Calculadora del determinante de una matriz

Bienvenido a la calculadora de determinantes de matrices, donde tendrás la oportunidad de calcular los determinantes de matrices 3x3, 2x2 y 4x4. Para ello la calculadora de determinantes usa la fórmula de determinantes. Además de aprender cómo sacar el determinante de una matriz, estudiaremos algunas de las propiedades básicas de los determinantes que pueden ayudar a resolver matrices más grandes, como el determinante de una matriz de 4×4.

"¿Qué es un determinante y por qué debería importarme?" Te mostraremos la definición de determinante dentro de un rato, pero digamos que, entre otros usos, es extremadamente útil cuando se trata de sistemas de ecuaciones - consulta nuestra calculadora de sistemas de ecuaciones 🇺🇸 para más detalles. Básicamente, resolver un sistema de tres ecuaciones es lo mismo que hallar el determinante de una matriz de 3×3.

¿Convencido? ¿Animado? ¿Emocionado? **Sigamos adelante, ¿vale?

Antes de aprender a usar la calculadora de determinantes de matrices 2x2, 3x3 y 4x4, ¿por qué no empezamos por qué es una matriz? En matemáticas, es el nombre que damos a una matriz de elementos (normalmente números) con un conjunto de filas y columnas. Un ejemplo de matriz es

Como puedes ver, los números están dispuestos entre dos grandes corchetes (a veces paréntesis), $[$ y $]$. También decimos que, por ejemplo, el número $2$ está en la celda de la segunda fila y la segunda columna.

La definición de determinante de una matriz dice que es un número que se obtiene multiplicando y sumando las celdas de una matriz cuadrada según una regla dada. Vamos a ver ahora cuáles son estas reglas para el cálculo del determinante de una matriz

• Como sugiere la definición de determinante, necesitamos tener una matriz cuadrada para poder empezar los cálculos. Esto significa que podemos hallar el determinante de una matriz de 3×3 o el determinante de una matriz de 4×4, pero no, por ejemplo, de algo como la $A$ anterior, que es una matriz de 3×2 (tres filas y dos columnas);
• La fórmula del determinante para matrices más grandes se complica bastante. El número de sumandos es igual al número de permutaciones posibles para el número de elementos de una fila o columna de la matriz. Esto significa que el determinante de una matriz de 2×2 sólo tiene dos sumandos, pero para matrices de 5×5, obtenemos 120 sumandos;
• Hay formas de facilitar los cálculos. Por ejemplo, resolver el determinante de una matriz de 4×4 puede transformarse en cómo hallar el determinante de una matriz de 3×3. Veremos algunas de estas propiedades de los determinantes de matrices en la sección "Propiedades de los determinantes"
• El determinante de una matriz, $A$, se escribe como $|A|$ (basta con sustituir los corchetes de una matriz por rectas verticales $|$) o $\det(A)$. ¡No confundas la primera notación con el valor absoluto! En general, el determinante puede ser un número negativo.

Entonces, ¿qué es el determinante de una matriz? Es un número; eso ya lo hemos aprendido. Pero, ¿por qué es útil? ¿Dónde aparece? ¿Cómo calcula el determinante de una matriz la calculadora de determinantes?

El determinante de una matriz es una herramienta extremadamente útil y utilizada a menudo en álgebra lineal. Siempre que tenemos una matriz y queremos entenderla, el determinante es una de las primeras cosas que mirar. Por ejemplo, todo sistema de ecuaciones lineales puede describirse como una matriz. Su determinante nos ayuda a encontrar la solución, por ejemplo, utilizando la regla de Cramer, que puedes encontrar en nuestra calculadora de la regla de Cramer 🇺🇸. Además, cuando utilizamos matrices para describir una transformación lineal, a menudo es mejor diagonalizarlas. ¿Cómo lo hacemos? Con determinantes, por supuesto.
El determinante de una matriz también nos dice si la matriz tiene inversa y si la inversa debe aproximarse con la pseudoinversa de Moore-Penrose.
Por último, normalmente necesitamos los valores propios de dicha transformación. Sí, lo has adivinado, para eso también utilizamos determinantes.

Ahora que sabes qué es un determinante, querrás usar la calculadora de determinantes para hallarlo... Pero, ¿cómo calcularlo? ¿Existe alguna fórmula de determinante breve y ordenada para uso cotidiano?

Antes de usar la calculadora del determinante de una matriz, es importante entender cómo funciona internament. Para ello, echemos un vistazo a la monstruosidad que es la definición general de determinante.

Sea $A$ una matriz cuadrada de tamaño $n$, donde $n$ es algún número natural. Denotemos las celdas de $A$ por $a_{i,j}$, donde $i$ es el número de la fila, y $j$ es el número de la columna. Entonces:

donde:

• $\sum$ es la suma de todas las permutaciones del conjunto $\{1,2\ldots,n\}$; y
• $\prod$ es el producto de $i$-s de $1$ a $n$.

Bonito, ¿verdad? Si traducimos los símbolos graciosos a algo más comprensible, significa más o menos esto:

No te preocupes; la definición sólo es útil a nivel académico. Para calcular el determinante de una matriz nos ceñiremos a los casos fáciles. Veremos ejemplos en los que la matriz no es demasiado grande, para entender realmente cómo calcular el determinante de una matriz a mano, o cómo lo hace la calculadora de determinantes.

A diferencia de la vida real, aquí el tamaño importa. En este caso concreto, cuanto más pequeña sea la matriz, más fácil será la fórmula del determinante. Por coherencia, utilizamos la notación siguiente, como en la calculadora de determinantes de matrices.

Si

entonces el determinante de $A$ es

$|A| = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1$.

Observa que esto equivale a tomar los números de una de las diagonales de la matriz cuadrada (de la esquina superior izquierda a la inferior derecha) menos el de la otra (de la esquina superior derecha a la inferior izquierda).

A continuación, si

entonces para calcular el determinante de $B$ haz:

También en este caso podemos utilizar algunas diagonales para recordar la fórmula de cálculo del determinante. Para verlo con claridad, escribamos de nuevo las dos filas superiores debajo de la matriz:

Ahora, como en el caso 2×2, empieza con la diagonal de la matriz cuadrada original, que va desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha -éste es el primer sumando, $a_1 \cdot b_2 \cdot c_3$. Luego tomamos toda esta diagonal y la movemos un paso hacia abajo, es decir, en cada columna tomamos el elemento que está debajo del que tomamos antes. Aquí la matriz expandida que dibujamos antes nos ayuda a ver que esto da el segundo sumando, $a_2 \cdot b_3 \cdot c_1$. Hacemos esto una vez más para obtener $a_3 \cdot b_1 \cdot c_2$ y con esto terminamos las diagonales de abajo a la derecha y los sumandos que aparecen con un más.

A continuación, pasamos a la otra diagonal de la matriz original (de la esquina superior derecha a la inferior izquierda) y obtenemos el primer sumando negativo de la fórmula, $a_3 \cdot b_2 \cdot c_1$. Hacemos lo mismo que antes: desplazar la diagonal hacia abajo. La forma expandida anterior nos permite ver fácilmente que así obtenemos los otros dos sumandos negativos, $a_1 \cdot b_3 \cdot c_2$ y $a_2 \cdot b_1 \cdot c_3$.

Por último, si

entonces el determinante de dicha matriz 4×4 es

Vaya, ha sido largo, ¿verdad? Ahora puedes ver la utilidad de la calculadora de determinantes de matrices. Es superfácil hallar el determinante de una matriz de 2×2, y podemos aprender a hallar el determinante de una matriz de 3×3 en una hora más o menos. Pero el determinante de una matriz de 4×4 es un problema completamente nuevo. No nos malinterpretes, es perfectamente factible, y tenemos trucos para calcularos aún más rápido de lo que crees.

Entonces, ¿cómo utilizamos aquí el truco de la diagonal? La respuesta es sencilla: no lo hacemos. Por desgracia, no funciona con matrices de 4 o más.

"¿Cómo puedo calcular eficazmente lo que es un determinante de 4×4? ¿O 5×5?" Bueno, ¡qué oportuno que lo pidas!** Te lo mostraremos en la siguiente sección.

Ahora enumeraremos unas cuantas propiedades importantes de los determinantes que pueden resultar útiles a la hora de sacar el determinante de una matriz.

1. **Si multiplicamos dos matrices cuadradas y queremos hallar el determinante del resultado, podemos obtener la respuesta calculando los determinantes de los factores y multiplicándolos entre sí.

2. El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta. En esencia, si en lugar de la matriz con la que empezamos, la "volteamos" de modo que su primera fila sea la primera columna, la primera columna sea la primera fila, etc. (esto se llama la transposición de una matriz), entonces sus determinantes serán iguales. Por ejemplo:

3. Si intercambiamos dos filas o dos columnas, el determinante seguirá siendo el mismo pero con signo opuesto. Esto significa que, por ejemplo, si queremos saber cómo sacar el determinante de una matriz de 3×3, podemos intercambiar, su primera columna por la tercera para obtener el mismo número pero con distinto signo (ver el ejemplo siguiente):

4. Podemos añadir cualquier múltiplo distinto de cero de una fila a otra fila (o de una columna a otra columna) y no cambiar el determinante. Esto es similar a lo que hacemos en la eliminación de Gauss cuando queremos calcular la forma escalonada por filas de un sistema de ecuaciones, salvo que allí sólo tratábamos con filas (que correspondían a ecuaciones). Nuestra calculadora de la forma escalonada reducida 🇺🇸 utiliza esta propiedad. Significa que si añadimos, digamos, dos copias de la primera fila a la segunda, obtendremos una matriz con el mismo determinante. Por ejemplo:

que da:

5. (La expansión de Laplace) ¿Recuerdas la pregunta "¿Cuál es el determinante de una matriz 5×5?" de la sección anterior? Por fin podemos introducir esta potente herramienta para ayudarnos con la fórmula del determinante y calcular determinantes a mano rápidamente.

Sea $A$ una matriz cuadrada de tamaño $n$. Digamos que la $j$-ésima fila (o columna) de $A$ tiene elementos $a_1$, $a_2$,..., $a_n$. Denotemos por $A_i$ la matriz obtenida a partir de $A$ eliminando la fila y la columna enteras en las que teníamos $a_i$ ($A_i$ es entonces una matriz cuadrada de tamaño $n-1$). Entonces

Por ejemplo, si nos preguntan cómo calcular el determinante de una matriz de 3×3, podemos coger un trozo de papel, elegir, digamos, la tercera fila de la matriz, y escribir:

¡Te habrá llevado siglos leer toda esta teoría! Si quieres saber más, visita nuestra calculadora de expansión de cofactores 🇺🇸. Y por fin vamos a ver un ejemplo de cómo usar la calculadora de determinantes.

Digamos que quieres calcular el determinante de la siguiente matriz usando la calculadora de determinantes de matrices creada por Omnicalculator:

El determinante de una matriz de 4×4, ¿eh? Vimos la fórmula del determinante de una en la sección "El determinante de una matriz 2×2, 3×3 y 4×4", así que sabemos que no va a ser muy fácil de calcular a mano, ¿verdad? Cierto, siempre es más rápido usar la calculadora que te presentamos aquí, pero también la podemos usar para comprobar el resultado obtenido a mano.

Empecemos por utilizar la calculadora de determinantes de matrices para ver cómo nuestra herramienta simplifica este tipo de problemas. En primer lugar, estamos tratando con una matriz de 4×4, así que tenemos que decírselo a la calculadora eligiendo la opción adecuada en "Tamaño de la matriz"

Esto nos mostrará un ejemplo de dicha matriz con notación simbólica para sus elementos. Como podemos ver, $a_1$, $b_1$, $c_1$, y $d_1$ denotan los números de la primera fila, así que desplacémonos hasta donde introducimos los datos y alimentemos la calculadora de determinantes matriciales con lo que tenemos en nuestro ejercicio:

• $a_1=2$, $b_1=5$, $c_1=1$, $d_1=3$.

Del mismo modo, para las demás filas, tenemos:

• $a_2=4$, $b_2=1$, $c_2=7$, $d_2=9$;
• $a_3=6$, $b_3=8$, $c_3=3$, $d_3=2$;
• $a_4=7$, $b_4=8$, $c_4=1$, $d_4=4$.

En cuanto escribamos el último número, la calculadora de determinantes de matrices hará los cálculos por ti y te dará la respuesta:

$|A| = 630$.

Muy bien, ahora que ya tenemos la respuesta, veamos cómo podemos obtener esta respuesta a mano. Obviamente, una forma es utilizar simplemente la fórmula del determinante de 24 términos, pero podemos ahorrar tiempo y esfuerzo al calcular el determinante si sabemos utilizar las propiedades de los determinantes.

Utilizaremos la expansión de Laplace. Elegimos una fila o columna arbitraria, digamos la primera fila de la matriz, e intentamos que la expansión sea un poco más fácil. Al fin y al cabo, si utilizamos la fórmula directamente, obtendremos la suma de cuatro determinantes 3×3. Sin embargo, podemos hacer algo antes: utilizar operaciones elementales con columnas.

Hemos visto en la sección anterior que el determinante seguirá siendo el mismo si añadimos cualquier múltiplo distinto de cero de una columna a otra columna. Entonces, ¿por qué no añadimos un $(-2)$** multiplicando a la tercera columna a la primera**?

que da:

¿Y por qué lo hemos hecho? Recuerda que en la expansión de Laplace, los sumandos eran así: $(-1)$ a una potencia por el elemento de la fila o columna que hayamos elegido por un determinante menor. Por tanto, si ahora expandimos $|A|$ con respecto a la primera fila, el sumando correspondiente a la primera celda de la primera fila será $(-1)$ a una potencia por $0$ por un determinante. Y esto es cero porque cualquier cosa multiplicada por cero es cero.

Genial, ¡hemos reducido en uno el número de sumandos! ¿Y si repetimos el procedimiento y obtenemos aún menos? Para ello, queremos tener más ceros en la primera fila, así que convirtamos el $5$ y el $3$ en $0$-s. Como hicimos antes, añadimos a esas columnas el múltiplo derecho de la tercera columna (la que tiene $1$):

que da:

**Con esta forma, si utilizamos la expansión de Laplace en la primera fila, sólo obtendremos un sumando, porque los otros tres serán $0$ veces algo, que es $0$. Para ser precisos, obtenemos

Y sabemos muy bien cómo sacar el determinante de una matriz de 3×3, ¿no? Pero recuerda que si quieres divertirte un poco más, puedes volver a utilizar la expansión de Laplace para obtener el determinante de una matriz de 2×2. Si no, podemos simplemente utilizar la fórmula del determinante y, basándonos en lo anterior, obtener:

¡Sí, coincide con lo que teníamos arriba! Mira cuánto tiempo nos puede ahorrar la calculadora de determinantes de matrices.