Matrix Rechner

Willkommen bei Omni's Matrix-Rechner! Er ist das Zentrum aller Omni-Rechner, die verschiedene mathematische Matrix-Operationen beinhalten. Hier bekommst du einen Überblick über die weite Matrix-Landschaft aus der Vogelperspektive:

• Lerne (oder erinnere dich daran), was eine Matrix in der Mathematik ist,
• Finde heraus, was die wichtigsten Matrixtypen sind, und
• Entdecke eine große Sammlung von Links zu (fast) allen unseren Matrix-Rechnern.

Viel Spaß!

Eine Matrix ist ein schicker Name für eine Reihe von Zahlen. Ein Beispiel für eine Matrix wäre:

Matrizen haben Zeilen und Spalten. In der obigen Matrix $A$ ist die erste Zeile $[1\ 2]$ und die zweite Zeile $[3\ 4]$. Die erste und die zweite Spalte lauten jeweils:

Die Anzahl der Zeilen und Spalten gibt die Dimensionen der Matrix an. In unserem Beispiel ist $A$ eine $2 \cdot 2$ Matrix, also zwei Zeilen mal zwei Spalten.

Anhand dieser Dimensionen unterscheiden wir verschiedene Arten von Matrizen:

• Bei einer quadratischen Matrix ist die Anzahl der Zeilen gleich der Anzahl der Spalten.
• Ein Zeilenvektor ist eine Matrix, die aus nur einer Zeile und mehreren Spalten besteht.
• Ein Spaltenvektor ist eine Matrix, die aus nur einer Spalte und mehreren Zeilen besteht.

Wir sagen zudem, dass eine Matrix (auch Array genannt) Zellen hat, welche durch Koordinaten beschrieben werden können und in die wir die Elemente schreiben. Zum Beispiel enthält die Zelle in der 2. Zeile und der 1. Spalte von $A$ den Wert $3$: die Koordinaten dieser Zelle sind $(2,1)$ und wir würden sie als $a_{2,1} = 3$ notieren.

Matrizen sind eine praktische Möglichkeit, mehrere Zahlen zu speichern und zu bearbeiten. Und nun stellt sich die Frage: Welche Operationen können wir mit Matrizen durchführen? Können wir sie zum Beispiel wie normale Zahlen addieren oder multiplizieren?

Nun, fast. Da viele Zahlen gleichzeitig beteiligt sind, sind Berechnungen mit Matrizen kniffliger als mit einzelnen Zahlen. Wenn wir sie zum Beispiel addieren möchten, müssen wir einige Regeln beachten — nur Matrizen gleicher Dimensionen können addiert werden. Für die Multiplikation ist die Dimensionsanforderung noch schwieriger.

Dieser Matrix-Rechner ist sehr einfach zu verwenden. So geht's:

1. Die ersten Felder oben in unserem Rechner helfen dir, deine entsprechende Matrixoperation auszuwählen. Sie sind logisch sortiert, aber keine Sorge — die vollständige Liste findest du im nächsten Abschnitt.
2. Wähle die Matrixgröße. In diesem Rechner sind nur die Dimensionen $2\cdot 2$ und $3\cdot 3$ verfügbar. Weitere Größen sind in den Rechnern für die ausgewählte Matrixoperation verfügbar — den entsprechenden Link findest du weiter unten im Text.
3. Gib die Koeffizienten deiner Matrix ein und das Ergebnis erscheint sofort.
4. Weitere Informationen zu der gerade durchgeführten Matrix-Operation findest du im entsprechenden Tool.

Hier findest du eine Liste aller mathematischen Operationen, die in unserem Matrix-Rechner verfügbar sind. Um mehr über sie zu erfahren, folge den Links zu den entsprechenden Rechnern.

Rechenoperationen, die auf eine Matrix wirken (unäre Matrixoperationen)

• Operationen, die eine Zahl zurückgeben:

  • Matrix Spur Rechner 🇺🇸,
  • Matrix Determinante Rechner 🇺🇸,
  • Matrix Rang Rechner 🇺🇸, und
  • Einheitsmatrix Rechner 🇺🇸.

• Operationen, die eine Matrix zurückgeben:

  • Inverse Matrix Rechner 🇺🇸,
  • Pseudoinverse (Moore-Penrose-Inverse) Rechner 🇺🇸,
  • Adjungierte Matrix Rechner 🇺🇸,
  • Kofaktormatrix Rechner 🇺🇸,
  • Matrixpotenz Rechner 🇺🇸,
  • Matrixspiegelung (Transponieren) Rechner 🇺🇸,
  • Matrixmultiplikation mit Skalar Rechner 🇺🇸, und
  • Matrix Diagonalisieren Rechner 🇺🇸.

• Zerlegungen:

  • LR (LU) Zerlegung Rechner 🇺🇸,
  • Singulärwertzerlegung (SVD) Rechner 🇺🇸,
  • QR-Zerlegung Rechner 🇺🇸,
  • Cholesky-Zerlegung Rechner 🇺🇸, und
  • Polarzerlegung Rechner 🇺🇸.

• Andere:

  • Eigenwerte und Eigenvektoren Rechner 🇺🇸,
  • Charakteristisches Polynom Rechner 🇺🇸,
  • Singulärwerte Rechner 🇺🇸, und
  • Erkennung des Matrixtyps (siehe nächster Abschnitt).

Rechenoperationen, die auf zwei Matrizen wirken (binäre Matrixoperationen)

• Matrix Addition und Subtraktion Rechner 🇺🇸,
• Matrizenmultiplikation Rechner (Matrix mal Matrix) 🇺🇸,
• Tensorprodukt Rechner 🇺🇸, und
• Hadamard-Produkt Rechner (elementweises Produkt) 🇺🇸.

Die am häufigsten verwendeten Spezialtypen von Matrizen sind die folgenden:

• Diagonalmatrix,
• Einheitsmatrix,
• Dreiecksmatrix (oben oder unten),
• Symmetrische Matrix,
• Schiefsymmetrische Matrix/ antisymmetrische Matrix,
• Inverse Matrix,
• Orthogonale Matrix,
• Positiv/negativ definite Matrix, und
• Positiv/negativ semidefinite Matrix.

Definieren wir kurz jeden der oben erwähnten Matrixtypen.

• Diagonalmatrix

  Quadratische Matrizen, die nur in den diagonalen Zellen Koeffizienten haben, die nicht Null sind. Es ist sehr einfach, ihre Potenzen zu berechnen.

• Einheitsmatrix

  Dies ist eine Diagonalmatrix, die auf der Diagonalen nur Einsen und in allen anderen Zellen nur Nullen hat. Sie ist jedermanns Lieblingsmatrix, wenn es um die Matrixmultiplikation geht, denn sie lässt die andere Matrix unverändert — ähnlich der Multiplikation einer Zahl mit $1$!

• Dreiecksmatrix (oben oder unten)

  Eine quadratische Matrix mit Koeffizienten ungleich Null auf der Diagonalen und oberhalb der Diagonalen (wenn sie eine obere Dreiecksmatrix ist) oder unterhalb der Diagonalen (wenn sie eine untere Dreiecksmatrix ist).

  Ihre Determinante entspricht dem Produkt der Diagonal-Werte. Sie kommt oft bei Matrixzerlegungen und numerischen Methoden vor.

• Symmetrische Matrix

  Eine quadratische Matrix, die in Bezug auf ihre Diagonale symmetrisch ist, d. h. $a_{j,i}=a_{i,j}$ für alle $i,j=1, \ldots, n$. In Worten: Der Koeffizient in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte ist gleich dem Koeffizienten der $j$-ten Zeile und $i$-ten Spalte. Eine solche Matrix hat reelle Eigenwerte und eine orthonormale Eigenbasis.

• Schiefsymmetrische Matrix/ Antisymmetrische Matrix

  Eine quadratische Matrix, deren Elemente die Bedingung $a_{ji}=-a_{ij}$ erfüllen. Daraus folgt, dass die Diagonalelemente alle gleich null sind, denn nur $a_{i,i}=0$ kann $a_{i,i} = -a_{i,i}$ erfüllen. Die Spur einer antisymmetrischen Matrix ist also immer gleich null.

• Inverse Matrix

  Eine quadratische Matrix, die eine Inverse hat, d. h. $A$, ist invertierbar, wenn es $B$ so gibt, dass $AB = BA = I$, wobei $I$ die Einheitsmatrix ist. Die Determinante einer inversen Matrix ist immer ungleich Null.

• Orthogonale Matrix

  Dies ist eine quadratische Matrix, deren Spalten eine Menge von orthonormalen Vektoren bilden (und ihre Vektoren bilden ebenfalls eine solche Menge). Gleichbedeutend können wir sagen, dass eine Matrix orthogonal ist, wenn ihre Spiegelmatrix mit ihrer Inversen übereinstimmt. Die Determinante einer orthogonalen Matrix ist gleich $1$ oder $-1$.

• Definite Matrizen

  Alle Matrizen, die wir im Folgenden betrachten, sind symmetrisch (oder hermitesch). $x^{T}$ bezeichnet die (hermitesche) Spiegelung (Transponierung) von $x$ (egal, ob $x$ ein Vektor oder eine Matrix ist).

  • Positive-Semidefinite Matrix
    Eine Matrix $A$ ist positiv-semidefinit, wenn $x^{{T}}Ax\geq 0$ für jeden Vektor $x$.

    Nur positive-semidefinite Matrizen haben reelle und nicht-negative Eigenwerte, und alle positiven semidefiniten Matrizen haben solche Eigenwerte.

  • Positiv-Definite Matrix
    Eine Matrix $A$ ist positiv-definit, wenn $x^{ {T}}Ax > 0$ für jeden von null verschiedenen Vektor $x$.

    Nur positiv-definite Matrizen haben reelle und positive Eigenwerte, und alle positiv definiten Matrizen haben solche Eigenwerte.

  • Negative-Semidefinite Matrix
    Eine Matrix $A$ ist negativ-semidefinit, wenn $x^{ {T}}Ax\leq 0$ für jeden Vektor $x$.

    Negativ-semidefinite Matrizen sind genau die Matrizen, deren Eigenwerte alle reell und nicht positiv sind.

  • Negativ-Definite Matrix
    Eine Matrix $A$ ist negativ-definit, wenn $x^{ {T}}Ax < 0$ für jeden von null verschiedenen Vektor $x$.

    Negativ-definite Matrizen sind genau die Matrizen, deren Eigenwerte alle reell und negativ sind.

Bestimmte Arten von Matrizen in der Mathematik lassen sich leicht erkennen, während andere Arten komplizierter sind. Hier sind ein paar Tipps, wie du den Matrixtyp erkennen kannst:

1. Sieh dir zunächst die Matrixstruktur an: Ist sie diagonal? Symmetrisch? Dreieckig?
2. Andere Typen hängen von komplexeren Eigenschaften ab — prüfe die Eigenwerte, die Inverse, die Spiegelung, das Produkt aus Spiegelungsmatrix und Ausgangsmatrix usw.
3. Verwende Mathematik-Software, z. B. den Matrix-Rechner von Omni, um den Typ deiner Matrix zu bestimmen.

Niemand weiß es wirklich, aber es gibt eine Menge. Wissenschaftler/innen entwickeln neue Matrixoperationen, die ihnen helfen, verschiedene Probleme im Zusammenhang mit Matrizen und ihren Anwendungen im echten Leben zu lösen. Denke daran, dass Matrixoperationen auf eine oder mehrere Matrizen wirken können und eine andere Matrix, mehrere Matrizen, eine einzelne Zahl / Vektor oder eine Menge von Zahlen / Vektoren oder ein Polynom usw. zurückgeben können. Die Möglichkeiten sind endlos!

Da Matrizen eine perfekte Möglichkeit sind, mit vielen Zahlen gleichzeitig umzugehen, sind sie in vielen Bereichen unseres modernen, datenreichen Lebens extrem nützlich. Zu den Anwendungen von Matrizen im echten Leben gehören:

• 3D-Grafiken, z. B. in Spielen,
• Kryptografie und Datenwissenschaft,
• Wirtschaft und Ökonometrie,
• Ingenieurwesen und Bauwesen,
• Elektronik, und
• Physik im Allgemeinen.