Si necesitas resolver ecuaciones cuadráticas, que siguen la fórmula cuadrática: Ax² + Bx + C = 0, esta calculadora de ecuaciones de segundo grado está aquí para ayudarte. Con solo unos clics, podrás resolver incluso los problemas más difíciles. Este artículo describe detalladamente qué es la fórmula cuadrática y qué significan los símbolos A, B y C. También explica cómo resolver ecuaciones de segundo grado, o ecuaciones cuadráticas, que tienen determinante negativo y no tienen raíces reales.
¿Qué es la fórmula cuadrática o ecuación cuadrática?
La calculadora de ecuaciones de segundo grado es una calculadora que resuelve las ecuaciones que siguen la fórmula cuadrática. Es por eso que antes de ver resultados es conveniente entender qué es la fórumla cuadrática.
La fórmula cuadrática es la solución de una ecuación polinómica de segundo grado de la forma siguiente:
Ax² + Bx + C = 0
Si puedes reescribir tu ecuación de esta forma, significa que se puede resolver con la fórmula cuadrática, y por tanto puede usar esta calculadora cuadrática sobre ella. La solución de esta ecuación también se llama raíz de una ecuación.
La fórmula de la solución a la ecuacion cuadrática es la siguiente
x = (-B ± √Δ)/2A
donde:
- Δ = B² – 4AC
Utilizando esta fórmula, puedes encontrar las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado. Observa que hay tres opciones posibles para obtener un resultado:
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La ecuación de segundo grado tiene dos raíces únicas cuando Δ > 0. Entonces, la primera solución de la fórmula cuadrática es x₁ = (-B + √Δ)/2A, y la segunda es x₂ = (-B – √Δ)/2A.
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La ecuación de segundo grado solo tiene una raíz cuando Δ = 0. La solución es igual a x = -B/2A. A veces se denomina raíz repetida o doble.
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La ecuación de segundo grado no tiene soluciones reales para Δ < 0.
También puedes representar gráficamente la función y = Ax² + Bx + C. Su forma es una parábola, y las raíces de la ecuación cuadrática son las intersecciones en x de esta función.
💡 Utilizamos la fórmula cuadrática (la que usamos en la calculadora cuadrática) en muchos campos de nuestra vida, no solo en matemáticas o física, sino también en la construcción. Por ejemplo, puedes planificar una transición suave entre dos calzadas en pendiente utilizando la fórmula de la curva vertical 🇺🇸 que se basa en la ecuación cuadrática.
Coeficientes y la calculadora de ecuaciones cuadráticas
Veamos ahora cómo afectan los coeficientes de la ecuación cuadrática al comportamiento de esta calculadora de ecuación cuadrática.
A, B y C son los coeficientes de la ecuación de segundo grado. Todos ellos son números reales, que no dependen de x. Si A = 0, la ecuación no es de segundo grado o cuadrática, sino de primer grado, o lineal.
Si B² < 4AC, entonces el determinante Δ será negativo. Esto significa que dicha ecuación no tiene raíces reales y por tanto la calculadora de ecuación cuadrática mostrá un resultado.
Cómo utilizar esta calculadora de ecuaciones de segundo grado
Ahora que ya sabes la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado a mano, es el momento de hacerlo aún más sencillo y aprender a utilizar nuestra calculadora de ecuaciones cuadráticas, para que sea ella la que haga el trabajo duro. Además para que sepas que te puedes fiar plenamente de nuestra calculadora de segundo grado, te vamos a contar los paso a sigue ella internamente, que son los que tú deberías seguir si no tienes la calculadora de ecuaciones cuadráticas a mano.
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Ve a la calculadora de ecuaciones cuadráticas que tienes a la derecha.
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Escribe tu ecuación de segundo grado. Supongamos que es 4x² + 3x – 7 = -4 – x.
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Lleva la ecuación a la forma Ax² + Bx + C = 0. En este ejemplo, lo haremos en los pasos siguientes:
4x² + 3x - 7 = -4 – x
4x² + (3 + 1)x + (-7 + 4) = 0
4x² + 4x - 3 = 0
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Calcula el determinante.
Δ = B² – 4AC = 4² - 4×4×(-3) = 16 + 48 = 64.
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Decide si el determinante es mayor, igual o menor que 0. En nuestro caso, el determinante es mayor que 0, lo que significa que esta ecuación tiene dos raíces únicas.
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Calcula las dos raíces de la ecuación cuadrática con las fórmulas:
x₁ = (-B + √Δ)/2A = (-4 +√64) / (2×4) = (-4 + 8) / 8 = 4/8 = 0.5
x₂ = (-B – √Δ)/2A= (-4 -√64) / (2×4) = (-4 – 8) / 8 = -12/8 = -1.5
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Las raíces de tu ecuación son x₁ = 0.5 y x₂ = -1.5.
También puedes escribir simplemente los valores de A, B y C en nuestra calculadora de ecuaciones de segundo grado y dejar que realice todos los cálculos por ti.
Si tienes dudas sobre la precisión que te da esta calculadora de segundo grado, asegúrate de haber escrito el número correcto de cifras utilizando nuestra calculadora de cifras significativas.
Determinante negativo: limitationes de la calculadora de ecuaciones de segundo grado
Habrás notado que la calculadora de ecuaciones cuadráticas muestras cuando la ecuación no tiene raíces reales, esto se debe a que el determinante (la parte dentro de la raíz cuadrada) es negativo. Aunque la calculadora de ecuaciones de segundo grado no muestre el resultado, es posible encontrar la solución de una ecuación de segundo grado con determinante negativo. Estas raíces serán números complejos 🇺🇸.
Los números complejos tienen una parte real y otra imaginaria. La parte imaginaria es siempre igual al número i = √(-1) multiplicado por un número real.
La fórmula cuadrática sigue siendo la misma en este caso.
x = (-B ± √Δ)/2A
Observa que, como Δ < 0, la raíz cuadrada del determinante será un valor imaginario. Por tanto:
Re(x) = -B/2A
Im(x) = ± (√Δ)/2A
Por ejemplo, considera la ecuación x^2 + 1 = 0. Su discriminante es
Δ = B² - 4AC = 0² - 4×1×1 = -4,
por lo que la ecuación admite dos soluciones complejas distintas:
x₁ = (-B + √Δ)/2A = (0 + 2i) / (2×1) = i
x₂ = (-B - √Δ)/2A= (0 - 2i) / (2×1) = -i
Como el discriminante es negativo, ninguna de las soluciones es un número real.
Aplicación: proporción áurea
He aquí un problema que utiliza la fórmula cuadrática. Supongamos que queremos dividir un segmento de recta en dos trozos, uno más largo de longitud a y otro más corto de longitud b, de modo que el cociente a/b de sus longitudes sea igual a (a+b)/a, el cociente entre la longitud del segmento entero y la longitud del trozo más largo. ¿Cuál será la relación?
Matemáticamente, esto significa que tenemos que resolver la ecuación a/b = (a+b)/a. Se trata de una ecuación en dos variables a y b, pero no nos interesa conocer sus valores individuales, sino sólo su razón. Si decimos que su razón es ϕ = a/b, la ecuación que tenemos que resolver es
ϕ = a/b = (a+b)/a = 1 + b/a = 1 + 1/ϕ
Aunque esta tarea no parece fácil, podemos convertir esta ecuación en cuadrática. En efecto, multiplicando ambos lados de la ecuación por ϕ, obtenemos
ϕ² = ϕ + 1
¡que es una ecuación cuadrática! Trasladando ϕ + 1 al lado izquierdo, obtenemos una ecuación:
ϕ² - ϕ - 1 = 0
que puede resolverse utilizando nuestra fórmula cuadrática. Efectivamente, el discriminante es
Δ = B² - 4AC = -1 - 4 × 1 × (-1) = 5
por lo que la ecuación admite dos soluciones distintas:
x₁ = (-B + √Δ)/2A = (-1 + √5) / 2 =1,618...
x₂ = (-B - √Δ)/2A= (-1 - √5) / 2 = -0,618...
Observa que una de estas soluciones es positiva, mientras que la otra es negativa. Como nos interesa encontrar un cociente de dos números positivos (porque las longitudes son siempre positivas), la primera solución es la que buscamos. Así que ϕ = 1,618...
El número ϕ = 1,618... se llama proporción áurea o proporción dividida, y tiene apariciones asombrosas en varios lugares de las matemáticas. Por ejemplo:
- El cociente de dos números de Fibonacci consecutivos se aproxima a ϕ; y
- En un pentágono regular, la razón entre la diagonal y el lado es ϕ.
La proporción áurea ha ganado fama fuera de las matemáticas. A menudo se la considera la proporción estéticamente más agradable; de ahí su segundo nombre, la proporción divina. Por este motivo, apareció en la publicación del siglo XVI "De Divina Proportione" (Sobre la divina proporción) de Luca Pacioli, con ilustraciones de Leonardo da Vinci. En la publicación se analizan diversas apariciones de la proporción áurea en el arte y la arquitectura.
Muchas fuentes históricas y contemporáneas afirman que la proporción áurea también es omnipresente en la naturaleza. Algunos ejemplos son:
- Patrón de crecimiento de las hojas;
- Superficies geométricas de algunos vegetales y conchas; y
- Proporciones de los huesos de algunos animales.
Sin embargo, aunque no podemos negar la presencia de patrones geométricos en la naturaleza, no podemos confirmar la exactitud de las proporciones de los ejemplos anteriores: algunos presentan enormes variaciones, mientras que otros sólo se aproximan a la proporción áurea.
Recursos adicionales
Además de esta calculadora de ecuaciones de segundo grado, otra forma alternativa de tratar las ecuaciones cuadráticas es factorizar trinomios 🇺🇸. Y ayuda mucho si eres capaz de reconocer rápidamente trinomios cuadrados perfectos 🇺🇸. El siguiente paso es aprender a representar gráficamente desigualdades cuadráticas 🇺🇸.
Si después de aprender todo sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas aún quieres más matemáticas, Omni tiene más de 240 calculadoras matemáticas para explorar. En concreto, te recomendamos que eches un vistazo a nuestro solucionador de ecuaciones de tercer grado 🇺🇸. También te recomendamos que eches un vistazo a la . Tienen una amplia colección de recursos para aprender todo sobre matemáticas, con especial atención al currículo básico común.