Calculadora de Equação do Segundo Grau
Se você precisar resolver uma equação da forma Ax² + Bx + C = 0, a calculadora de equação do segundo grau da Omni está aqui para você. Com apenas alguns cliques, você poderá resolver até mesmo os problemas mais desafiadores. Este artigo descreve em detalhes o que é a equação do segundo grau, a fórmula de delta e Bhaskara e o que os símbolos A, B e C representam na equação. Ele também explica como resolver equações do segundo grau com discriminante negativo e que não têm raízes reais.
O que é a fórmula de Bhaskara?
A fórmula quadrática, fórmula de delta e Bhaskara, ou simplesmente fórmula de Bhaskara é a solução de uma equação polinomial de segundo grau da seguinte forma:
Ax² + Bx + C = 0
Se você puder reescrever sua equação nessa forma, isso significa que ela pode ser resolvida com a fórmula de Bhaskara. Uma solução para essa equação também é chamada de raiz de uma equação.
A fórmula de Bhaskara é a seguinte:
x = (-B ± √Δ)/2A
onde:
- Δ = B² - 4AC
Usando essa fórmula, você pode encontrar as soluções para qualquer equação quadrática (equação do 2° grau). Observe que há três opções possíveis para você obter um resultado:
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A equação do segundo grau tem duas raízes únicas quando Δ > 0. Então, a primeira solução da fórmula quadrática é x₁ = (-B + √Δ)/2A, e a segunda é x₂ = (-B - √Δ)/2A.
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A equação do segundo grau tem apenas uma raiz quando Δ = 0. A solução é igual a x = -B/2A. Às vezes, ela é chamada de raiz repetida ou dupla.
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A equação quadrática não tem soluções reais para Δ < 0.
Você também pode representar graficamente a função y = Ax² + Bx + C. Sua forma é uma parábola, e as raízes da equação quadrática são os pontos que cruzam a origem do eixo x.
💡 Usamos a fórmula de Bhaskara em muitos campos de nossa vida, não apenas na matemática ou na física, mas também na construção. Por exemplo, você pode planejar uma transição suave entre duas estradas inclinadas usando a fórmula da curva vertical (saiba mais na calculadora de curva vertical da Omni 🇺🇸, que é baseada em uma equação do segundo grau.
Coeficientes de uma equação do segundo grau
A, B e C são os coeficientes da equação do segundo grau. Todos eles são números reais, não dependentes de x. Se A = 0, então, a equação não é quadrática, mas sim linear.
Se B² < 4AC, então, o discriminante Δ será negativo. Isso significa que essa equação não tem raízes reais.
Como usar a calculadora de equação do segundo grau
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Pegue a sua equação do segundo grau. Vamos supor que ela seja 4x² + 3x - 7 = -4 - x.
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Você pode escrever a equação na forma Ax² + Bx + C = 0. Neste exemplo, faremos isso nas seguintes etapas:
4x² + 3x - 7 = -4 - x
4x² + (3 + 1)x + (-7 + 4) = 0
4x² + 4x - 3 = 0
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Calcule o discriminante.
Δ = B² - 4AC = 4² - 4⋅4⋅(-3) = 16 + 48 = 64.
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Verifique se o discriminante é maior, igual ou menor que 0. No nosso caso, o discriminante é maior que 0, o que significa que essa equação tem duas raízes únicas.
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Para calcular as duas raízes, você deve usar a fórmula de Bhaskara.
x₁ = (-B + √Δ)/2A = (-4 +√64) / (2⋅4) = (-4 + 8) / 8 = 4/8 = 0,5
x₂ = (-B - √Δ)/2A= (-4 -√64) / (2⋅4) = (-4 - 8) / 8 = -12/8 = -1,5
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As raízes de sua equação são x₁ = 0,5 e x₂ = -1,5.
Você também pode simplesmente digitar os valores de A, B e C na nossa calculadora de equação do segundo grau e deixar que ela faça todos os cálculos para você.
Certifique-se de que você anotou o número correto de algarismos. Aproveite e dê uma olhada na nossa calculadora de algarismos significativos.
Resolução de equações quadráticas com um discriminante negativo
Embora a calculadora de fórmula de Bhaskata indique quando a equação não tem raízes reais, é possível encontrar a solução de uma equação do segundo grau com um discriminante negativo. Essas raízes serão números complexos.
Os números complexos têm uma parte real e uma parte imaginária. A parte imaginária é sempre igual ao número i = √(-1) multiplicado por um número real. Você pode aprender mais sobre esse assunto na nossa calculadora de números complexos 🇺🇸.
A fórmula de Bhaskara permanece a mesma nesse caso.
x = (-B ± √Δ)/2A
Observe que, como Δ < 0, a raiz quadrada do discriminante será um valor imaginário. Portanto:
Re(x) = -B/2A
Im(x) = ± (√Δ)/2A
Por exemplo, considere a equação x^2 + 1 = 0. Seu discriminante é
Δ = B² – 4AC = 0² - 4×1×1 = -4,
e, portanto, a equação admite duas soluções complexas distintas:
x₁ = (-B + √Δ)/2A = (0 + 2i) / (2×1) = i
x₂ = (-B – √Δ)/2A = (0 - 2i) / (2×1) = -i
Como o discriminante é negativo, nenhuma das soluções é um número real.
Aplicação: razão de ouro
Aqui está um problema que faz uso da fórmula quadrática. Suponha que você queira dividir um segmento de reta em duas partes, uma mais longa de comprimento a e uma mais curta de comprimento b, de modo que a razão a/b de seus comprimentos seja a mesma que (a+b)/a, a razão entre o comprimento do segmento inteiro e o comprimento da parte mais longa. Quanto vale a/b?
Matematicamente, isso significa que precisamos resolver a equação a/b = (a+b)/a. Essa é uma equação em duas variáveis a e b, mas não estamos interessados em saber seus valores individuais, apenas sua proporção. Se denotarmos sua razão como ϕ = a/b, então, a equação que precisamos resolver se torna
ϕ = a/b = (a+b)/a = 1 + b/a = 1 + 1/ϕ
Embora essa tarefa não pareça fácil, podemos transformar essa equação em uma equação quadrática. De fato, ao multiplicar ambos os lados da equação por ϕ, obtemos:
ϕ² = ϕ + 1
que é uma equação quadrática! Movendo ϕ + 1 para o lado esquerdo, obtemos uma equação:
ϕ² - ϕ - 1 = 0
que pode ser resolvida usando nossa fórmula quadrática. De fato, o discriminante é:
Δ = B² - 4AC = -1 - 4 × 1 × (-1) = 5
e, portanto, a equação admite duas soluções distintas:
x₁ = (-B + √Δ)/2A = (-1 + √5) / 2 =1,618...
x₂ = (-B - √Δ)/2A= (-1 - √5) / 2 = -0,618...
Observe que uma dessas soluções é positiva, enquanto a outra é negativa. Como estamos interessados em encontrar uma proporção de dois números positivos (porque os comprimentos são sempre positivos), a primeira solução é a que estamos procurando. Portanto, ϕ = 1,618...
O número ϕ = 1,618... é chamado de razão de ouro ou proporção de divisão, e tem aparições impressionantes em vários lugares da matemática. Por exemplo:
- A razão de dois números de Fibonacci consecutivos se aproxima de ϕ; e
- Em um pentágono regular, a razão entre a diagonal e o lado é ϕ.
A razão de ouro ganhou fama fora da matemática. Ela é frequentemente considerada a proporção mais agradável do ponto de vista estético; daí seu segundo nome, a proporção divina. Por esse motivo, ela foi apresentada na publicação do século XVI "De Divina Proportione" (Sobre a Divina Proporção) de Luca Pacioli, com ilustrações de Leonardo da Vinci. A publicação discute várias aplicações da razão de ouro na arte e na arquitetura.
Muitas fontes históricas e contemporâneas afirmam que a razão de ouro também é onipresente na natureza. Alguns exemplos são:
- Padrão de crescimento das folhas;
- Superfícies geométricas de alguns vegetais e conchas; e
- Proporções dos ossos de alguns animais.
No entanto, embora não possamos negar a presença de padrões geométricos na natureza, não podemos confirmar a exatidão das proporções dos exemplos acima: alguns apresentam grandes variações, enquanto outros apenas se aproximam da razão de ouro.
Recursos extras
Uma maneira alternativa de lidar com equações do segundo grau é utilizando a fatoração, e isso você pode aprender em outra de nossas ferramentas: a calculadora de fatoração de trinômios 🇺🇸. Essa solução pode ser bem mais rápida se você conseguir reconhecer rapidamente trinômios quadrados perfeitos (também temos uma calculadora para isso: a calculadora de trinômio quadrado perfeito 🇺🇸. Para virar especialista no assunto, o próximo passo é aprender como representar graficamente inequações quadráticas, que você pode aprender na calculadora de inequações do segundo grau 🇺🇸.
Se, depois de aprender tudo sobre como resolver equações do segundo grau, você ainda quiser mais conteúdos de matemática? A Omni tem mais de 240 calculadoras de matemática para você explorar. Em particular, recomendamos que você dê uma olhada na nossa calculadora de equação do terceiro grau 🇺🇸.
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