Mitternachtsformel Rechner
Wenn du eine Gleichung der Form Ax² + Bx + C = 0 lösen musst, ist dieser Rechner für quadratische Formeln da, um dir zu helfen. Mit nur wenigen Klicks kannst du selbst die schwierigsten Probleme lösen. Dieser Artikel beschreibt ausführlich, was die Mitternachtsformel ist und wofür die Symbole A, B und C stehen. Außerdem wird erklärt, wie man quadratische Gleichungen löst, die eine negative Diskriminante und keine reellen Wurzeln haben.
Was sind quadratische Gleichungen?
Die quadratische Gleichung ist die Lösung einer Polynomgleichung zweiten Grades der folgenden Form:
ax² + bx + c = 0
Wenn du deine Gleichung in dieser Form umschreiben kannst, bedeutet das, dass sie mit der Mitternachtsformel (auch abc-Formel oder quadratische Formel genannt) gelöst werden kann.
Die Mitternachtsformel lautet wie folgt:
x = (-b ± √Δ)/2a,
wobei:
- Δ = b² - 4ac
Mit dieser Formel kannst du die Lösungen für jede quadratische Gleichung finden. Beachte, dass es drei Möglichkeiten gibt, um ein Ergebnis zu erhalten:
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Die quadratische Gleichung hat zwei eindeutige Lösungen, wenn Δ > 0. Dann lautet die erste Lösung der quadratischen Formel x₁ = (-b + √Δ)/2b und die zweite x₂ = (-b - √Δ)/2a.
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Die quadratische Gleichung hat nur eine reelle Lösung, wenn Δ = 0. Die Lösung ist gleich x = -b/2a.
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Die quadratische Gleichung hat keine reellen Lösungen für Δ < 0.
Du kannst die Funktion y = ax² + bx + c auch grafisch darstellen. Sie hat die Form einer Parabel, und die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind die Schnittpunkte mit der x-Achse dieser Funktion.
💡 Wir verwenden die quadratische Formel in vielen Bereichen unseres Lebens, nicht nur in der Mathematik oder Physik, sondern auch im Bauwesen. Du kannst zum Beispiel einen sanften Übergang zwischen zwei geneigten Fahrbahnen mit der vertikalen Kurvenformel 🇺🇸 planen, die auf der quadratischen Gleichung basiert.
Koeffizienten einer quadratischen Gleichung
A, B und C sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Sie sind alle reelle Zahlen, die nicht von x abhängen. Wenn A = 0 ist, dann ist die Gleichung nicht quadratisch, sondern linear.
Wenn B² < 4AC, dann ist die Diskriminante Δ negativ. Das bedeutet, dass eine solche Gleichung keine reellen Wurzeln hat.
Wie man quadratische Gleichungen mit der Mitternachtsformel löst
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Schreibe deine Gleichung auf. Nehmen wir an, sie lautet 4x² + 3x - 7 = -4 - x.
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Bringe die Gleichung in die Form ax² + bx + c = 0. In diesem Beispiel werden wir das in den folgenden Schritten tun:
4x² + 3x - 7 = -4 - x
4x² + (3 + 1)x + (-7 + 4) = 0
4x² + 4x - 3 = 0
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Berechne die Determinante.
Δ = b² - 4ac = 4² - 4×4×(-3) = 16 + 48 = 64.
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Entscheide, ob die Determinante größer, gleich oder kleiner als 0 ist. In unserem Fall ist die Determinante größer als 0, was bedeutet, dass diese Gleichung zwei reelle Lösungen hat.
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Berechne die beiden Lösungen mithilfe der Mitternachtsformel/ABC-Formel.
x₁ = (-b + √Δ)/2a = (-4 +√64) / (2×4) = (-4 + 8) / 8 = 4/8 = 0,5
x₂ = (-b - √Δ)/2a= (-4 -√64) / (2×4) = (-4 - 8) / 8 = -12/8 = -1.5
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Die Lösungen deiner Gleichung sind x₁ = 0,5 und x₂ = -1,5.
Du kannst auch einfach die Werte von a, b und c in unseren Rechner eingeben und ihn alle Berechnungen für dich durchführen lassen.
Vergewissere dich, dass du die richtige Anzahl an Stellen mit unserem Signifikanten Stellen Rechner notiert hast.
Lösen quadratischer Gleichungen mit negativer Determinante
Auch wenn der Rechner für quadratische Formeln anzeigt, dass die Gleichung keine reellen Wurzeln hat, ist es möglich, die Lösung einer quadratischen Gleichung mit einer negativen Diskriminante zu finden. Diese Wurzeln sind dann komplexe Zahlen 🇺🇸.
Jede komplexe Zahl ist eine Summe aus Real- und Imaginärteil. Der Imaginärteil ist immer gleich der Zahl i = √(-1) multipliziert mit einer reellen Zahl.
Die quadratische Formel bleibt in diesem Fall dieselbe.
x = (-B ± √Δ)/2A
Beachte, dass die Quadratwurzel der Diskriminante ein imaginärer Wert ist, da Δ < 0 ist. Daraus folgt:
Re(x) = -B/2A
Im(x) = ± (√Δ)/2A
Betrachte zum Beispiel die Gleichung x^2 + 1 = 0. Ihre Diskriminante ist
Δ = B² - 4AC = 0² - 4×1×1 = -4,
die Gleichung lässt also zwei verschiedene komplexe Lösungen zu:
x₁ = (-B + √Δ)/2A = (0 + 2i) / (2×1) = i
x₂ = (-B - √Δ)/2A= (0 - 2i) / (2×1) = -i
Da die Diskriminante negativ ist, ist keine der beiden Lösungen eine reelle Zahl.
Anwendung: goldener Schnitt
Hier ist ein Problem, bei dem die quadratische Formel zum Einsatz kommt. Nehmen wir an, wir möchten ein Gerade-Segment in zwei Teile aufteilen, ein längeres mit der Länge a und ein kürzeres mit der Länge b, so dass das Verhältnis a/b ihrer Längen gleich (a+b)/a ist, also das Verhältnis der Länge des gesamten Segments zur Länge des längeren Teils. Wie sieht das Verhältnis aus?
Mathematisch bedeutet das, dass wir die Gleichung a/b = (a+b)/a lösen müssen. Das ist eine Gleichung mit zwei Variablen a und b, aber wir sind nicht daran interessiert, ihre einzelnen Werte zu kennen, sondern nur ihr Verhältnis. Wenn wir ihr Verhältnis als ϕ = a/b bezeichnen, lautet die Gleichung, die wir lösen müssen
ϕ = a/b = (a+b)/a = 1 + b/a = 1 + 1/ϕ
Diese Aufgabe sieht zwar nicht einfach aus, aber wir können diese Gleichung in eine quadratische Gleichung umwandeln. Wenn wir nämlich beide Seiten der Gleichung mit ϕ multiplizieren, erhalten wir:
ϕ² = ϕ + 1
das ist eine quadratische Gleichung! Wenn wir ϕ + 1 auf die linke Seite verschieben, erhalten wir eine Gleichung:
ϕ² - ϕ - 1 = 0
die mit unserer quadratischen Formel gelöst werden kann. Die Diskriminante ist in der Tat:
Δ = B² - 4AC = -1 - 4 × 1 × (-1) = 5
und so lässt die Gleichung zwei verschiedene Lösungen zu:
x₁ = (-B + √Δ)/2A = (-1 + √5) / 2 =1,618...
x₂ = (-B - √Δ)/2A= (-1 - √5) / 2 = -0,618...
Beachte, dass eine dieser Lösungen positiv und die andere negativ ist. Da wir daran interessiert sind, ein Verhältnis zweier positiver Zahlen zu finden (weil Längen immer positiv sind), ist die erste Lösung diejenige, nach der wir suchen. Also ϕ = 1,618...
Die Zahl ϕ = 1,618... wird goldener Schnitt oder divide Proportion genannt und hat an verschiedenen Stellen in der Mathematik erstaunliche Auftritte. Ein Beispiel:
- Das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen nähert sich ϕ an; und
- In einem regelmäßigen Fünfeck ist das Verhältnis der Diagonalen zur Seite ϕ.
Der goldene Schnitt ist auch außerhalb der Mathematik berühmt geworden. Er wird oft als die ästhetischste Proportion angesehen, daher auch sein zweiter Name: die göttliche Proportion. Aus diesem Grund wurde er in der Publikation De Divina Proportione (Über die göttliche Proportion) von Luca Pacioli aus dem 16. Jahrhundert mit Illustrationen von Leonardo da Vinci vorgestellt. In der Publikation werden verschiedene Erscheinungsformen des goldenen Schnitts in Kunst und Architektur besprochen.
Viele historische und zeitgenössische Quellen behaupten, dass der goldene Schnitt auch in der Natur allgegenwärtig ist. Einige Beispiele sind:
- Das Wachstumsmuster von Blättern;
- Geometrische Oberflächen einiger Gemüsesorten und Muscheln; und
- Die Proportionen der Knochen einiger Tiere.
Auch wenn wir das Vorhandensein von geometrischen Mustern in der Natur nicht leugnen können, können wir nicht bestätigen, dass die Proportionen der oben genannten Beispiele genau stimmen: Einige weisen große Abweichungen auf, während andere dem goldenen Schnitt nur nahe kommen.
Weitere Methoden
Eine andere Möglichkeit, mit quadratischen Gleichungen umzugehen, ist Faktorisierung von Trinomen 🇺🇸. Und es ist sehr hilfreich, wenn du quadratische Trinome zum Perfekt 🇺🇸 schnell erkennen kannst. Als Nächstes lernst du wie man quadratische Ungleichungen grafisch darstellt 🇺🇸.
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