🇸;
  • Matriz pseudo-inversa (inversa de Moore Penrose) 🇺🇸;
  • Matriz adjunta 🇺🇸;
  • Matriz de cofatores 🇺🇸;
  • Potência de matriz 🇺🇸;
  • Transposta 🇺🇸;
  • Multiplicação por um número 🇺🇸;
  • Diagonalização 🇺🇸.

• Decomposições:

  • Decomposição LU 🇺🇸;
  • Decomposição em valores singulares (SVD) 🇺🇸;
  • Decomposição QR 🇺🇸;
  • Decomposição de Cholesky 🇺🇸; e
  • Decomposição polar 🇺🇸.

• Outros:

  • Autovalores e autovetores 🇺🇸;
  • Polinômio característico 🇺🇸;
  • Valores singulares 🇺🇸; e
  • Detecção do tipo de matriz (consulte a próxima seção).

Operações matemáticas que atuam em duas matrizes (operações matriciais binárias)

• Adição e subtração 🇺🇸;
• Multiplicação (matriz por matriz) 🇺🇸;
• Produto de Kronecker 🇺🇸; e
• Produto de Hadamard 🇺🇸.

Os tipos mais populares de matrizes são os seguintes:

• Diagonal;
• Identidade;
• Triangular (superior ou inferior);
• Simétrica;
• Assimétrica oblíqua;
• Invertível;
• Ortogonal;
• Definida positiva/negativa; e
• Semidefinida positiva/negativa.

Vamos definir brevemente cada um dos tipos de matriz que mencionamos acima.

• Matriz diagonal

  Matrizes quadradas com coeficientes diferentes de zero somente nas células diagonais. É muito fácil calcular suas potências.

• Matriz de identidade

  Essa é uma matriz diagonal que tem apenas números um na diagonal e zeros em todos os outros lugares. É a matriz favorita de todos quando se trata de multiplicação de matrizes, pois deixa a outra matriz inalterada, como se você estivesse multiplicando um número por $1$!

• Matriz triangular (superior ou inferior)

  Uma matriz quadrada com coeficientes diferentes de zero na diagonal e acima da diagonal (se for triangular superior) ou abaixo da diagonal (se for triangular inferior).

  Seu determinante coincide com o produto dos valores da diagonal. Aparece com frequência em decomposições de matrizes e em métodos numéricos.

• Matriz simétrica

  Uma matriz quadrada simétrica com relação à sua diagonal, ou seja, $a_{j,i}=a_{i,j}$ para todos os $i,j=1, \ldots, n$. Em palavras: o coeficiente na $i$-ésima linha e $j$-ésima coluna é igual ao coeficiente da $j$-ésima linha e $i$-ésima coluna. Essa matriz tem autovalores reais e uma base própria ortonormal.

• Matriz assimétrica

  Uma matriz quadrada cujas entradas satisfazem $a_{ji}=-a_{ij}$. Segue-se que os elementos diagonais são todos iguais a zero, pois somente $a_{i,i}=0$ pode satisfazer $a_{i,i} = -a_{i,i}$. O traço de uma matriz antissimétrica é, portanto, sempre igual a zero.

• Matriz invertível

  Uma matriz quadrada que possui uma inversa, ou seja, $A$ é invertível se existir $B$ tal que $AB = BA = I$, onde $I$ é a matriz identidade. O determinante de uma matriz invertível é sempre diferente de zero.

• Matriz ortogonal

  Essa é uma matriz quadrada cujas colunas constituem um conjunto de vetores ortonormais (e seus vetores também formam esse conjunto). De forma equivalente, podemos dizer que uma matriz é ortogonal se sua transposta coincidir com sua inversa. O determinante de uma matriz ortogonal é igual a $1$ ou $-1$.

• Matrizes definidas

  Todas as matrizes que consideramos a seguir são simétricas (ou hermitianas). $x^{T}$ denota a transposta (hermitiana) de $x$ (seja $x$ um vetor ou uma matriz).

  • Matriz semidefinida positiva
    Uma matriz $A$ é semidefinida positiva se $x^{{T}}Ax\geq 0$ para todo vetor $x$.

    Somente as matrizes semidefinidas positivas têm autovalores reais e não negativos e todas as matrizes semidefinidas positivas possuem tais autovalores.

  • Matriz definida positiva
    Uma matriz $A$ é definida positiva se $x^{ {T}}Ax > 0$ para cada vetor não nulo $x$.

    Somente as matrizes definidas positivas têm autovalores reais e positivos, e todas as matrizes definidas positivas possuem tais autovalores.

  • Matriz semidefinida negativa
    Uma matriz $A$ é semidefinida negativa se $x^{ {T}}Ax\leq 0$ para todo vetor $x$.

    As matrizes semidefinidas negativas são exatamente aquelas matrizes cujos autovalores são todos reais e não positivos.

  • Matriz definida negativa
    Uma matriz $A$ é definida negativa se $x^{ {T}}Ax < 0$ para todo vetor diferente de zero $x$.

    As matrizes negativas definidas são exatamente aquelas matrizes cujos autovalores são todos reais e negativos.

Certos tipos de matrizes em matemática são fáceis de detectar, enquanto outros tipos são mais complexos. Aqui estão algumas dicas sobre como detectar o tipo de matriz:

1. Comece observando apenas a estrutura da matriz: ela é diagonal? Simétrica? Triangular?
2. Outros tipos dependem de análises mais detalhadas. Verifique os autovalores, a inversa, a transposta, o produto da transposta e a matriz inicial, etc.
3. Use um software de matemática avançada, por exemplo, o solucionador de matrizes da Omni, para ajudar você a detectar o tipo de sua matriz.

Ninguém sabe ao certo, mas há muitas delas. Os cientistas estão sempre criando novas operações matriciais para lidar com diferentes problemas relacionados a matrizes e suas aplicações no nosso dia a dia. Lembre-se de que as operações matriciais podem atuar em uma ou mais matrizes e podem retornar outra matriz, várias matrizes, um único número/vetor, um conjunto de números/vetores ou um polinômio, etc. As possibilidades são infinitas!

Como as matrizes são uma maneira perfeita de lidar com muitos números simultaneamente, elas são extremamente úteis em muitos domínios de nossa vida moderna, repleta de dados. As aplicações de matrizes no nosso dia a dia incluem:

• Gráficos 3D, por exemplo, em jogos;
• Criptografia e ciência de dados;
• Economia e econometria;
• Engenharia e construção;
• Eletrônica, e
• Física em geral.