Calculadora de matrices inversas

Bienvenido a la calculadora de matrices inversas, donde tendrás la oportunidad de aprender todo sobre la inversión de matrices. Esta operación es similar a buscar el inverso de un número dado, salvo que ahora estamos multiplicando matrices y queremos obtener como resultado la matriz identidad.

Pero no te preocupes. Antes de dar, por ejemplo, la inversa de una matriz $4\times4$ , veremos algunas definiciones básicas, como matriz singular y no singular. Luego pasaremos a la fórmula de la matriz inversa general, con una simplificación clara para la inversa de una matriz $2\times2$ y algunas propiedades útiles de la matriz inversa. Por último, daremos un ejemplo con cálculos minuciosos de cómo hallar la inversa de una matriz $3\times3$ .

¿Qué es una matriz?

En primaria, te enseñan los números naturales, $1$ , $2$ , o $143$ , y tienen todo el sentido: tienes $1$ automóvil de juguete, $2$ tebeos y $143$ largos días hasta Navidad. Luego te dicen que también hay fracciones (o números racionales, como se llaman también), como $1/2$ , o decimales, como $1.25$ , lo que sigue pareciendo razonable. Al fin y al cabo, le diste $1/2$ de tu chocolatina a tu hermano, y te costó $\text{\textdollar}1.25$ . Después, te encuentras con los números negativos como $-2$ o $-30$ , y son un poco más difíciles de entender. Pero, si lo piensas bien, un chico de tu clase obtuvo $-2$ puntos en un examen por copiar, y había un descuento de $-\text{\textdollar}30$ en vaqueros el Black Friday.

Por último, la escuela introduce números reales y unos extraños símbolos parecidos a gusanos a los que llaman raíces cuadradas. Y lo que es peor, mientras que $\sqrt{4}$ es un simple $2$ , $\sqrt{3}$ es algo así como $1.73205...$ y los dígitos no terminan. Te convencen de que esos números describen, por ejemplo, la diagonal de un rectángulo. Y luego está $\pi$ , que de algún modo apareció de la nada cuando hablabas de círculos. De acuerdo, puede que esos números sean reales en algún sentido. Pero hasta ahí se puede llegar, ¿no?

**Los matemáticos están ocupados descubriendo varias extensiones interesantes y, lo creas o no, útiles de los números reales. La más importante son los números complejos, que son el punto de partida de cualquier físico moderno. Afortunadamente, esa no es la dirección que vamos a tomar aquí. Hay otra.

Una matriz es un conjunto de elementos (normalmente números) que tiene un número determinado de filas y columnas. Un ejemplo de matriz sería:

\scriptsize A=\begin{pmatrix} 3&-1\\ 0&2\\ 1&-1 \end{pmatrix}

Además, decimos que una matriz tiene celdas, o cajas, en las que escribimos los elementos de nuestra matriz. Por ejemplo, la matriz $A$ anterior tiene el valor $2$ en la celda que está en la segunda fila y la segunda columna. El punto de partida aquí son las matrices de 1 celda, que son básicamente lo mismo que los números reales.

Como ves, las matrices son una herramienta que sirve para escribir unos pocos números de forma concisa y operar con todo el lote como un único objeto. Como tales, son extremadamente útiles cuando se trata de:

Sistemas de ecuaciones, especialmente cuando se utiliza la regla de Cramer o como hemos visto en nuestra calculadora de números de condición 🇺🇸;
Vectores y espacios vectoriales;
Geometría tridimensional (por ejemplo, el producto escalar y el producto vectorial);
Valores propios y vectores propios;
Teoría de grafos y matemáticas discretas.

Los cálculos con matrices son mucho más complejos que con números. Por ejemplo, si queremos sumarlas, primero tenemos que asegurarnos de que podemos hacerlo. Pero, como estamos aquí, en la calculadora de matrices inversas, dejamos la suma para más adelante y pasemos ahora familiarizarnos con algunas definiciones.

Matriz singular y no singular, la matriz identidad

Tanto si quieres encontrar la inversa de una matriz $2\times2$ como la inversa de una matriz $4\times4$ , primero tienes que entender una cosa: no siempre existe. Piensa en una fracción, digamos $a / b$ . Tal cosa está perfectamente bien mientras $b$ sea distinta de cero. Si lo es, la expresión no tiene sentido; algo parecido ocurre con las matrices.

Una matriz singular es la que no tiene inversa. Una matriz no singular es (sorpresa, sorpresa) una que sí la tiene. Por tanto, siempre que te enfrentes a un ejercicio con una matriz inversa, debes empezar por comprobar que no sea singular. De lo contrario, no tiene sentido sudar la gota gorda con los cálculos. Simplemente no se puede hacer.
Puedes acercarte bastante a la inversa de una matriz singular calculando su pseudoinverso de Moore-Penrose. Si no sabes lo que es el pseudoinverso, ¡no esperes más y salta a la calculadora del pseudoinverso 🇺🇸!

Por definición, la inversa de una matriz $A$ es una matriz $A^{-1}$ para la que:

A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = \mathbb{I}

Donde $\mathbb{I}$ denota la matriz identidad, es decir, una matriz cuadrada que tiene $1$ s en la diagonal principal y $0$ s en el resto. Por ejemplo, la matriz identidad $3\times3$ es:

\scriptsize\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}

En otras palabras, dada una matriz arbitraria $A$ , queremos encontrar otra para la que el producto de las dos (en cualquier orden) dé la matriz identidad. Piensa en $\mathbb{I}$ como $1$ (la identidad de los racionales) en el mundo de las matrices. Al fin y al cabo, para una fracción $a / b$ , su inversa es $b / a$ , pero no sólo porque la "invirtamos" (al menos, no por definición). Se debe a una propiedad de multiplicación similar:

\scriptsize\frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=\frac{b}{a}\times\frac{a}{b}=1

Ya hemos pasado bastante tiempo leyendo definiciones, ¿no crees? Veamos por fin la fórmula de la matriz inversa y aprendamos a hallar la inversa de una matriz $2\times2$ , $3\times3$ y $4\times4$ .

Cómo hallar la inversa de una matriz: fórmula de la matriz inversa

Antes de entrar en casos especiales, como la inversa de una matriz $2\times2$ , veamos la definición general.

Sea $A$ una matriz cuadrada no singular de tamaño $n$ . Entonces la inversa $A^{-1}$ (si existe) viene dada por la fórmula:

\scriptsize\frac{1}{|A|}\times\begin{pmatrix}(-1)^{1+1}\times A_{11}&(-1)^{1+2}\times A_{12}&\cdots&(-1)^{1+n}\times A_{1n}\\ (-1)^{2+1}\times A_{21}&(-1)^{2+2}\times A_{22}&\cdots&(-1)^{2+n}\times A_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ (-1)^{n+1}\times A_{n1}&(-1)^{n+2}\times A_{n2}&\cdots&(-1)^{n+n}\times A_{nn}\end{pmatrix}

El $|A|$ es el determinante de $A$ (no confundir con el valor absoluto de un número). El $A_{ij}$ denota el $i,j$ -menor de $A$ , es decir, el determinante de la matriz obtenida a partir de $A$ olvidando su $i^{\mathrm{th}}$ fila y $j^{\mathrm{th}}$ columna (es una matriz cuadrada de tamaño $n-1$ ). Lo que hemos obtenido en llama la matriz cofactora de $A$ . Por último, la $^{\mathrm{T}}$ fuera de la matriz es la transposición. Significa que una vez que conocemos las celdas de dentro, tenemos que "intercambiarlas" para que la fila $i^{\mathrm{th}}$ se convierta en su columna $i^{\mathrm{th}}$ h y viceversa, como te enseñamos en la calculadora de transposición de matrices 🇺🇸. Esto nos lleva a la matriz adjunta de $A$ . Todos estos pasos se detallan en la calculadora de matrices adjuntas 🇺🇸 de Omni, por si necesitas una explicación más formal.

Uf, han sido muchos símbolos y mucha palabrería técnica, pero así es como les gusta a los matemáticos. Algunos nos relajamos viendo comedias románticas, y otros escriben definiciones que suenan inteligentes. ¿Quiénes somos nosotros para juzgarlos?

En la siguiente sección, señalamos unos cuantos hechos importantes a tener en cuenta cuando busquemos la inversa de una matriz $4\times4$ , o del tamaño que sea. Pero antes de verlos, dediquemos algo de tiempo a ver en qué se convierte la fórmula de la inversa de la matriz anterior cuando lo que buscamos es la inversa de una matriz $2\times2$ .

Vamos:

\scriptsize A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

Entonces los menores (los $A_{ij}$ s de arriba) provienen de tachar una de las filas y una de las columnas. Pero si hacemos eso, ¡nos quedaremos con una sola celda! Y el determinante de tal cosa (una matriz $1\times1$ ) es sólo el número de esa celda. Por ejemplo, $A_{12}$ resulta de olvidar la primera fila y la segunda columna, lo que significa que sólo queda $c$ (o más bien $\begin{pmatrix}c\end{pmatrix}$ , ya que se trata de una matriz). Por tanto,

\scriptsize A^{-1} = \frac{1}{|A|}\times\begin{pmatrix}(-1(^{1+1}\times d& (-1)^{1+2}\times c\\(-1)^{2+1}\times b&(-1)^{2+2}\times a\end{pmatrix}^{\mathrm{T}}

Además, en este caso especial, el determinante es bastante simple: $|A| = a\times d - b\times c$ . Así que después de tomar los menores y la transposición, llegamos a una fórmula elegante para la inversa de una matriz $2\times2$ :

\scriptsize A^{-1} = \frac{1}{a\times d-b\times c}\times\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

Podría decirse que la inversa de una matriz $4\times4$ no es tan fácil de calcular como el caso $2\times2$ . Existe una forma alternativa de calcular la inversa de una matriz; el método implica operaciones elementales de fila y la llamada eliminación gaussiana (para más información, consulta la calculadora de la forma escalonada de fila (reducida) 🇺🇸). A modo de ejemplo, describimos a continuación cómo hallar la inversa de una matriz $3\times3$ utilizando el algoritmo alternativo.

Supongamos que quieres calcular la inversa de una matriz:

\scriptsize\begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3 \\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3 \end{pmatrix}

A continuación, construimos una matriz con tres filas y el doble de columnas como la siguiente:

\scriptsize\begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3&\vdots&1&0&0 \\ b_1&b_2&b_3&\vdots&0&1&0\\ c_1&c_2&c_3&\vdots&0&0&1 \end{pmatrix}

y utiliza la eliminación gaussiana en las filas de 6 elementos de la matriz para transformarla en algo de la forma:

\scriptsize\begin{pmatrix} 1&0&0&\vdots &x_1&x_2&x_3\\ 0&1&0&\vdots&y_1&y_2&y_3\\ 0&0&1&\vdots&z_1&z_2&z_3 \end{pmatrix}

donde las $x$ 's, $y$ 's y $z$ 's se obtienen a lo largo de las transformaciones. Entonces:

\scriptsize A^{-1} = \begin{pmatrix} x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\\ z_1&z_2&z_3 \end{pmatrix}

Sea cual sea el método que prefieras, puede ser útil comprobar algunas propiedades inversas de matrices para facilitarnos un poco el estudio.

Propiedades de la matriz inversa

A continuación enumeramos algunas observaciones y propiedades de la matriz inversa.

La inversa de una matriz no siempre existe. Echemos un vistazo más de cerca a la fórmula de la matriz inversa en la sección anterior. Contiene el determinante de la matriz. Esto significa que, en primer lugar, necesitamos tener una matriz cuadrada para poder empezar a pensar en su inversa. En segundo lugar, el determinante aparece en el denominador de una fracción en la fórmula de la matriz inversa. Por tanto, si ese determinante es igual a $0$ , entonces esa expresión no tiene sentido, y la inversa no existe.
La inversa de una inversa es la matriz inicial. En otras palabras, si inviertes una matriz dos veces, obtendrás aquello con lo que empezaste. Simbólicamente, podemos escribir esta propiedad como $(A^{-1})^{-1} = A$ para una matriz arbitraria no singular $A$ .
La inversa de un producto es el producto de las inversas en orden inverso. Esto significa que si tienes dos matrices cuadradas $A$ y $B$ del mismo tamaño y quieres calcular la inversa de su producto, entonces, alternativamente, puedes encontrar sus inversas individuales y multiplicarlas pero en orden inverso. En resumen, $(A\cdot B)^{-1} = B^{-1}\cdot A^{-1}$ .
La inversa de la transpuesta es la transpuesta de la inversa. En esencia, no importa si primero transpones una matriz y luego calculas su inversa o si primero hallas la inversa y sólo entonces la transpones. En notación simbólica, esto se traduce en $(A^{\mathrm{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathrm{T}}$ . En particular, observa que esto se basa en el hecho de que el determinante de una matriz sigue siendo el mismo después de la transposición.

Esperamos que estés suficientemente intrigado por la teoría y no puedas esperar a contárselo a tus amigos tomando un café. Sin embargo, antes de que te pongas a divulgar conocimientos, vamos a ver juntos un ejemplo para ver cómo hallar la inversa de una matriz $3\times3$ en la práctica.

Ejemplo: utilizar la calculadora de matrices inversas

Ahora **estudiaremos paso a paso cómo hallar la inversa de una matriz $3\times3$ **. Supongamos que te dan una matriz:

\scriptsize A = \begin{pmatrix} 1&0&5\\ 2&1&6\\ 3&4&0 \end{pmatrix}

Antes de pasar a los cálculos, vamos a ver cómo podemos utilizar la calculadora de matrices inversas para que lo haga todo por nosotros.

En primer lugar, estamos tratando con una matriz $3\times3$ , así que tenemos que decírselo a la calculadora eligiendo la opción adecuada en "Tamaño de matriz" Esto nos mostrará un ejemplo simbólico de una matriz de este tipo con celdas denominadas $a_1$ , $a_2$ , etc. Tenemos que introducir los números dados por nuestra matriz bajo los símbolos correctos de la imagen. Por ejemplo, $a_3$ está en la primera fila de la tercera columna, así que buscamos la celda correspondiente en nuestra matriz y comprobamos que tiene $5$ . Por tanto, ponemos $a_3 = 5$ en la calculadora de la matriz inversa. Del mismo modo, obtenemos las demás celdas:

Definimos las otras casillas:

\scriptsize \begin{split} a_1&=1\\ a_2&=0\\ a_3&=5 \end{split}

Entonces:

\scriptsize \begin{split} b_1&=2\\ b_2&=1\\ b_3&=6 \end{split}

Y:

\scriptsize \begin{split} c_1&=3\\ c_2&=4\\ c_3&=0 \end{split}

En el momento en que introduzcamos el último número, la calculadora de matrices inversas nos devolverá la respuesta o nos dirá que la inversa no existe. Pero, si no quieres ningún spoiler, también podemos hacer los cálculos a mano.

A priori, ni siquiera sabemos si $A^{-1}$ existe, ¿quizá sea sólo un cuento de hadas como los vampiros? Para asegurarnos, calculemos su determinante:

\scriptsize \begin{split} |A| = 1\times1\times0+0\times6\times3+5\times2\times4\\-5\times1\times3-0\times2\times0-1\times6\times4\\=0+0+40-15-0-24=1 \end{split}

Uf, hoy no hay vampiros, sólo una matriz no singular y buenas matemáticas.

Recuerda la fórmula de la matriz inversa y observa que ahora es hora de calcular las $A_{ij}$ s de $i$ y $j$ entre $1$ y $3$ . Como ejemplo, tomemos, digamos, $A_{11}$ , y $A_{23}$ . El primero de los dos es el determinante de lo que obtenemos ignorando la primera fila y la primera columna de $A$ . Esto significa que:

\scriptsize A_{11} = \begin{vmatrix}1&6\\4&0\end{vmatrix}

Del mismo modo, $A_{23}$ resulta de tachar la segunda fila y la tercera columna:

\scriptsize A_{23} = \begin{vmatrix}1&0\\3&4\end{vmatrix}

Esto da:

\scriptsize A_{11} = 1\times0-6\times4=-23

Y:

\scriptsize A_{23} = 1\times4-0\times3=4

La primera fila completa es:

\scriptsize \begin{split} A_{11} & = -23\\ A_{12} & = -18\\ A_{13} & = 5\\ \end{split}

Para la segunda fila, encontramos

\scriptsize \begin{split} A_{21} & = -20\\ A_{22} & = -15\\ A_{23} & = 4\\ \end{split}

Y la tercera fila lo es:

\scriptsize \begin{split} A_{31} & = -5\\ A_{32} & = -4\\ A_{33} & = 1\\ \end{split}

Sólo queda utilizar la fórmula de la matriz inversa e introducir todos los números que hemos calculado anteriormente:

\scriptsize \begin{split} A^{-1} &= \frac{1}{|A|}\!\times\!\begin{pmatrix}(-1)^{1+1}\times A_{11}&(-1)^{1+2}\times A_{12}&(-1)^{1+3}\times A_{13}\\ (-1)^{2+1}\times A_{21}&(-1)^{2+2}\times A_{22}&(-1)^{2+3}\times A_{23}\\ (-1)^{3+1}\times A_{31}&(-1)^{3+2}\times A_{32}&(-1)^{3+3}\times A_{33}\end{pmatrix}^{\mathrm{\!\!T}}\\[1.5em] &= \frac{1}{|A|}\!\times\!\begin{pmatrix}(-1)^{1+1}\times (-23)&(-1)^{1+2}\times (-18)&(-1)^{1+3}\times 5\\ (-1)^{2+1}\times (-20)&(-1)^{2+2}\times(-15)&(-1)^{2+3}\times 4\\ (-1)^{3+1}\times (-5)&(-1)^{3+2}\times(-4)&(-1)^{3+3}\times1\end{pmatrix}^{\mathrm{\!\!T}}\\[1.5em] &= 1\!\times\!\begin{pmatrix} -23&18&5\\ 20&-15&-4\\ -5&4&1 \end{pmatrix}^{\mathrm{\!\!T}}\\[1.5em] &= \begin{pmatrix} -23&20&-5\\ 18&-15&4\\ 5&-4&1 \end{pmatrix} \end{split}

No estaba tan mal, ¿verdad? Lo mejor es que la calculadora de matrices inversas es bastante útil, ya que nos ahorra todas esas molestias. Ahora que hemos aprendido algo, nos merecemos una siestecita en la hamaca, ¿no?

⌈			⌉⁻¹	=	❔
⌊			⌋

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¿Qué es una matriz?

Matriz singular y no singular, la matriz identidad

Cómo hallar la inversa de una matriz: fórmula de la matriz inversa

Propiedades de la matriz inversa

Ejemplo: utilizar la calculadora de matrices inversas

Black hole collision

Dreisatz

Flat vs. round Earth

Great circle