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Parabel Rechner

Created by Bogna Szyk and Wojciech Sas, PhD
Reviewed by Steven Wooding and Jack Bowater
Translated by Luise Schwenke and Julia Kopczyńska, PhD candidate
Last updated: Mar 14, 2024


Wann immer du eine quadratische Gleichung 🇺🇸 analysieren möchtest, wirst du feststellen, dass dieser Parabel-Rechner das perfekte Werkzeug für dich ist. Er liefert dir nicht nur die Parabelgleichung, sowohl in der Normalform als auch in der Scheitelpunktform, sondern berechnet auch den Scheitelpunkt, den Brennpunkt und die Leitlinie der Parabel für dich.

Was ist eine Parabel?

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Quelle: Wikimedia.

Eine Parabel ist eine U-förmige, symmetrische Kurve. Ihre Haupteigenschaft ist, dass jeder Punkt auf der Parabel sowohl von einem bestimmten Punkt, dem Brennpunkt der Parabel, als auch von einer Linie, der Leitlinie, gleich weit entfernt ist. Sie ist auch die Kurve, die den quadratischen Gleichungen entspricht.

Die Symmetrieachse (in Abb.: Axis of Symmetry, lila) einer Parabel steht immer senkrecht zur Leitlinie (in Abb.: Directrix, grün) und geht durch den Brennpunkt (in Abb.: Focus). Der Scheitelpunkt (in Abb.: Vertex) einer Parabel ist der Punkt, an dem die Kurve der Parabel am steilsten ist; er befindet sich genau in der Mitte zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie.

Ein konkretes Beispiel für eine Parabel sind Wurfparabeln, die die Flugbahn von geworfenen Objekten beschreiben.

Die Gleichung der Parabel in Scheitelpunktform

Die Normalform einer quadratischen Gleichung ist y = ax² + bx + c. Mit diesem Rechner kannst du diese Gleichung in die Scheitelpunkform umwandeln, mit der du die wichtigen Punkte der Parabel finden kannst – ihren Scheitelpunkt und ihren Brennpunkt.

Die Gleichung der Parabel in der Scheitelpunktform lautet y = a(x - h)² + k, wobei:

  • a – dem Koeffizienten a in der Normalform entspricht,
  • h – die x-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel ist, und
  • k – die y-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel ist.

Du kannst die Werte von h und k anhand der folgenden Gleichungen berechnen:

h = - b/(2a) und

k = c - b²/(4a).

Brennpunkt und Leitlinie einer Parabel

Der Parabel-Rechner bestimmt natürlich auch den Brennpunkt und die Leitlinie der Parabel für dich. Alles, was du tun musst, ist, die folgenden Gleichungen zu verwenden:

  • Brennpunkt x-Koordinate: x₀ = - b/(2a);
  • Brennpunkt y-Koordinate: y₀ = c - (b² - 1)/(4a); und
  • Leitlinie: y = c - (b² + 1)/(4a).

Wie verwende ich den Parabel Rechner: ein Beispiel

  1. Gib die Koeffizienten a, b und c in der Normalform deiner quadratischen Gleichung ein. Nehmen wir an, dass die Gleichung y = 2x² + 3x - 4 lautet, was bedeutet, dass a = 2, b = 3 und c = -4 ist.

  2. Berechne die Koordinaten des Scheitelpunkts, indem du die oben genannten Formeln verwendest:

    h = - b/(2a) = -3/4 = -0,75 und

    k = c - b²/(4a) = -4 - 9/8 = -5,125.

  3. Bestimme die Koordinaten des Brennpunkts der Parabel. Die x-Koordinate des Brennpunkts ist dieselbe wie die des Scheitelpunkts (x₀ = -0,75), und die y-Koordinate berechnet sich als:

    y₀ = c - (b² - 1)/(4a) = -4 - (9-1)/8 = -5.

  4. Finde die Leitlinie der Parabel. Du kannst dafür entweder den Parabel-Rechner oder die folgende Gleichung verwenden:

    y = c - (b² + 1)/(4a) = -4 - (9+1)/8 = -5,25.

Wenn du weitere Konzepte der Koordinatengeometrie kennenlernen möchtest, empfehlen wir dir, einen Blick auf den Mittlere Änderungsrate Rechner und den Latus Rectum Rechner 🇺🇸 zu werfen.

FAQ

Was ist eine Parabel?

Eine Parabel ist eine symmetrische U-förmige Kurve, bei der jeder Punkt der Kurve gleich weit von der Leitlinie und dem Brennpunkt entfernt ist.

Wie kann ich eine Parabel definieren?

Die Gleichung, die eine Parabel definiert, lautet: y = ax² + bx + c und beschreibt, wie jeder Punkt auf der Kurve diese Gleichung erfüllt.

Wie kann ich den Scheitelpunkt einer Parabel berechnen?

Berechne den Scheitelpunkt einer Parabel, die durch die Koordinaten (x, y) definiert ist:

  1. Bestimme die x-Koordinate mithilfe der Formel für die Symmetrieachse:

    x₀ = - b/(2a).

  2. Bestimme die y-Koordinate mithilfe der Gleichung der Parabel:

    y₀ = c - (b² - 1)/(4a).

Wie berechnet man den Brennpunkt einer Parabel?

Berechne den Brennpunkt einer Parabel, die durch die Koordinaten (x, y) definiert ist:

  1. Finde die y-Koordinate mithilfe der Formel y = c - (b² + 1)/(4a).
  2. Finde die x-Koordinate unter Verwendung der Parabelgleichung.
Bogna Szyk and Wojciech Sas, PhD
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What to input?
Standard form
Parabola orientation
Vertical (y 〜 x²)
Standard form: y = ax² + bx + c
a
b
c
Results
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Yes
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