Calculadora del rango de matrices

Bienvenido a la calculadora del rango de matrices, donde tendrás la oportunidad de aprender a calcular el rango de una matriz y lo que significa ese número. En resumen, es uno de los valores básicos que asignamos a cualquier matriz, pero, a diferencia del determinante, el rango no tiene por qué ser cuadrado. La idea de rango matricial en álgebra lineal está relacionada con la independencia lineal de los vectores. En concreto, una matriz de rango completo es una matriz cuyas filas son todas linealmente independientes, y tales objetos son de especial interés para los matemáticos.

Sabemos que quieres aprender a usar la calculadora del rango de matrices, pero antes de poder calcular el rango de una matriz debemos entender los conceptos básicos. Si ya sabes qué es una matriz, qué es su rango, cómo calcular el rango de una matriz a mano... y únicamente quieres usar la calculadora de rango de matrices para obtener tus números rápido, salta directamente a la sección correspondiente, no te vamos a juzgar.

Para los que seguimos aquí, debemos entender que las matemáticas son un equilibrio entre buscar relaciones entre números para mejorar nuestro día a día (matemáticas aplicadas) y el afán interminable de explorar conceptos y reglas, sin importar cómo se relacionan con el mundo real.

En este artículo veremos cómo calcular el rango de una matriz es útil en el día a día, pero sobre todo, aprenderemos a entender el concepto matriz, y por qué puede resultar más útil aprender a usar la calculadora de rango de matrices, que intentar operar con números directamente.

Pero contestemos primero la pregunta más importante, ¿qué es una matriz?

Una matriz es una matriz de elementos (normalmente números) que tiene un conjunto de filas y columnas. Un ejemplo de matriz sería

Además, decimos que una matriz tiene celdas, o cajas, en las que escribimos los elementos de nuestra matriz. Por ejemplo, la matriz $A$ anterior tiene el valor $2$ en la celda que está en la segunda fila y la segunda columna. El punto de partida aquí son las matrices de 1 celda, que son, a todos los efectos, lo mismo que los números reales.

Como ves, las matrices surgieron cuando un científico decidió que necesitaba escribir unos cuantos números de forma concisa y operar con todo el lote como un único objeto. Como tales, son extremadamente útiles cuando se trata de:

• Sistemas de ecuaciones, como puedes descubrir en la calculadora de la regla de Cramer 🇺🇸 de Omni;
• Vectores y espacios vectoriales;
• geometría tridimensional (por ejemplo, el producto escalar y el producto vectorial);
• Valores propios y vectores propios;
• Teoría de grafos y matemáticas discretas.

Cuando operamos con números regulares, normalmente queremos sumarlos, tomar sus fracciones, etc. Más o menos, lo mismo es posible con matrices, pero tiende a complicarse. Sumar y restar matrices es bastante sencillo, te enseñamos a hacerlo en un abrir y cerrar de ojos en nuestra calculadora de suma de matrices 🇺🇸, pero cuando pasamos a la multiplicación, se pone complicado, créenos. Por no hablar de la división, que aquí no es una operación en sí misma, sino una multiplicación por la inversa, que a veces ni siquiera existe. Y no nos olvidemos de la matriz cofactora 🇺🇸 y la matriz adjunta 🇺🇸...

Afortunadamente, todo lo anterior es cuestión para otro momento y otra calculadora. Estamos aquí para ver cómo calcular
el rango de una matriz, y en eso nos centraremos ahora.

El rango en álgebra lineal es un número que asignamos a cualquier matriz. Es el número máximo de filas linealmente independientes de la matriz. De forma equivalente, aunque no resulte evidente a primera vista, también es el número máximo de columnas linealmente independientes. Pero, ¿qué significa realmente todo este lenguaje rebuscado?

La definición proviene de mirar una matriz fila a fila (o columna a columna). Como tal, podemos pensar en nuestra matriz con $n$ filas como $n$ líneas separadas de números. Estos objetos, es decir, las matrices con una fila, se llaman vectores, y son elementos de los llamados espacios vectoriales. Por ejemplo, el eje numérico, el plano cartesiano y el espacio tridimensional son ejemplos de espacios vectoriales.

Decimos que los vectores $\vec{v}_1$, $vec{v}_2$, $\vec{v}_3$, ..., $\vec{v}_n$ son linealmente independientes si la ecuación

donde $a_1$, $a_2$, $a_3$, ..., $a_n$ son algunos números reales, es cierto si y sólo si $a_1=a_2+a_3=...=a_n=0$. Equivalentemente, al menos uno de los vectores es la suma de los otros (con algunas multiplicidades).

Sólo para hacernos una idea, cuando estamos en el plano real (los vectores son sólo pares de números reales), entonces dos vectores linealmente independientes abarcarán todo el plano (decimos que tenemos una matriz de rango completo en este caso). Esto significa que cualquier punto, es decir, cualquier par de números reales, puede representarse como una suma lineal de los dos vectores (suma de los dos con algunas multiplicidades). Sin embargo, si son linealmente dependientes, esto no será posible, y el par sólo abarcará una recta. Como, en este caso, sólo tenemos dos objetos, significará que uno es múltiplo del otro.

El rango en álgebra lineal es una herramienta que lleva la cuenta de la independencia lineal, en qué espacio vectorial estamos y la dimensión del espacio vectorial. Así que, ahora que sabemos para qué sirve, veamos cómo calcular el rango de una matriz.

Hay varias formas de averiguar el rango de una matriz dada. Podría decirse que la más sencilla es la eliminación de Gauss, o su versión ligeramente modificada, la eliminación de Gauss-Jordan. Se basan en las llamadas operaciones elementales de fila para modificar la matriz a su forma escalonada de fila (reducida), la forma que puedes descubrir en la (calculadora de forma escalonada de fila reducida) 🇺🇸 de Omni.) A partir de ahí, podemos leer fácilmente el rango de la matriz.

Las operaciones son:

• Intercambiar dos filas de la matriz;
• Multiplicar una fila por una constante distinta de cero; y
• Añadir a una fila un múltiplo distinto de cero de otra fila.

La propiedad clave aquí es que, aunque las operaciones anteriores modifican nuestra matriz, no cambian su rango. En otras palabras, aprender a calcular el rango de una matriz se reduce a aprender el algoritmo de Gauss (o Gauss-Jordan).

Digamos que tu matriz es

Entonces, siempre que $a_1$ no sea cero, el primer paso de la eliminación gaussiana transformará la matriz en algo de la forma

con unos números reales $s_2$ y $t_2$. Entonces, mientras $s_2$ no sea cero, el segundo paso dará la matriz

Ahora tenemos que observar que la fila inferior representa el vector cero (tiene $0$'s en cada celda), que es linealmente dependiente con cualquier vector. Por tanto, el rango de nuestra matriz será simplemente el número de filas distintas de cero de la matriz que hemos obtenido, que en este caso es $2$.

En particular, observa que, hubiéramos hecho lo que hubiéramos hecho, no podríamos haber obtenido la tercera fila distinta de cero, ya que cada número consecutivo de esa fila fue eliminado por una de las filas anteriores. Esto significa que una $3 \times 2$ nunca puede ser una matriz de rango completo, y además se traduce en la siguiente regla general: si $A$ es una matriz de tamaño $n \times m$, entonces

Uf, ha sido un buen rato reflexionando sobre la teoría. ¿Qué tal si pasamos a un ejemplo numérico y vemos la calculadora de rango de matrices en acción?

Supón que estás en una cita en un restaurante elegante, y tu pareja te reta a una competición de cálculo de rango matricial. Al parecer, es un nuevo reto viral de TikTok, así que ¿qué puedes hacer?

Le pides a un caballero que está luchando con un filete en la mesa de al lado un ejemplo de matriz. Obviamente, él accede encantado.

¿Preparados? ¿Conjuntos? ¡Listo!

Por suerte, conoces al dedillo la página web de la Calculadora Omni y visitas enseguida la calculadora de rango matricial. Para que funcione a tu favor, primero tenemos que decirle a la calculadora con qué estamos tratando. Se trata de una matriz de tamaño $4 \times 3$, así que introducimos $4$ en el número de filas, y $3$ en el número de columnas. Esto nos mostrará un ejemplo simbólico de una matriz similar a la nuestra. Sólo tenemos que darle los números correctos.

Según la imagen, la primera fila tiene los elementos $a_1$, $a_2$, y $a_3$, así que volvemos a mirar nuestra matriz y ponemos su primera fila bajo estos símbolos:

Del mismo modo, introducimos las otras tres filas:

Entonces:

Y por último:

Una vez introducido el último número, la calculadora de rango de matrices supurará el rango de nuestra matriz. Desgraciadamente, justo cuando estaba a punto de hacerlo, tu cita te hace colgar el teléfono y te indica que será más divertido ver cuánto tiempo se tarda en hacerlo sin ninguna herramienta sofisticada. Bueno, parece que tendremos que calcularlo a mano, después de todo.

En primer lugar, vemos que el primer elemento de la primera fila es $0$. No nos gustan los ceros: no podemos utilizarlos en la eliminación de Gauss-Jordan para deshacernos de los demás números de esa columna. Entonces, ¿por qué no intercambiamos la primera fila por la segunda?

**Con esto, podemos ocuparnos del $2$ y del $1$ en las dos filas inferiores. Para ello, añadimos un múltiplo adecuado del primero a estas filas, de modo que obtendremos ceros en toda la primera columna, aparte de la primera fila. Como tenemos $1$ para trabajar y $2 + (-2)\times1 = 0$ y $1 + (-1)\times1 = 0$, añadimos un múltiplo de $(-2)$ de la primera fila a la tercera, y un múltiplo de $(-1)$ a la cuarta. Observa que no tenemos que hacer nada con la segunda fila puesto que allí ya tenemos $0$.

Muy bien, ya hemos perdido bastante tiempo intentando utilizar la calculadora de rango de matrices, así que necesitamos acelerar un poco.

Pasamos a la segunda columna. Queremos utilizar el $2$ de la segunda fila para eliminar el $-1$ y el $1$ de las dos filas inferiores. Igual que antes, añadimos un múltiplo adecuado de la segunda fila: esta vez, será $0.5$ para la tercera fila, y $-0.5$ para la última.

Ves a tu compañera garabatear nerviosamente en su trozo de papel, y el caballero de la mesa de al lado te anima. Hora del último paso.

Ahora queremos deshacernos del $2.5$ de la cuarta fila utilizando el $0.5$ de la tercera. Añadimos un múltiplo de $(-5)$ para obtener:

La matriz tiene tres filas distintas de cero, lo que significa que $\mathrm{rank}(A) = 3$. Miras triunfante a tu cita y te declaras ganadora. Tanta diversión merece un buen postre y una buena propina, ¿no crees?