Calcolatore di Matrici

Eccoti nel calcolatore di matrici di Omni! Questo grande risolutore di matrici funge da centro per collegare e coordinare tutti i calcolatori di Omni che coinvolgono varie operazioni matriciali in matematica. Qui puoi avere una visione d'insieme dell'ampio panorama delle matrici:

• Imparare (o ricordare) cosa è una matrice in matematica;
• Quali sono i più importanti tipi di matrice e
• Trovare un'ampia raccolta di link a (quasi) tutti i nostri calcolatori di matrici.

Buon divertimento!

Una matrice è un nome elegante per indicare una serie di numeri. Un esempio di matrice potrebbe essere

Le matrici hanno righe e colonne. Nella matrice $A$ qui sopra, la prima riga è $[1\ 2]$ e la seconda riga è $[3\ 4]$. La prima colonna e la seconda colonna leggono rispettivamente

Il numero di righe e colonne indica le dimensioni della matrice. Nel nostro esempio, $A$ è una matrice $2 \times 2$ con due righe per due colonne.

In base a questa dimensione, distinguiamo diversi tipi di matrici:

• Per una matrice quadrata, il numero di righe è uguale al numero di colonne;
• Una matrice riga ha una sola riga (da cui il nome) e diverse colonne; e
• Una matrice colonna ha una sola colonna e diverse righe.

Inoltre, diciamo che una matrice ha celle in cui scriviamo gli elementi della nostra matrice. Ad esempio, la cella nella seconda riga e nella prima colonna di $A$ contiene il valore $3$: le coordinate di questa cella sono $(2,1)$ e la annoteremo come $a_{2,1} = 3$.

Le matrici sono un modo comodo per immagazzinare e manipolare più dati di un singolo numero. Quindi ora sorge la domanda: Quali operazioni possiamo eseguire sulle matrici? Possiamo, ad esempio, sommarle o moltiplicarle come i normali numeri?

Beh, quasi. Poiché sono coinvolti molti numeri contemporaneamente, i calcolatori per le matrici sono più complicati rispetto a quelli per i singoli numeri. Ad esempio, se vogliamo sommarle, dobbiamo prima assicurarci di poterlo fare: solo le matrici con le stesse dimensioni possono essere sommate. E per la moltiplicazione, il requisito delle dimensioni è ancora più complicato.

Questo calcolatore di matrici è molto semplice da usare. Ecco come fare:

1. I primi campi nella parte superiore del nostro calcolatore di matrici ti aiutano a scegliere l'operazione matriciale di cui hai bisogno. Sono ordinati in modo logico, ma non preoccuparti: l'elenco completo è riportato nella sezione successiva;
2. Scegli la dimensione della matrice. In questo risolutore di matrici sono disponibili solo le dimensioni $2\times2$ e $3\times3$. Altre dimensioni sono disponibili nei calcolatori dedicati all'operazione matriciale selezionata — il link specifico è visualizzato in basso;
3. Inserisci i coefficienti della tua matrice e goditi il risultato che appare immediatamente; e
4. Per maggiori informazioni sull'operazione matriciale che hai appena eseguito, visita lo strumento dedicato.

Qui elenchiamo tutte le operazioni matematiche disponibili nel nostro risolutore di matrici. Per saperne di più, segui i link ai calcolatori dedicati.

Operazioni matematiche che agiscono su una matrice (operazioni matriciali unarie)

• Operazioni che restituiscono un numero:

  • Traccia 🇺🇸;
  • Determinante 🇺🇸;
  • Rango 🇺🇸; e
  • Norme di matrice 🇺🇸.

• Operazioni che restituiscono una matrice:

  • Matrice inversa 🇺🇸;
  • Matrice pseudoinversa (pseudoinversa di Moore Penrose) 🇺🇸;
  • Matrice trasposta coniugata 🇺🇸;
  • Matrice di cofattori 🇺🇸;
  • Potenza di una matrice 🇺🇸;
  • Trasposizione 🇺🇸;
  • Moltiplicazione per un numero 🇺🇸;
  • Diagonalizzazione 🇺🇸.

• Decomposizioni:

  • Decomposizione LU 🇺🇸;
  • Decomposizione a valori singolari (SVD) 🇺🇸;
  • Decomposizione QR 🇺🇸;
  • Decomposizione di Cholesky 🇺🇸; e
  • Decomposizione polare 🇺🇸.

• Altro:

  • Autovalori e autovettori 🇺🇸;
  • Polinomio caratteristico 🇺🇸;
  • Valori singolari 🇺🇸; e
  • Rilevamento del tipo di matrice (vedi la sezione successiva).

Operazioni matematiche che agiscono su due matrici (operazioni matriciali binarie)

• Addizione e sottrazione 🇺🇸;
• Moltiplicazione (matrice per matrice) 🇺🇸;
• Prodotto di Kronecker (tensore) 🇺🇸; e
• Prodotto di Hadamard (entrywise) 🇺🇸.

I tipi speciali di matrici più diffusi sono i seguenti:

• Diagonale;
• Identità;
• Triangolare (superiore o inferiore);
• Simmetrica;
• Antisimmetrica;
• Invertibile;
• Ortogonale;
• Definita positiva/negativa; e
• Semi-definita positiva/negativa.

Definiamo brevemente ciascuno dei tipi di matrice che abbiamo menzionato in precedenza.

• Matrice diagonale

  Matrici quadrate che hanno coefficienti non nulli solo nelle celle diagonali. È molto facile calcolare le loro potenze;

• Matrice identità

  Si tratta di una matrice diagonale che ha numeri solo sulla diagonale e zeri ovunque. È la matrice preferita da tutti quando si parla di moltiplicazione matriciale, perché lascia inalterata l'altra matrice - un po' come moltiplicare un numero per $1$!

• Matrice triangolare (superiore o inferiore)

  Una matrice quadrata con coefficienti non nulli sulla diagonale e sopra la diagonale (se è triangolare superiore) o sotto la diagonale (se è triangolare inferiore).

  Il suo determinante coincide con il prodotto dei valori della diagonale. Compare spesso nelle scomposizioni di matrici e nei metodi numerici;

• Matrice simmetrica

  Una matrice quadrata che è simmetrica rispetto alla sua diagonale, cioè $a_{j,i}=a_{i,j}$ per tutti i $i,j=1, \ldots, n$. In altre parole: il coefficiente della $i$-esima riga e della $j$-esima colonna è uguale al coefficiente della $j$-esima riga e della $i$-esima colonna. Una matrice di questo tipo ha autovalori reali e una base di autovalori ortonormale;

• Matrice simmetrica (antisimmetrica)

  Una matrice quadrata le cui voci soddisfano $a_{ji}=-a_{ij}$. Ne consegue che gli elementi della diagonale sono tutti uguali a zero, perché solo $a_{i,i}=0$ può soddisfare $a_{i,i} = -a_{i,i}$. La traccia di una matrice antisimmetrica è quindi sempre uguale a zero;

• Matrice invertibile

  Una matrice quadrata che ha un'inversa, cioè $A$ è invertibile se esiste $B$ tale che $AB = BA = I$, dove $I$ è la matrice identità. Il determinante di una matrice invertibile è sempre diverso da zero;

• Matrice ortogonale

  È una matrice quadrata le cui colonne costituiscono un insieme di vettori ortonormali (e anche i suoi vettori formano tale insieme). In modo equivalente possiamo dire che una matrice è ortogonale se la sua trasposizione coincide con la sua inversa. Il determinante di una matrice ortogonale è uguale a $1$ o $-1$;

• Matrici definite

  Tutte le matrici che consideriamo di seguito sono simmetriche (o hermitiane). $x^{T}$ denota la trasposizione (hermitiana) di $x$ (sia che $x$ sia un vettore o una matrice);

  • Matrice semi-definita positiva
    Una matrice $A$ è semi-definita positiva se $x^{{T}}Ax\geq 0$ per ogni vettore $x$.

    Solo le matrici semi-definite positive hanno autovalori reali e non negativi e tutte le matrici semi-definite positive hanno tali autovalori;

  • Matrice definita positiva
    Una matrice $A$ è definita positiva se $x^{ {T}}Ax > 0$ per ogni vettore non nullo $x$.

    Solo le matrici definite positive hanno autovalori reali e positivi e tutte le matrici definite positive hanno tali autovalori;

  • Matrice semi-definita negativa
    Una matrice $A$ è semi-definita negativa se $x^{ {T}}Ax\leq 0$ per ogni vettore $x$.

    Le matrici semi-definite negative sono esattamente quelle matrici i cui autovalori sono tutti reali e non positivi; e

  • Matrice definita negativa
    Una matrice $A$ è definita negativamente se $x^{ {T}}Ax < 0$ per ogni vettore non nullo $x$.

    Le matrici definite negativamente sono esattamente quelle matrici i cui autovalori sono tutti reali e negativi.

Alcuni tipi di matrici in matematica sono facili da individuare, mentre altri sono più complicati. Ecco alcuni consigli su come individuare il tipo di matrice:

1. Inizia osservando la struttura della matrice: È diagonale? simmetrica? triangolare?
2. Altri tipi dipendono da proprietà più profonde: controlla gli autovalori, l'inverso, la trasposizione, il prodotto della trasposizione e della matrice iniziale, etc; oppure
3. Usa un software matematico avanzato, ad esempio il risolutore di matrici di Omni, per aiutarti a individuare il tipo di matrice.

Nessuno lo sa veramente, ma ce ne sono molte. Gli scienziati hanno ideato nuove operazioni matriciali che li aiutano a risolvere diversi problemi legati alle matrici e alle loro applicazioni nella vita reale. Ricorda che le operazioni matriciali possono agire su una o più matrici e possono restituire un'altra matrice, più matrici, un singolo numero/vettore, un insieme di numeri/vettori o un polinomio, etc. Le possibilità sono infinite!

Poiché le matrici sono un modo perfetto per trattare un gran numero di numeri contemporaneamente, sono estremamente utili in molti ambiti della nostra vita moderna e ricca di dati. Le applicazioni reali delle matrici includono:

• Grafica 3D, ad esempio nei giochi;
• Crittografia e scienza dei dati;
• Economia e econometria;
• Ingegneria e costruzioni;
• Elettronica; e
• Fisica in generale.