Calculateur de déterminant d'une matrice

Created by Maciej Kowalski, PhD candidate

Reviewed by Anna Szczepanek, PhD and Jack Bowater

Translated by Claudia Herambourg and Agata Flak

Last updated: Nov 21, 2024

Table of contents:

Bienvenue sur le calculateur de déterminant d'une matrice, où vous aurez l'occasion de calculer, comme son nom l'indique, les déterminants de matrices. Ce calculateur utilise la formule du déterminant pour calculer le déterminant de toute matrice carrée jusqu'à une matrice 4×4. Nous examinerons également certaines propriétés de base des déterminants qui pourront nous aider à calculer le déterminant d'une matrice 4×4.

Qu'est-ce qu'un déterminant, et pourquoi doit-on s'en préoccuper ? Nous vous donnerons la définition du déterminant un peu plus bas, mais, pour l'instant, disons simplement qu'il est extrêmement utile lorsqu'il s'agit de systèmes d'équations ; consultez notre calculateur de système d'équations 🇺🇸 pour plus de détails. Fondamentalement, résoudre un système à trois équations revient à trouver le déterminant d'une matrice 3×3.

Poursuivez votre lecture pour en savoir plus sur le calcul du déterminant !

Qu'est-ce qu'un déterminant ?

Pourquoi ne pas commencer par ce qu'est une matrice ? En mathématiques, c'est le nom que l'on donne à un tableau d'éléments (généralement des nombres) avec un ensemble de lignes et de colonnes. Voici un exemple de matrice :

A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2\\ 1 & -1 \end{bmatrix}

Comme vous pouvez le voir, les nombres sont placés entre deux grands crochets, $[$ et $]$ . On dit aussi que, par exemple, le nombre $2$ se situe dans la deuxième ligne et dans la deuxième colonne.

La définition du déterminant indique qu'il s'agit d'un nombre obtenu en multipliant et en additionnant les termes d'une matrice carrée selon une règle donnée. Jetons un coup d'œil sur quelques points importants.

Comme le suggère la définition du déterminant, nous devons disposer d'une matrice carrée pour commencer les calculs. Cela signifie que nous pouvons trouver le déterminant d'une matrice 2×2 ou le déterminant d'une matrice 4×4, mais pas, par exemple, celui de la matrice $A$ ci-dessus, qui est une matrice 3×2 (trois lignes et deux colonnes).
La formule du déterminant pour les matrices plus grandes devient assez compliquée. Son nombre de termes est égal au nombre de permutations du nombre qui correspond au côté de la matrice. Cela signifie que le déterminant d'une matrice 2×2 n'a que deux termes, mais pour les matrices 5×5, nous obtenons 120 sommets.
Il existe des moyens de simplifier les calculs. Par exemple, la recherche du déterminant d'une matrice 4×4 peut être transformée en un problème de recherche du déterminant d'une matrice 3×3. Nous examinerons certaines de ces propriétés des déterminants dans la section Propriétés des déterminants.
Le déterminant d'une matrice, $A$ , est désigné par $|A|$ (il suffit de remplacer les crochets d'une matrice par des barres verticales $|$ ) ou $\det(A)$ . Ne confondez pas la première notation avec la valeur absolue ! En général, le déterminant peut être un nombre négatif.

Alors, qu'est-ce qu'un déterminant ? C'est un nombre, nous venons juste de le voir. Mais pourquoi est-il utile ? Où apparaît-il ?

Le déterminant d'une matrice est un outil extrêmement utile et souvent utilisé en algèbre linéaire. Chaque fois que nous avons une matrice et que nous voulons la comprendre, le déterminant est l'une des premières choses vers lesquelles nous nous tournons. Par exemple, tout système d'équations linéaires peut être décrit par une matrice. Ses déterminants nous aident à trouver la solution, par exemple en utilisant la règle de Cramer, que vous pouvez trouver dans notre calculateur de règle de Cramer 🇺🇸. De plus, lorsque nous utilisons des matrices pour décrire une transformation linéaire, il est souvent préférable de les diagonaliser. Comment faire ? Avec les déterminants, bien sûr.
Le déterminant d'une matrice nous indique également si la matrice a une inverse et si l'inverse doit être approximé avec la pseudo-inverse de Moore-Penrose.
Enfin, nous avons généralement besoin des valeurs propres d'une telle transformation. Oui, vous l'avez deviné ; pour cela, nous utilisons également les déterminants.

🙋 Pour trouver les valeurs propres et les vecteurs propres correspondants de n'importe quelle matrice, n'hésitez pas à utiliser le calculateur de valeurs propres et de vecteurs propres 🇺🇸 d'Omni Calculator.

Nous espérons avoir réussi à vous convaincre qu'il vaut la peine d'apprendre la définition du déterminant. Mais comment le calculer ? Existe-t-il une formule de calcul des déterminants courte et facile à utiliser au quotidien ?

La formule générale du déterminant

Avant de jeter un coup d'œil à quelques exemples spécifiques, comme la recherche du déterminant d'une matrice 3×3, attaquons-nous à la définition générale du déterminant.

Soit $A$ une matrice carrée de taille $n$ , où $n$ est un nombre naturel quelconque. Dénotez les termes de $A$ par $a_{i,j}$ , où $i$ est le numéro de la ligne, et $j$ est le numéro de la colonne. Dans ce cas :

|A| = \sum(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}\prod a_{i,\sigma(i)},

où :

$\sum$ – la somme de toutes les permutations de l'ensemble $\{1,2\ldots,n\}$
$\prod$ – le produit des $i$ de $1$ à $n$

Joli, n'est-ce pas ? Si nous traduisons ces symboles en quelque chose de plus compréhensible, cela correspond plus ou moins à la définition ci-dessous.

💡 Pour calculer le déterminant, jetez un coup d'œil à votre matrice, prenez $n$ nombres, un de chaque ligne et de chaque colonne, et multipliez-les ensemble. Prenez tous ces $n$ -tuples, changez parfois leur signe et additionnez le tout.

Ne vous inquiétez pas ; maintenant que nous avons mis en évidence cette définition générale du déterminant, nous n'y penserons plus. Nous nous en tiendrons aux cas faciles, où la matrice n'est pas trop grande, pour montrer ce que cela signifie vraiment.

Le déterminant d'une matrice 2×2, 3×3 et 4×4

Plus la matrice est petite, plus la formule du déterminant est simple. Par souci de cohérence, nous utilisons la notation ci-dessous, comme dans le calculateur de déterminant de matrice.

Si :

A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix}

Alors le déterminant de $A$ est

$|A| = a_1 \times b_2 - a_2 \times b_1$

Notez que cela revient à prendre les nombres de l'une des diagonales de la matrice carrée (du coin supérieur gauche au coin inférieur droit) moins l'autre (du coin supérieur droit au coin inférieur gauche).

Ensuite, si :

B = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}

Alors, le déterminant de $B$ est :

\footnotesize \begin{align*} |B| &=\, a_1 \times b_2 \times c_3 + a_2 \times b_3\times c_1\\ &+ a_3 \times b_1 \times c_2 - a_3 \times b_2 \times c_1\\ &- a_1 \times b_3 \times c_2 - a_2 \times b_1 \times c_3 \end{align*}

Ici encore, nous pouvons utiliser certaines diagonales pour nous souvenir de la formule. Pour y voir plus clair, écrivons à nouveau les deux lignes supérieures sous la matrice :

\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\\ \kern{.4em} \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{matrix}

Maintenant, comme dans le cas 2×2, commencez par la diagonale de la matrice carrée originale, qui va du coin supérieur gauche au coin inférieur droit ; c'est le premier terme $a_1 \times b_2 \times c_3$ . Ensuite, nous prenons toute cette diagonale et la déplaçons d'un cran vers le bas, c'est-à-dire que dans chaque colonne, nous prenons l'élément situé en dessous de celui que nous avons pris précédemment. Ici, le tableau élargi que nous avons dessiné ci-dessus nous aide à voir que cela donne le deuxième total, $a_2 \times b_3 \times c_1$ . Nous répétons l'opération une fois de plus pour obtenir $a_3 \times b_1 \times c_2$ et cela termine les diagonales vers le bas et les termes qui apparaissent avec un plus.

Ensuite, nous déplaçons vers l'autre diagonale de la matrice originale (du coin supérieur droit vers le coin inférieur gauche) et nous obtenons le premier terme négatif de la formule, $a_3 \times b_2 \times c_1$ . Nous faisons la même chose que précédemment ; en déplaçons la diagonale vers le bas. La forme développée ci-dessus nous permet de voir facilement que cela donne les deux autres sommets négatifs, $a_1 \times b_3 \times c_2$ et $a_2 \times b_1 \times c_3$ .

Enfin, si :

C = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \\ \end{bmatrix}