Kalkulator macierzy

Witaj w Omni kalkulatorze macierzy! To specjalistyczne narzędzie do rozwiązywania macierzy służy jako centralny punkt, który łączy i wskazuje drogę do wszystkich Omni kalkulatorów, które obejmują różne operacje macierzowe w matematyce. Dzięki temu narzędziu, zobaczysz świat macierzy w szerszej perspektywie:

• Dowiesz się (lub przypomnisz sobie) czym jest macierz;
• Jakie są najważniejsze typy macierzy, oraz
• Znajdziesz dużą kolekcję linków do (prawie) wszystkich naszych kalkulatorów macierzowych.

Baw się dobrze!

Macierz to wymyślna nazwa tablicy liczb. Przykładem macierzy może być:

Macierze mają wiersze i kolumny. W powyżej macierzy $A$ pierwszy wiersz to $[1\ 2]$, a drugi wiersz to $[3\ 4]$. Jego pierwsza i druga kolumna to odpowiednio:

Liczba wierszy i kolumn określa wymiary macierzy. W naszym przykładzie $A$ jest macierzą $2 \times 2$ z dwoma wierszami i dwiema kolumnami.

Na podstawie tego wymiaru rozróżniamy kilka typów macierzy:

• Dla macierzy kwadratowej liczba wierszy jest równa liczbie kolumn.
• Macierz wierszowa ma tylko jeden wiersz (stąd nazwa) i kilka kolumn.
• Macierz kolumnowa ma tylko jedną kolumnę i kilka wierszy.

Ponadto mówimy, że macierz ma komórki, w których zapisujemy elementy naszej tablicy. Na przykład komórka w 2. wierszu i 1. kolumnie macierzy $A$ zawiera wartość $3$: współrzędne tej komórki to $(2,1)$ i zapisalibyśmy ją jako $a_{2,1} = 3$.

Macierze są wygodnym sposobem na przechowywanie i manipulowanie większą ilością danych niż tylko pojedyncza liczba. I teraz pojawia się pytanie: jakie operacje możemy wykonywać na macierzach? Czy możemy na przykład dodawać lub mnożyć je tak jak zwykłe liczby?

Cóż, prawie. Ponieważ wiele liczb jest zaangażowanych jednocześnie, obliczenia z macierzami są bardziej skomplikowane niż na pojedynczych liczbach. Na przykład jeśli chcemy dodać macierze, to musimy najpierw upewnić się, że możemy to zrobić — tylko macierze o tych samych wymiarach mogą być dodawane. W przypadku mnożenia wymóg wymiaru jest jeszcze bardziej skomplikowany.

Omni kalkulator macierzy jest bardzo prosty w użyciu. Oto jak z niego korzystać:

1. Kilka pierwszych pól na górze naszego kalkulatora macierzy pomoże ci wybrać operację na danej macierzy. Są one posortowane w logiczny sposób, ale bez obaw — cała lista znajduje się w następnym rozdziale.
2. Wybierz rozmiar macierzy. W naszym narzędziu dostępne są tylko wymiary $2\times2$ i $3\times3$. Więcej rozmiarów jest dostępnych w kalkulatorach dedykowanych wybranej operacji macierzowej — linki do specjalistycznych narzędzi znajdziesz w poniższej sekcji.
3. Wprowadź elementy swojej macierzy i ciesz się wynikiem, który pojawi się natychmiast.
4. Aby uzyskać więcej informacji na temat właśnie wykonanej operacji macierzowej, odwiedź dedykowane narzędzie.

Poniżej znajdziesz listę wszystkich operacji matematycznych na macierzach możliwych do wykonania za pomocą naszych narzędzi. Aby dowiedzieć się więcej na ich temat, skorzystaj z linków do dedykowanych kalkulatorów.

Operacje matematyczne, działające na jedną macierz (jednoargumentowe/unarne operacje na macierzach)

• Operacje zwracające daną liczbę:

  • ślad macierzy 🇺🇸
  • wyznacznik macierzy 🇺🇸
  • rząd macierzy 🇺🇸
  • normy macierzy 🇺🇸

• Operacje, które zwracają macierz:

  • macierz odwrotna 🇺🇸
  • macierz pseudoodwrotna (odwrotność Moore'a Penrose'a) 🇺🇸
  • macierz dołączona 🇺🇸
  • minor macierzy 🇺🇸
  • potęga macierzy 🇺🇸
  • transpozycja macierzy 🇺🇸
  • mnożenie macierzy przez liczbę 🇺🇸
  • diagonalizacja macierzy 🇺🇸

• Rozkłady:

  • rozkład LU macierzy 🇺🇸
  • rozkład według wartości osobliwych (SVD) 🇺🇸
  • rozkład QR macierzy 🇺🇸
  • rozkład Choleskiego macierzy 🇺🇸
  • rozkład biegunowy operatora 🇺🇸

• Inne:

  • wartości własne i wektory własne 🇺🇸
  • wielomian charakterystyczny 🇺🇸
  • wartości osobliwe 🇺🇸
  • Wykrywanie typu macierzy (zobacz następny rozdział)

Operacje matematyczne działające na dwóch macierzach (dwuargumentowe/binarne operacje na macierzach)

• dodawanie i odejmowanie 🇺🇸
• mnożenie (macierzy przez macierz) 🇺🇸
• iloczyn Kroneckera (tensorowy) 🇺🇸
• iloczyn Hadamarda (iloczyn po współrzędnych) 🇺🇸

Najpopularniejsze szczególne typy macierzy są następujące:

• diagonalna
• jednostkowa
• trójkątna (górno- lub dolnotrójkątna)
• symetryczna
• antysymetryczna (skośnie symetryczna)
• odwrotna
• ortogonalna
• dodatnio/ujemnie określona
• nieujemnie/niedodatnio określona (dodatnio/ujemnie półokreślona)

Zdefiniujmy pokrótce każdy z typów macierzy, o których wspomnieliśmy powyżej.

• Macierz diagonalna

  Macierz kwadratowa, która ma niezerowe współczynniki tylko w komórkach na przekątnej. Bardzo łatwo jest obliczyć jej potęgi.

• Macierz jednostkowa

  Jest to macierz diagonalna, która ma same jedynki na przekątnej i zera wszędzie indziej. Jest to ulubiona macierz wszystkich, jeśli chodzi o wykonywanie mnożenia, ponieważ pozostawia drugą macierz niezmienioną — podobnie jak mnożenie liczby przez $1$!

• Macierz trójkątna (górnotrójkątna lub dolnotrójkątna)

  Macierz kwadratowa z niezerowymi współczynnikami na przekątnej i powyżej przekątnej (jeśli jest górnotrójkątna) lub poniżej przekątnej (jeśli jest dolnotrójkątna).

  Jej wyznacznik pokrywa się z iloczynem wartości przekątnych. Często pojawia się w rozkładach macierzy i metodach numerycznych.

• Macierz symetryczna

  Macierz kwadratowa, która jest symetryczna względem swojej przekątnej, tj. $a_{j,i}=a_{i,j}$ dla wszystkich $i,j=1, \ldots, n$. Innymi słowy: współczynnik w $i$-tym wierszu i $j$-tej kolumnie jest równy współczynnikowi w $j$-tym wierszu i $i$-tej kolumnie. Taka macierz ma rzeczywiste wartości własne i bazę ortonormalną.

• Macierz skośnie symetryczna (antysymetryczna)

  Macierz kwadratowa, której elementy spełniają $a_{ji}=-a_{ij}$. Wynika z tego, że wszystkie elementy przekątnej są równe zero, ponieważ tylko $a_{i,i}=0$ może spełniać $a_{i,i} = -a_{i,i}$. Ślad macierzy antysymetrycznej jest zatem zawsze równy zero.

• *Macierz odwrotna

  Macierz kwadratowa, która ma odwrotność, tj. $A$ jest odwracalna, jeśli istnieje $B$ taka, że $AB = BA = I$, gdzie $I$ jest macierzą jednostkową. Wyznacznik macierzy odwracalnej jest zawsze niezerowy.

• Macierz ortogonalna

  Jest to macierz kwadratowa, której kolumny tworzą zbiór wektorów ortonormalnych (jej wektory również tworzą taki zbiór). Równoważnie możemy powiedzieć, że macierz jest ortogonalna, jeśli jej transpozycja pokrywa się z jej odwrotnością. Wyznacznik macierzy ortogonalnej jest równy $1$ lub $-1$.

• Macierze określone

  Wszystkie macierze, które rozważamy poniżej, są symetryczne (lub hermitowskie). $x^{T}$ oznacza (hermitowską) transpozycję $x$ (niezależnie od tego, czy $x$ jest wektorem, czy macierzą).

  • Macierz dodatnio półokreślona
    Macierz $A$ jest dodatnio półokreślona, jeśli $x^{{T}}Ax\geq 0$ dla każdego wektora $x$.

    Tylko dodatnie macierze półokreślone mają rzeczywiste i nieujemne wartości własne, a wszystkie dodatnie macierze półokreślone przybierają następujące parametry:

  • Macierz dodatnio określona
    Macierz $A$ jest dodatnio określona, jeśli $x^{ {T}}Ax > 0$ dla każdego niezerowego wektora $x$.

    Tylko macierze dodatnio określone mają rzeczywiste i dodatnie wartości własne, a wszystkie macierze dodatnio określone mają takie wartości własne.

  • Macierz ujemnie półokreślona
    Macierz $A$ jest ujemnie półokreślona, jeśli $x^{ {T}}Ax\leq 0$ dla każdego wektora $x$.

    Macierze ujemnie półokreślone to dokładnie te macierze, których wszystkie wartości własne są rzeczywiste i niedodatnie.

  • Macierz ujemnie określona
    Macierz $A$ jest ujemnie określona, jeśli $x^{ {T}}Ax < 0$ dla każdego niezerowego wektora $x$.

    Macierze ujemnie określone to dokładnie te macierze, których wszystkie wartości własne są rzeczywiste i ujemne.

Niektóre typy macierzy w matematyce są łatwe do wykrycia, podczas gdy inne są bardziej skomplikowane. Oto kilka wskazówek na temat określania typu macierzy:

1. Zacznij od spojrzenia na strukturę macierzy: Czy jest diagonalna? Symetryczna? Trójkątna?
2. Inne typy zależą od bardziej złożonych własności — sprawdź wartości własne, odwrotność, transpozycję, iloczyn transpozycji itp.
3. Użyj zaawansowanego narzędzia matematycznego, np. Omni kalkulatora macierzy, który pomoże ci wykryć typ twojej macierzy.

Nikt tak naprawdę nie wie, ale jest ich wiele. Naukowcy wymyślają nowe operacje na macierzach, które pomagają im radzić sobie z różnymi problemami związanymi z macierzami i ich zastosowaniami w prawdziwym życiu. Pamiętaj, że operacje na macierzach mogą działać na jednej lub wielu macierzach i mogą zwracać inną macierz, wiele macierzy, pojedynczą liczbę/wektor, zbiór liczb/wektorów, wielomian itp. Możliwości są nieograniczone!

Ponieważ macierze są doskonałym sposobem na radzenie sobie z wieloma liczbami jednocześnie, są niezwykle przydatne w wielu dziedzinach naszego współczesnego, pełnego danych życia. Rzeczywiste zastosowania macierzy obejmują:

• grafikę 3D, np. w grach;
• kryptografię i naukę o danych;
• ekonomię i ekonometrię;
• inżynierię i budownictwo;
• elektronikę; oraz
• fizykę.