Kalkulator równania kwadratowego

Jeśli chcesz rozwiązać równanie w postaci Ax² + Bx + C = 0, ten kalkulator równania kwadratowego jest dla ciebie. Wystarczy kilka kliknięć, aby rozwiązać nawet najtrudniejsze matematyczne problemy. W tym artykule opisano szczegółowo, czym jest równanie kwadratowe i co oznaczają symbole A, B i C. Wyjaśniono również, jak rozwiązywać równania kwadratowe, które mają ujemną deltę i nie mają pierwiastków rzeczywistych.

Równanie kwadratowe jest to rodzaj równania wielomianowego drugiego stopnia o następującej postaci:

Ax² + Bx + C = 0

Jeśli możesz przepisać swoje równanie w tej formie, oznacza to, że można je rozwiązać za pomocą wzoru na równanie kwadratowe. Rozwiązanie tego równania jest również nazywane pierwiastkiem równania.

Wzór kwadratowy jest następujący:

x = (-B ± √Δ)/2A

gdzie:

• Δ = B² – 4AC

Korzystając z tego wzoru, możesz znaleźć rozwiązanie dowolnego równania kwadratowego. Zauważ, że istnieją trzy możliwe opcje uzyskania wyniku:

• Równanie kwadratowe ma dwa wyjątkowe pierwiastki, gdzie Δ > 0. Wtedy pierwszym rozwiązaniem wzoru kwadratowego jest x₁ = (-B + √Δ)/2A, a drugim x₂ = (-B - √Δ)/2A.

• Równanie kwadratowe ma tylko jeden pierwiastek, gdzie Δ = 0. Rozwiązanie jest równe x = -B/2A. Jest ono czasami nazywane wielokrotnym lub podwójnym pierwiastkiem.

• Równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych dla Δ < 0.

Możesz również sporządzić wykres funkcji y = Ax² + Bx + C. Ma ona kształt paraboli, a pierwiastki równania kwadratowego są miejscami przecięcia z osią X tej funkcji.

A, B i C to współczynniki równania kwadratowego. Wszystkie są liczbami rzeczywistymi, niezależnymi od x. Jeśli A = 0, to równanie nie jest kwadratowe, lecz liniowe.

Jeśli B² < 4AC, to delta Δ będzie ujemna. Oznacza to, że takie równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

1. Zapisz swoje równanie. Załóżmy, że jest to 4x² + 3x - 7 = -4 - x.

2. Doprowadź równanie do postaci Ax² + Bx + C = 0. W tym przykładzie zrobimy to w następujących krokach:

   4x² + 3x - 7 = -4 - x

   4x² + (3 + 1)x + (-7 + 4) = 0

   4x² + 4x - 3 = 0

3. Oblicz deltę.

   Δ = B² - 4AC = 4² - 4×4×(-3) = 16 + 48 = 64.

4. Zdecyduj, czy delta jest większa, równa czy mniejsza od 0. W naszym przypadku delta jest większa od 0, co oznacza, że to równanie ma dwa wyjątkowe pierwiastki.

5. Oblicz te dwa pierwiastki za pomocą wzoru kwadratowego.

   x₁ = (-B + √Δ)/2A = (-4 +√64) / (2×4) = (-4 + 8) / 8 = 4/8 = 0,5

   x₂ = (-B - √Δ)/2A= (-4 -√64) / (2×4) = (-4 - 8) / 8 = -12/8 = -1.5

6. Pierwiastkami twojego równania są x₁ = 0,5 i x₂ = -1,5.

Możesz również po prostu wpisać wartości A, B i C do naszego kalkulatora równań kwadratowych i pozwolić mu wykonać wszystkie obliczenia za ciebie.

Upewnij się, że wprowadzono prawidłową liczbę cyfr, korzystając z naszego kalkulatora cyfr znaczących.

Mimo że kalkulator wzoru kwadratowego wskazuje, kiedy równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków, możliwe jest znalezienie rozwiązania równania kwadratowego z ujemnym wyznacznikiem. Tymi pierwiastkami będą liczby zespolone 🇺🇸.

Liczby zespolone mają część rzeczywistą i urojoną. Część urojona jest zawsze równa liczbie i = √(-1) pomnożonej przez liczbę rzeczywistą.

Wzór kwadratowy pozostaje w tym przypadku taki sam.

x = (-B ± √Δ)/2A

Zauważ, że ponieważ Δ < 0, pierwiatek kwadratowy wyznacznika będzie wartością urojoną. Stąd:

Re(x) = -B/2A

Im(x) = ± (√Δ)/2A

Oto jedno z zadań wykorzystujących wzór kwadratowy. Załóżmy, że chcemy podzielić odcinek linii na dwie części, dłuższą o długości a i krótszą o długości b, tak aby stosunek a/b ich długości był taki sam jak (a+b)/a, czyli stosunek długości całego odcinka do długości dłuższej części. Jaki będzie ten stosunek?

Matematycznie oznacza to, że musimy rozwiązać równanie a/b = (a+b)/a. Jest to równanie dwóch zmiennych a i b, ale nie interesuje nas znajomość ich poszczególnych wartości, a jedynie ich stosunek. Jeśli oznaczymy ich stosunek jako ϕ = a/b, wówczas równanie, które musimy rozwiązać, będzie miało postać

ϕ = a/b = (a+b)/a = 1 + b/a = 1 + 1/ϕ

Chociaż zadanie to nie wygląda na łatwe, możemy przekształcić to równanie w równanie kwadratowe. Rzeczywiście, mnożąc obie strony równania przez ϕ, otrzymujemy:

ϕ² = ϕ + 1

co jest równaniem kwadratowym! Przenosząc ϕ + 1 na lewą stronę, otrzymujemy równanie:

ϕ² - ϕ - 1 = 0

które można rozwiązać za pomocą naszego wzoru kwadratowego. Rzeczywiście, wyróżnik wynosi:

Δ = B² - 4AC = -1 - 4 × 1 × (-1) = 5

więc równanie ma dwa różne rozwiązania:

x₁ = (-B + √Δ)/2A = (-1 + √5) / 2 =1,618...

x₂ = (-B - √Δ)/2A= (-1 - √5) / 2 = -0,618...

Zauważ, że jedno z tych rozwiązań jest dodatnie, a drugie ujemne. Ponieważ jesteśmy zainteresowani znalezieniem stosunku dwóch liczb dodatnich (ponieważ długości są zawsze dodatnie), pierwsze rozwiązanie jest tym, którego szukamy. Zatem ϕ = 1,618...

Liczba ϕ = 1,618... nazywana jest złotym podziałem lub proporcją dzielenia i pojawia się w różnych miejscach w matematyce. Na przykład:

• Stosunek dwóch kolejnych liczb Fibonacciego zbliża się do ϕ; oraz
• W pięciokącie foremnym stosunek przekątnej do boku wynosi ϕ.

Złoty podział zyskał sławę poza matematyką. Jest często uważana za najbardziej estetyczną proporcję; stąd jej druga nazwa, boska proporcja. Z tego powodu pojawiła się w XVI-wiecznej publikacji "De Divina Proportione" (O boskiej proporcji) autorstwa Luca Pacioli, z ilustracjami Leonarda da Vinci. Publikacja omawia różne przejawy złotego podziału w sztuce i architekturze.

Wiele historycznych i współczesnych źródeł twierdzi, że złoty podział jest również wszechobecny w naturze. Niektóre przykłady to:

• Wzór wzrostu liści;
• Geometryczne powierzchnie niektórych warzyw i muszli; oraz
• Proporcje kości niektórych zwierząt.

Jednakże, chociaż nie możemy zaprzeczyć obecności geometrycznych wzorów w przyrodzie, nie możemy potwierdzić dokładności proporcji powyższych przykładów: niektóre z nich wykazują ogromne różnice, podczas gdy inne tylko zbliżają się do złotego podziału.

Alternatywnym sposobem radzenia sobie z równaniami kwadratowymi jest rozkładanie trójmianów na czynniki 🇺🇸. I to naprawdę pomaga, jeśli jesteś w stanie szybko rozpoznać trójmian kwadratowy 🇺🇸. Następnym krokiem jest nauczenie się wykresów nierówności kwadratowych 🇺🇸.

Jeśli po nauczeniu się wszystkiego o rozwiązywaniu równań kwadratowych nadal chcesz więcej matematyki, w Omni znajdziesz ponad 240 kalkulatorów matematycznych. W szczególności polecamy ci nasz kalkulator równań sześciennych 🇺🇸.