Scheitelform Rechner

Willkommen bei unserem Scheitelform-Rechner (auch bekannt als Scheitelpunkt-Rechner oder Finde-den-Scheitelpunkt-Rechner). Wenn du wissen möchtest, wie man den Scheitelpunkt einer Parabel findet, ist dies der richtige Ort. Außerdem lernst du mit unserem Tool, was die Scheitelform einer quadratischen Gleichung ist und wie du die Gleichung der Scheitelform (oder Scheitelpunktform) selbst herleiten kannst.

Und das ist noch nicht alles! Dieser Rechner hilft dir auch im Handumdrehen, die Standardform einer Parabel in die Scheitelpunktform umzuwandeln, oder auch umgekehrt!

Der Scheitelpunkt einer Parabel ist ein Punkt, der den Extremwert einer quadratischen Kurve darstellt. Das Wort „quadratisch“ deutet darauf hin, dass die höchste Potenz unserer Variablen (x) zwei ist. Der Scheitelpunkt kann entweder ein Minimum (bei einer nach oben offenen Parabel) oder ein Maximum (bei einer nach unten offenen Parabel) sein.

Alternativ können wir auch sagen, dass der Scheitelpunkt der Schnittpunkt der Parabel mit ihrer Symmetrieachse ist.

In der Regel bezeichnen wir den Scheitelpunkt als Punkt S(h,k), wobei h für die x-Koordinate und k für die y-Koordinate steht.

Das sind genug Definitionen. Wie findet man nun den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion? Es mag dich überraschen, aber wir müssen dafür keine Quadratwurzel ausrechnen!

Immer wenn wir die Standardform einer Parabel y = a·x² + b·x + c vor uns haben, können wir diese Gleichungen für die Scheitelpunktkoordinaten verwenden:

h = -b/(2a),

k = c - b²/(4a).

Wenn wir wissen, wie man diese Formel findet 🇺🇸, können wir einen Schritt weitergehen und uns fragen: Was ist die Scheitelform einer Parabel?

Intuitiv ist die Scheitelpunktform (oder Scheitelform) einer Parabel diejenige, die die Details des Scheitelpunkts einschließt. Wir können die Gleichung der Scheitelpunktform wie folgt schreiben:

y = a·(x-h)² + k.

Wie du siehst, müssen wir drei Parameter kennen, um eine quadratische Scheitelpunktform zu bestimmen. Einer davon ist a, derselbe wie aus der Normalform. Er sagt uns, ob die Parabel nach oben (a > 0) oder nach unten (a < 0) geöffnet ist. Der Parameter a kann bei der Scheitelform einer Parabel (oder jeder anderen Form, genau genommen) nie gleich null sein.

Die übrigen Parameter, h und k, sind die Komponenten des Scheitelpunkts. Daher hat die Scheitelpunktform-Gleichung ihren Namen.

Wir sollten zudem erwähnen: Es ist möglich, eine quadratische Funktion zu zeichnen, wenn uns nur der Parameter a und der Scheitelpunkt bekannt sind.

Wenn du eine quadratische Gleichung von der Standardform in die Scheitelpunktform umwandeln möchtest, kannst du die Methode der quadratischen Ergänzung anwenden (mehr dazu findest du in unserem Quadratische Ergänzung Rechner 🇺🇸). Lass uns besprechen, wie diese Methode in unserem aktuellen Kontext funktioniert.

So wandelst du die Standardform y = ax² + bx + c in die Scheitelpunktform um:

1. Klammere a aus den ersten beiden Termen aus: y = a[x² + (b/a)x] + c.
2. Addiere und subtrahiere (b/(2a))² innerhalb der Klammer: y = a[x² + (b/a)x + (b/(2a))² - (b/(2a))²] + c.
3. Verwende eine der binomischen Formel: y = a[(x + b/(2a))² - (b/(2a))²] + c.
4. Entferne die äußere Klammer: y = a(x + b/(2a))² - b²/(4a) + c.
5. Das ist deine Scheitelform mit h = -b/(2a) und k = c - b²/(4a).

Das ist eine Möglichkeit, wie du von der Normalform zur Scheitelform kommen kannst. Die zweite (und schnellere) Möglichkeit ist die Verwendung unseres Scheitelpunkt-Rechners – den wir dir wärmstens empfehlen! Dazu musst du nur die Parameter a, b und c eingeben. Das Ergebnis erscheint dann sofort im letzten Feld des Rechners.

Unser Scheitelpunkt-Rechner funktioniert auch umgekehrt, indem er die Normalform einer Parabel findet. Wenn du wissen möchtest, wie du die Scheitelpunkt-Gleichung handschriftlich aufstellen kannst, findest du die Anleitung im nächsten Abschnitt.

So wandelst du eine Parabel von der Scheitelpunkt- in die Normalform um:

1. Schreibe die Gleichung der Parabel in der Scheitelform auf:

   y = a(x-h)² + k.

2. Löse die Klammer auf:

   y = a(x² - 2hx + h²) + k.

3. Multipliziere die Terme in der Klammer mit a:

   y = ax² - 2ahx + ah² + k.

4. Vergleiche das Ergebnis mit der Standardform einer Parabel:

   y = ax² + bx + c.

5. Das ist die Normalform! Ihre Parameter sind b = -2·a·h, c = a·h² + k.

Es gibt zwei Möglichkeiten, unseren Scheitelform-Rechner zu nutzen:

• Die erste Möglichkeit ist, die Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung zu verwenden.

• Bei der zweiten Möglichkeit kannst du die Werte der Normalform eingeben und der Rechner wandelt sie automatisch zur Scheitelpunktform um.

Die zweite Möglichkeit haben wir bereits in einem der vorherigen Abschnitte beschrieben. Schauen wir mal, was bei der ersten Lösung passiert:

• Gib die Werte für den Parameter a und die Koordinaten des Scheitelpunkts h und k ein. Wir wählen: a = 0,25, h = -17, k = -54.

• Das ist alles! Als Ergebnis siehst du einen Graphen deiner quadratischen Funktion, zusammen mit den Punkten, die den Scheitelpunkt, den y-Achsenabschnitt und die Nullstellen angeben.

Unterhalb des Diagramms findest du die Details:

• sowohl die Scheitel- als auch Normalform der Parabel: y = 0,25(x + 17)² - 54 bzw. y = 0,25x² + 8,5x + 18,25;

• den Scheitelpunkt: S = (-17, -54);

• den y-Achsenabschnitt: Y = (0, 18,25);

• die Werte der Nullstellen: X₁ = (-31,6969 , 0), X₂ = (-2,3031, 0). Falls du neugierig bist: Wir runden das Ergebnis auf vier Nachkommastellen.

Wenn du die Parameter a, b und c aus der Normalform einer Parabel kennst, kannst du die Scheitelkoordinaten h und k mithilfe der folgenden Formeln ermitteln:

• h = -b/(2a) und
• k = c - b²/(4a).

Alternativ kannst du den Wert deiner Parabel für das Argument h auswerten, d. h. k = ah² + bh + c.

Die Scheitelpunktform ist y = a(x - 2)² + 5, wobei a derselbe Parameter (ungleich null) wie in der Normalform ist. Für jeden Wert von a erhältst du eine andere Parabel, also musst du dein a bestimmen, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten.