Calculadora de logaritmos

Esta calculadora de logaritmos, también conocida como calculadora logarítmica, te permite calcular el logaritmo de un número (real positivo) con una base elegida (positiva, no igual a 1). Independientemente de si buscas un logaritmo natural, log base 2 o log base 10, esta herramienta te ayudará a resolver tu ecuación con logaritmos.

Sigue para aprender más sobre qué es un logaritmo, la fórmula del logaritmo, las diferentes propiedades logarítmicas y las reglas que debes seguir. Además, encontrarás información fascinante, como por qué los logaritmos son esenciales en nuestras vidas y dónde se aplican.

Si también estás buscando otras calculadoras matemáticas, no dudes en echarle un vistazo a nuestra calculadora de raíces cúbicas 🇺🇸, que te permite calcular no solo la raíz cúbica, sino también raíces de cualquier grado.

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Una función logarítmica es una función inversa de la potenciación. En esencia, si a elevado a la potencia y da x, entonces el logaritmo de x con base a es igual a y. En forma de ecuaciones, aʸ = x equivale a logₐ(x) = y.

En otras palabras, el logaritmo de x, o logₐ(x), muestra a qué potencia tenemos que elevar a (o si x es mayor que 1, cuántas veces hay que multiplicar a por sí mismo) para producir el valor x. Desde este punto de vista, también podemos representar el logaritmo de la siguiente manera:

$\mathrm{a^{{log}_a(x)}} =\mathrm x$

Esperamos que ahora entiendas la definición de logaritmo. En las siguientes secciones podrás leer sobre las dos formas más utilizadas y cómo calcular logaritmos.

Se pueden elegir diferentes números como base para los logaritmos; sin embargo, hay dos bases particulares que se utilizan con tanta frecuencia que los matemáticos les han dado nombres únicos, el logaritmo natural y el logaritmo común.

Logaritmo natural

Para calcular el logaritmo natural de un número, hay que elegir una base que sea aproximadamente igual a 2.718281. Convencionalmente, este número se simboliza por e, nombrado así en honor a Leonard Euler, quien definió su valor en 1731. En consecuencia, el logaritmo puede representarse como logₑx, aunque tradicionalmente se denota con el símbolo ln(x). También es usual encontrarlo como log(x), refiriéndose a la misma función, especialmente en finanzas y economía. Por tanto, y = logₑx = ln(x) equivale a x = eʸ = exp(y).

Una forma práctica de entender la función del logaritmo natural es ponerlo en el contexto del interés compuesto. Es decir, el interés que se calcula tanto sobre el principal como sobre los intereses acumulados.

La fórmula del interés compuesto anual es la siguiente:

A = P⋅(1 + r/m)ᵐᵗ

donde:

• A – valor de la inversión después de t años;
• P – valor inicial;
• r – tasa de interés anual (en decimales);
• m – número de veces que se capitaliza el interés al año o frecuencia de capitalización; y
• t – número de años.

Supongamos que depositas dinero durante un año en un banco en el que la capitalización es frecuente, lo que significa que m es un número elevado. Podemos ver lo rápido que aumenta el valor de m si comparamos las frecuencias anuales (m=1), mensuales (m=12), diarias (m=365) u horarias (m=8,760). Ahora, imaginemos que tu dinero se recalcula cada minuto o segundo: m se convierte en un número considerablemente alto.

A continuación, para r = 1, veamos cómo afecta el aumento de la frecuencia a tu cantidad de dinero inicial:

Puedes observar que aunque la frecuencia de capitalización alcanza un número inusualmente alto, el valor de (1 + r/m)ᵐ (que es el multiplicador de tu depósito inicial) no aumenta mucho. En cambio, se vuelve algo estable: se acerca a un valor único que mencionamos anteriormente, e ≈ 2.718281.

Dado que las tasas de crecimiento suelen seguir un patrón similar al del ejemplo anterior, la economía también depende en gran medida de los logaritmos naturales. Dos variables comunes que utilizan logaritmos naturales son la tasa de crecimiento del PIB 🇺🇸 y la elasticidad precio de la demanda.

Logaritmo común

La otra forma popular de logaritmo es el logaritmo común de base 10, log₁₀x, que se denomina convencionalmente lg(x). También se conoce como logaritmo decimal, logaritmo decádico, logaritmo estándar o logaritmo briggsiano, en honor a Henry Briggs, matemático inglés que desarrolló su uso.

Como su nombre indica, es la forma de logaritmo más utilizada. Se emplea, por ejemplo, en nuestra calculadora de dB (decibelios) 🇺🇸. En la antigüedad, las tablas de logaritmos que se utilizaban para facilitar los cálculos solían presentar logaritmos comunes.

La siguiente tabla muestra algunos logaritmos comunes y naturales de números frecuentemente usados:

Si quieres calcular logaritmos con una base arbitraria sin la ayuda de una calculadora logarítmica como la nuestra, por ejemplo solo con una calculadora de logaritmos naturales o una calculadora de base log 10, debes aplicar las siguientes reglas del logaritmo:

• logₐ(x) = ln(x) / ln(a)
• logₐ(x) = lg(x) / lg(a)

Supongamos que quieres utilizar esta calculadora de logaritmos para calcular logaritmos de base 2. Para resolver el logaritmo de cualquier número, solo tienes que seguir estos sencillos pasos:

1. Decide el número del que quieres hallar el logaritmo. Digamos que es 100.

2. Elige tu base, en este caso, es 2.

3. Encuentra el logaritmo en base 10 del número 100:

   lg(100) = 2

4. Calcula el logaritmo en base 10 del número 2:

   lg(2) = 0.30103

5. Divide estos valores entre sí:

   lg(100)/lg(2) = 2 / 0.30103 = 6.644

6. También puedes saltarte los pasos del 3 al 5 e introducir directamente el número y la base en la calculadora de logaritmos.

Las pruebas sugieren que la noción de logaritmo ya estaba presente en la India del siglo VIII. Sin embargo, el concepto desarrollado de logaritmo y operaciones con logaritmos apareció por primera vez en el libro titulado Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descripción de la maravillosa regla del logaritmo) impreso en 1614. Este libro fue el resultado de 20 años de investigaciones del matemático escocés John Napier, quien buscaba facilitar el cálculo para sus otras áreas de interés, como la astronomía y la física.

La primera parte del libro explica con precisión la teoría, incluyendo las propiedades logarítmicas y sus áreas de aplicación. En la segunda parte del libro, se ilustran ejemplos de ecuaciones con logaritmos a lo largo de noventa páginas llenas de tablas. Además, Napier también establece las limitaciones de su obra y proporciona analogías, ejemplos, advertencias, recordatorios y conclusiones. Es por esto que este libro puede considerarse un manual de instrucciones para quienes se interesan en comprender la fórmula del logaritmo. Sin embargo, no se detalla en profundidad el proceso de creación de la herramienta logarítmica.

Para nuestra generación, puede que a primera vista no sea fácil apreciar la invención del logaritmo y las operaciones con logaritmos, puesto que ya empleamos calculadoras y computadoras modernas para los cálculos matemáticos. Sin embargo, en el siglo XVII, fue un descubrimiento que tuvo un profundo impacto en la vida de las personas. Resolver problemas matemáticos antes de la aparición de los logaritmos podía llevar horas, días o incluso años.

El primer avance significativo que introdujeron los logaritmos fue la mejora en los cálculos al convertir las multiplicaciones y divisiones en sumas y restas. El único esfuerzo adicional consistía en buscar logaritmos y antilogaritmos en tablas.

El nuevo procedimiento de cálculo resultó ser decisivo en el campo de la astronomía. Las actividades científicas de Napier coincidieron con la era de los nuevos avances en astrofísica. Como resultado, muchos astrónomos se afanaban en interminables cálculos para detectar la posición de los planetas según la teoría del sistema solar de Copérnico. Johannes Kepler, que por aquel entonces trabajaba en sus famosas leyes de los movimientos planetarios, se encontraba entre ellos.

Gracias a los esfuerzos de Napier, Kepler pudo reducir sustancialmente su carga de trabajo, que antes le exigía cerca de mil páginas de cálculos, lo que le permitió dedicar más tiempo a especulaciones filosóficas.

El famoso matemático británico Henry Briggs no tardó en darse cuenta de la capacidad del nuevo invento y se trasladó a Escocia para reunirse con Napier y explorar posibles avances juntos.

Como resultado, tras modificar la idea original, en 1617 formularon la primera tabla de los logaritmos basada en potencias de 10. En 1624, tras la muerte de Napier, Briggs publicó su libro, Arithmetica logarithmic que presentaba tablas logarítmicas para 30 mil números naturales con 14 decimales. Esta forma de logaritmos se considera hoy como logaritmos comunes (Katrici, 2007).

Las reglas de cálculo eran herramientas que permitían a los matemáticos realizar cálculos complejos aprovechando las propiedades logarítmicas. Funcionaban al convertir operaciones como la multiplicación y la división en sumas y restas.

La creciente popularidad de este novedoso instrumento matemático estimuló nuevas exploraciones. En 1620, Edmund Gunter introdujo la línea de cálculo del logaritmo, un dispositivo utilizado para multiplicaciones y divisiones.

La primera versión de la herramienta, que requería un par de compases para medir, fue mejorada por William Oughtred hacia 1622. Él diseñó la regla de cálculo convencional, un dispositivo con dos reglas que se deslizaban una junto a la otra.

De este modo, Oughtred creó un nuevo enfoque para facilitar aún más el cálculo de las leyes o reglas de los logaritmos. Las reglas de cálculo se convirtieron en un dispositivo de cálculo estándar en las profesiones que exigían aritmética. Arquitectos, ingenieros, científicos e incluso astronautas confiaron en su ayuda para el cálculo hasta la llegada de la Revolución Digital. Incluso Albert Einstein utilizaba una, y las tripulaciones de las misiones Apolo también llevaron reglas de cálculo al espacio.

Comparada con las primeras versiones de las computadoras, la regla de cálculo tenía muchas ventajas:

• suficientemente pequeña para llevarla en un bolsillo;
• no requiere una fuente de alimentación;
• relativamente barata;
• mecánicamente fiable;
• funcionamiento sencillo; y
• puede resolver cualquier problema numérico relacionado con condiciones normales.

En la actualidad, las computadoras modernas y las calculadoras científicas han reemplazado prácticas obsoletas. Sin embargo, comprender los conceptos que se encuentran detrás de los logaritmos puede ayudarte a desarrollar tus habilidades matemáticas. Los logaritmos todavía tienen numerosos usos prácticos en diversos campos.

El hecho de que los logaritmos relacionen la progresión aritmética con la progresión geométrica sugiere que ciertos fenómenos del mundo real podrían seguir un patrón logarítmico. De hecho, existen abundantes ejemplos en la naturaleza y en nuestra vida práctica, que se pueden atribuir a la función logarítmica.

Por ejemplo, los siguientes fenómenos naturales muestran una espiral logarítmica:

• la concha de un nautilo

• galaxias

• ciclones

Además, hay otros fenómenos que se miden en la escala logarítmica:

• dureza de los minerales – escala de Mohs;
• intensidad de los sonidos – decibeles (dB);
• intensidad del viento – escala de Beaufort;
• terremotos – escala de Richter; y
• acidez – pH.

💡 ¿Sabías que el logaritmo se usa para calcular el valor de la figura de ruido 🇺🇸? Este es importante en áreas de estudio relacionadas con la reducción y control de ruido.

Antes de finales de la década de 1970, cuando las calculadoras de bolsillo se hicieron accesibles al público en general, realizar cálculos, especialmente con fracciones, requería un esfuerzo manual considerable. Para facilitar este tedioso trabajo, el uso de logaritmos cumplía una función práctica.

Para aprovechar las ventajas técnicas del logaritmo, necesitamos estar familiarizados con las propiedades logarítmicas básicas. Es posible que ya las conozcas, pero, para refrescar tu memoria, las resumimos en la siguiente tabla.

Para demostrar su utilidad en la época anterior a las calculadoras, supongamos que necesitas calcular el producto de 5.89 × 4.73 sin utilizar ningún dispositivo electrónico. Es verdad que podrías realizar la multiplicación en papel, pero esto llevaría un poco de tiempo. En su lugar, puedes emplear la regla del logaritmo con tablas logarítmicas y obtener una aproximación relativamente buena del resultado.

Si tienes una tabla logarítmica, puedes comprobar rápidamente el logaritmo de estos números (o puedes usar Internet para encontrar una tabla cargada electrónicamente), pero para facilitar aún más el trabajo, usemos nuestra calculadora de logaritmos.

$\text{lg}(5.89) ≅ 0.7701153$ and $\text{lg}(4.73) ≅ 0.674861$

Aplicando la primera regla podemos reescribir la siguiente ecuación con logaritmos:

$\text{lg}(5.89 \times 4.73) =\text{lg}(5.89) + \text{lg}(4.73) ≅ 0.770115 + 0.6748611$

$\text{lg}(5.89 \times 4.73) ≅ 1.4449761$

Aún no conocemos el resultado exacto, así que tomamos el exponente de ambos lados de la ecuación con logaritmos y hacemos algunos cambios en el lado derecho.

$5.89 \times 4.73 ≅ 10^{1.4449761} = 10^{0.4449761} \times 10^1$

Lo siguiente que tendrías que hacer es buscar 10^0.4449761 en una tabla de antilogaritmos o en nuestra calculadora de antilogaritmos. ¿Cuál es el antilogaritmo de 0.4449761 en base 10? 2.785968.

Reescribiendo la ecuación:

$5.89 \times 4.73 ≅ 2.785968 \times 10^1 = 27.85968$

Es probable que el procedimiento anterior parezca laborioso en comparación con solo introducirlo en una calculadora de bolsillo o usando cualquier aplicación competente, como nuestra calculadora de logaritmos. Para mostrar cómo el poder de los logaritmos puede ayudarte incluso en nuestros tiempos modernos, consideremos una operación factorial 🇺🇸 de 100, que es el producto de todos los números enteros del 1 al 100.

$100! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ⋯ \times 99 \times 100$

Si intentaras resolver este problema con una calculadora de bolsillo normal, probablemente fracasarías, ya que el resultado es un número enorme con muchos dígitos.

Pero con la ayuda de los logaritmos, puedes reescribir (con algo de redondeo) la operación como:

$\text{lg100!} = \text{lg1} + \text{lg2} + \text{lg3} + ⋯ + \text{lg100} = 0 + 0.30103 + 0.47712 + ⋯ + 2 ≅ 157.97$

$100! ≅ 10^{0.97} \times 10^{157} = 9.3325 \times 10^{157}$

Ingenioso, ¿verdad?