Calculateur de matrice

Bienvenue sur le calculateur de matrice d'Omni Calculator ! Cet outil de calcul matriciel centralise tous les calculateurs d'Omni qui comportent diverses opérations matricielles en mathématiques. Ici, vous pouvez avoir une vue d'ensemble du vaste paysage matriciel et :

• apprendre (ou vous rappeler) ce qu'est une matrice en mathématiques ;
• déterminer les types de matrices les plus importants ;
• trouver une large collection de liens vers (presque) tous nos calculateurs de matrices.

Bonne lecture !

Une matrice est un terme élégant pour parler d'un tableau de nombres. Un exemple de matrice serait :

Les matrices ont des lignes et des colonnes. Dans la matrice $A$ ci-dessus, la 1^ère ligne est $[1\ 2]$ et la 2ᵉ ligne est $[3\ 4]$. Sa 1^ère et 2ᵉ colonnes se lisent respectivement :

Le nombre de lignes et de colonnes donne les dimensions de la matrice. Dans notre exemple, $A$ est une matrice $2 \times 2$ car elle a deux lignes et deux colonnes.

En fonction de cette dimension, on distingue plusieurs types de matrices.

• Pour une matrice au carré, le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes.
• Une matrice ligne (aussi appelée vecteur ligne) n'a qu'une ligne (d'où son nom) et plusieurs colonnes.
• Une matrice colonne (aussi appelée vecteur colonne) comporte une seule colonne et plusieurs lignes.

De plus, on dit qu'une matrice a des cellules dans lesquelles on écrit les éléments de notre tableau. Par exemple, la cellule située à la 2ᵉ ligne et 1^ère colonne de $A$ contient la valeur $3$ : les coordonnées de cette cellule sont $(2,1)$ et nous la noterons $a_{2,1} = 3$.

Les matrices sont pratiques pour stocker et manipuler plus de données qu'un simple nombre tout seul. La question se pose donc maintenant : quelles opérations pouvons-nous effectuer sur les matrices ? Pouvons-nous par exemple les additionner ou les multiplier comme des nombres ordinaires ?

Eh bien, presque. Étant donné que de plusieurs nombres sont impliqués simultanément, les calculs avec les matrices sont plus délicats qu'avec des nombres seuls. Par exemple, si nous voulons les additionner, nous devons d'abord nous assurer que nous pouvons le faire ; seules les matrices ayant les mêmes dimensions peuvent être additionnées. Et pour la multiplication, la condition de dimension est encore plus délicate.

Ce calculateur de matrice est très simple à utiliser. Voici comment procéder :

1. Les premiers champs en haut de notre calculateur de matrice vous aident à choisir l'opération matricielle dont vous avez besoin.
2. Choisissez la taille de la matrice. Dans ce calculateur de calcul matriciel, seules les dimensions $2\times2$ et $3\times3$ sont disponibles. D'autres dimensions sont disponibles dans les calculateurs dédiés à l'opération matricielle sélectionnée. Le lien du calculateur en question est affiché en bas.
3. Entrez les coefficients de votre matrice et le résultat apparaît immédiatement.
4. Pour plus d'informations sur l'opération matricielle que vous venez d'effectuer, visitez l'outil dédié.

Nous avons listé ici toutes les opérations matricielles disponibles dans notre calculateur de matrice. Pour en savoir plus, suivez les liens vers les calculateurs dédiés.

Opérations mathématiques agissant sur une seule matrice (opérations matricielles unaires)

• Opérations qui renvoient un nombre :

  • Trace 🇺🇸
  • Déterminant
  • Rang 🇺🇸
  • Norme matricielle 🇺🇸

• Opérations qui renvoient une matrice :

  • Inverse d'une matrice 🇺🇸
  • Pseudo-inverse de Moore-Penrose 🇺🇸
  • Matrice adjointe (ou transconjuguée) 🇺🇸
  • Matrice des cofacteurs (ou comatrice) 🇺🇸
  • Puissance d'une matrice 🇺🇸
  • Transposée d'une matrice 🇺🇸
  • Multiplication par un nombre 🇺🇸
  • Diagonalisation 🇺🇸

• Décompositions :

  • Décomposition LU 🇺🇸
  • Décomposition en valeurs singulières (SVD) 🇺🇸
  • Décomposition QR 🇺🇸
  • Décomposition de Cholesky 🇺🇸
  • Décomposition polaire 🇺🇸

• Autres :

  • Valeurs propres et vecteurs propres 🇺🇸
  • Polynôme caractéristique 🇺🇸
  • Valeurs singulières 🇺🇸
  • Détermination du type de matrice (voir la section suivante)

Opérations mathématiques agissant sur deux matrices (opérations matricielles binaires)

• Addition et soustraction 🇺🇸
• Multiplication de matrices (entre elles) 🇺🇸
• Produit de Kronecker (produit tensoriel) 🇺🇸
• Produit de Hadamard 🇺🇸

Les types de matrices les plus courants sont les suivants :

• la matrice diagonale ;
• la matrice identité ;
• la matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) ;
• la matrice symétrique ;
• la matrice antisymétrique ;
• Ia matrice inversible ;
• la matrice orthogonale ;
• la matrice définie positive ou négative ; et
• la matrice semi-définie positive ou négative.

Définissons brièvement chacun des types de matrice mentionnés ci-dessus.

• Matrice diagonale

  C'est une matrice carrée dont les coefficients ne sont pas nuls uniquement sur ses diagonales. Il est très facile de calculer cette matrice à la puissance de n'importe quel nombre.

• Matrice identité

  Il s'agit d'une matrice diagonale qui n'a que des uns sur sa diagonale et des zéros partout ailleurs. Lorsque l'on multiplie une matrice identité par une autre matrice, cette dernière reste inchangée ; un peu comme si l'on multipliait un nombre par $1$ !

• Matrice triangulaire (supérieure ou inférieure)

  C'est une matrice carrée avec des coefficients non nuls sur la diagonale et au-dessus de la diagonale (si elle est triangulaire supérieure) ou en dessous de la diagonale (si elle est triangulaire inférieure).

  Son déterminant coïncide avec le produit des valeurs sur les diagonales. Ella apparaît souvent dans les décompositions de matrices et les méthodes numériques.

• Matrice symétrique

  Une matrice carrée qui est symétrique par rapport à sa diagonale, c'est-à-dire $a_{j,i}=a_{i,j}$ pour toute $i,j=1, \ldots, n$. En d'autres termes : le coefficient de la $i$-ème ligne et de la $j$-ème colonne est égal au coefficient de la $j$-ème ligne et de la $i$-ème colonne. Une telle matrice a des valeurs propres réelles et une base orthonormée.

• Matrice antisymétrique

  Une matrice carrée dont les entrées satisfont l'égalité $a_{ji}=-a_{ij}$. Il s'ensuit que les éléments diagonaux sont tous égaux à zéro, car seul $a_{i,i}=0$ peut satisfaire $a_{i,i} = -a_{i,i}$. La trace d'une matrice antisymétrique est donc toujours égale à zéro.

• Matrice inversible

  Une matrice carrée qui a une inverse, c'est-à-dire que $A$ est inversible s'il existe $B$ tel que $AB = BA = I$, où $I$ est la matrice identité. Le déterminant d'une matrice inversible est toujours non nul.

• Matrice orthogonale

  Il s'agit d'une matrice carrée dont les colonnes constituent un ensemble de vecteurs orthonormés. De manière équivalente, on peut dire qu'une matrice est orthogonale si sa transposée coïncide avec son inverse. Le déterminant d'une matrice orthogonale est égal à $1$ ou $-1$.

• Matrices définies

  Toutes les matrices que nous considérons ci-dessous sont symétriques (ou hermitiennes). $x^{T}$ désigne la transposée (hermitienne) de $x$ (que $x$ soit un vecteur ou une matrice).

  • Matrice semi-définie positive
    Une matrice $A$ est semi-définie positive si $x^{{T}}Ax\geq 0$ pour tout vecteur $x$.

    Seules les matrices semi-définies positives ont des valeurs propres réelles et non-négatives. Ainsi, toutes les matrices semi-définies positives ont des valeurs propres définies comme telles.

  • Matrice définie positive
    Une matrice $A$ est définie positive si $x^{ {T}}Ax > 0$ pour tout vecteur non nul $x$.

    Seules les matrices définies positives ont des valeurs propres réelles et positives, et toutes les matrices définies positives ont de telles valeurs propres.

  • Matrice semi-définie négative
    Une matrice $A$ est semi-définie négative si $x^{ {T}}Ax\leq 0$ pour tout vecteur $x$.

    Les matrices semi-définies négatives sont les matrices dont les valeurs propres sont toutes réelles et non positives.

  • Matrice définie négative
    Une matrice $A$ est définie négativement si $x^{ {T}}Ax < 0$ pour tout vecteur non nul $x$.

    Les matrices définies négatives sont les matrices dont les valeurs propres sont toutes réelles et négatives.

En mathématiques, certains types de matrices sont faciles à détecter, tandis que d'autres sont plus complexes. Voici quelques conseils pour détecter le type de matrice :

1. Commencez par observer la structure de la matrice : est-elle diagonale ? Symétrique ? Triangulaire ?
2. D'autres types dépendent de propriétés plus profondes : il faut donc vérifier les valeurs propres, l'inverse, la transposée, le produit de la transposition et de la matrice initiale, etc.
3. Utilisez des calculateurs ou simulateurs mathématiques, tels que le calculateur de matrice d'Omni, pour vous aider à détecter le type de votre matrice.

Personne ne le sait vraiment, mais il y en a beaucoup. Les scientifiques inventent continuellement de nouvelles opérations matricielles qui les aident à résoudre différents problèmes liés aux matrices et à leurs applications dans la vie réelle. Rappelez-vous que les opérations matricielles peuvent agir sur une ou plusieurs matrices, et qu'elles peuvent avoir pour résultat une autre matrice, plusieurs matrices, un seul nombre ou vecteur, un ensemble de nombres ou vecteurs, un polynôme, etc. Les possibilités sont infinies !

Les matrices étant un moyen parfait de traiter simultanément un grand nombre de nombres, elles sont extrêmement utiles dans de nombreux domaines de notre vie moderne, saturée de données. Les applications matricielles de la vie réelle comprennent :

• les graphismes en 3D, par exemple dans les jeux ;
• la cryptographie et science des données (data science) ;
• l'économie et l'économétrie ;
• l'ingénierie et la construction ;
• l'électronique ; et
• la physique en général.