Calculateur de formule quadratique

Si vous devez résoudre une équation polynomiale de la forme ax² + bx + c = 0, ce calculateur de formule quadratique est là pour vous aider. En quelques clics, vous serez en mesure de résoudre les problèmes les plus difficiles. Cet article décrit en détail ce qu'est la formule quadratique et ce que les lettres a, b et c représentent. Nous vous expliquerons également comment résoudre les équations du second degré sans racines réelles ou dont le déterminant est négatif.

La formule quadratique est la solution d'une équation polynomiale du second degré de la forme suivante :

ax² + bx + c = 0

S'il est possible de réécrire votre équation sous cette forme, cela signifie qu'elle peut être résolue à l'aide de la formule quadratique. Il s'agit de trouver la racine d'une telle équation.

La formule quadratique est la suivante :

x = (-b ± √Δ)/2a

où :

• Δ = b² − 4ac

En utilisant cette formule, vous pouvez trouver les solutions de n'importe quelle équation polynomiale du second degré. Notez qu'il existe trois options possibles pour obtenir un résultat.

• Toutes les équations du second degré ont deux racines uniques lorsque Δ > 0. Dans ce cas, la première solution donnée par la formule quadratique est x₁ = (-b + √Δ) / 2a, et la seconde est x₂ = (-b − √Δ) / 2a.

• Les équations du second degré n'ont qu'une seule racine lorsque Δ = 0. La solution est égale à x = -b / 2a. Elle est parfois appelée racine double.

• Les équations du second degré n'ont pas de solution réelle si Δ < 0.

Vous pouvez également créer un graphique de toute équation du second degré en l'écrivant sous la forme y = ax² + bx + c. Le graphique ce de type d'équation est en forme de parabole, dont les abscisses à l'origine sont les racines carrées de la formule quadratique.

a, b et c sont les coefficients des équations polynomiales du second degré. Ce sont des nombres réels qui ne dépendent pas de x. Si a = 0, l'équation n'est pas quadratique, mais linéaire.

Si b² < 4ac, le déterminant Δ sera négatif. Cela signifie qu'une telle équation n'a pas de racines réelles.

1. Écrivez votre équation. Prenons l'équation suivante : 4x² + 3x − 7 = -4 − x.

2. Réécrivez l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0. Dans cet exemple, nous procéderons comme suit :

   4x² + 3x − 7 = -4 − x

   4x² + (3 + 1)x + (-7 + 4) = 0

   4x² + 4x − 3 = 0

3. Calculez le déterminant :

   Δ = b² − 4ac = 4² − 4 × 4 × (-3) = 16 + 48 = 64.

4. Identifiez si le déterminant est supérieur, égal ou inférieur à 0. Dans notre cas, le déterminant est supérieur à 0. Par conséquent, cette équation aura deux racines uniques.

5. Calculez les deux racines en utilisant la formule quadratique :

   x₁ = (-b + √Δ) / 2a = (-4 +√64) / (2 × 4) = (-4 + 8) / 8 = 4 / 8 = 0,5

   x₂ = (-b − √Δ) / 2a= (-4 −√64) / (2 × 4) = (-4 − 8) / 8 = -12 / 8 = -1,5

6. Donc, les racines de votre équation sont x₁ = 0,5 et x₂ = -1,5.

Vous pouvez également saisir les valeurs de a, b et c dans notre calculateur de formule quadratique. L'outil effectuera tous les calculs pour vous.

Assurez-vous d'avoir écrit le nombre correct de chiffres significatifs en utilisant notre calculateur de chiffres significatifs.

Lorsque le déterminant est négatif, le calculateur de formule quadratique vous communiquera que l'équation n'a pas de racines réelles. Toutefois, il est tout à fait possible de trouver la solution d'une telle équation. Ces racines seront des nombres complexes 🇺🇸.

Les nombres complexes sont constitués par une partie réelle et une partie imaginaire. La partie imaginaire est toujours égale à i = √(-1) multiplié par un nombre réel.

La formule quadratique reste la même.

x = (-b ± √Δ) / 2a

Remarquez que, comme Δ < 0, la racine carrée du déterminant sera une valeur imaginaire. Par conséquent :

• Partie réelle : x_RE = -b / 2a

• Partie imaginaire : x_IM = ± (√Δ) / 2a

Par exemple, considérez l'équation x^2 + 1 = 0. Son discriminant est :

Δ = B² – 4AC = 0² - 4×1×1 = -4

L'équation admet deux solutions :

x₁ = (-B + √Δ)/2A = (0 + 2i) / (2×1) = i

x₂ = (-B – √Δ)/2A= (0 - 2i) / (2×1) = -i

Parce que le discriminant est négatif, aucune des solutions n'est un nombre réél.

Voici un problème qui utilise la formule quadratique. Supposons que nous voulions diviser un segment de droite en deux parties, une plus longue de longueur a et une plus courte de longueur b, de sorte que le rapport a/b de leurs longueurs soit le même que (a+b)/a, le rapport de la longueur du segment entier à la longueur de la partie la plus longue. Quel sera ce rapport ?

Mathématiquement, cela signifie que nous devons résoudre l'équation a/b = (a+b)/a. Il s'agit d'une équation à deux variables a et b, mais nous ne sommes pas intéressés par leurs valeurs individuelles, seulement par leur rapport. Si nous désignons leur rapport par ϕ = a/b, alors l'équation que nous devons résoudre devient :

ϕ = a/b = (a+b)/a = 1 + b/a = 1 + 1/ϕ

Bien que cette tâche ne semble pas facile, nous pouvons transformer cette équation en une équation quadratique. En effet, en multipliant les deux côtés de l'équation par ϕ, nous obtenons :

ϕ² = ϕ + 1

ce qui est une équation quadratique ! En bougeant ϕ + 1 vers le côté gauche, on obtient une équation :

ϕ² - ϕ - 1 = 0

que l'on peut résoudre en utilisant notre formule des quadratiques. En effet, le discriminant est :

Δ = B² - 4AC = -1 - 4 × 1 × (-1) = 5

et donc l'équation admet deux solutions distinctes :

x₁ = (-B + √Δ)/2A = (-1 + √5) / 2 =1,618...

x₂ = (-B - √Δ)/2A= (-1 - √5) / 2 = -0,618...

Remarquez que l'une de ces solutions est positive tandis que l'autre est négative. Comme nous cherchons à trouver un rapport entre deux nombres positifs (car les longueurs sont toujours positives), la première solution est celle que nous recherchons. Donc ϕ = 1,618...

Le nombre ϕ = 1,618... est appelé rapport d'or ou proportion de division, et il fait des apparitions étonnantes à divers endroits en mathématiques. Par exemple :

• le rapport de deux nombre de Fibonacci consécutifs approche ϕ ; et
• dans un pentagone régulier, le rapport entre la diagonale et le côté est ϕ.

Le nombre d'or a acquis une certaine notoriété en dehors des mathématiques. Il est souvent considéré comme la proportion la plus esthétique, d'où son second nom, la divine proportion. C'est pour cette raison qu'il figure dans la publication du 16^^e^ siècle "De Divina Proportione" (De la divine proportion) de Luca Pacioli, avec des illustrations de Léonard de Vinci. La publication traite de diverses apparences du nombre d'or dans l'art et l'architecture.

De nombreuses sources historiques et contemporaines affirment que le nombre d'or est également omniprésent dans la nature. En voici quelques exemples :

• le schéma de croissance des feuilles ;
• surfaces géométriques de certains légumes et coquillages ; et
• les proportions des os de certains animaux.

Cependant, si nous ne pouvons nier la présence de motifs géométriques dans la nature, nous ne pouvons confirmer l'exactitude des proportions des exemples ci-dessus : certains présentent d'énormes variations, tandis que d'autres ne font qu'approcher le nombre d'or.

Il est également possible de résoudre les équations du second degré en utilisant la factorisation des trinômes 🇺🇸. Il est très utile de savoir reconnaître rapidement les trinômes carrés parfaits 🇺🇸. Ensuite, vous pouvez apprendre comment représenter les inégalités quadratiques avec un graphique 🇺🇸.

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