Kalkulator cyfr znaczących

Omni kalkulator cyfr znaczących przelicza dowolną liczbę na nową wartość z żądaną liczbą cyfr znaczących ORAZ rozwiązuje wyrażenia z liczbami zawierającymi cyfry znaczące (na przykład 3,14 / 7,58 - 3,15). Jakie są zasady dotyczące cyfr znaczących? Koncepcje te zostaną wyjaśnione w dalszej części tekstu. Przedstawimy również jak korzystać z kalkulatora cyfr znaczących.

Wolisz oglądać niż czytać? Dowiedz się wszystkiego w 90 sekund z poniższego filmiku, który stworzyliśmy specjalnie dla ciebie:

Pozwól, że podpowiemy ci, jak najlepiej wykorzystać ten kalkulator:

1. Wprowadź liczbę (całkowitą, rzeczywistą lub w notacji naukowej). Aby wykonać operacje arytmetyczne, wprowadź wyrażenie, na przykład 3,14 / 7,58 - 3,15.

2. Kalkulator cyfr znaczących natychmiast wyświetli wyniki, w tym liczbę w zapisie dziesiętnym i liczbę cyfr znaczących w liczbie (lub wyrażeniu). Podkreśli również najmniej znaczącą cyfrę.

3. Jeśli twoje dane wejściowe obejmują operacje arytmetyczne, kalkulator cyfr znaczących zapewni również rozwiązanie krok po kroku.

4. Możesz zaokrąglić wyniki do żądanej dokładności, wybierając opcję Zaokrąglij do cyfry znaczącej.

5. Aby użyć tego narzędzia jako licznika cyfr znaczących, wprowadź liczbę. Otrzymasz liczbę cyfr znaczących.

Na przykład rozważ liczbę 24,0725. Gdy wpiszemy 24,0725, kalkulator cyfr znaczących powie nam, że liczba ma 6 cyfr znaczących. Dodatkowo pokaże nam notację dziesiętną, notację naukową, 2,40725⋅10¹, oraz notację E, 2,40725e+1.

Załóżmy, że chcemy tylko 3 cyfry znaczące dla tej liczby. Po wprowadzeniu 3 w polu Liczba cyfr znaczących liczba w notacji dziesiętnej 24,1 jest natychmiast dostępna w sekcji wyników.

Cyfry znaczące to wszystkie cyfry wskazujące precyzję pomiaru.

Każdy pomiar wiąże się z pewnym stopniem niepewności ze względu na ograniczenia precyzji narzędzia pomiarowego. Na przykład standardowa linijka może mierzyć tylko z dokładnością do milimetra. Jeśli więc użyjemy jej do pomiaru długości pręta, możemy uzyskać wartość z dokładnością do 1/10 centymetra. Oznacza to, że możemy zmierzyć, powiedzmy, "12,5 cm", ale nie możemy zmierzyć go z większą dokładnością, tj. "12,51 cm". Dlatego w tym konkretnym przykładzie istnieją trzy cyfry znaczące w zmierzonej wartości 12,5 cm.

Jest również wysoce prawdopodobne, że podczas mierzenia tego pręta zdaliśmy sobie sprawę, że jego długość leży gdzieś pomiędzy 12,5 cm a 12,6 cm. Następnie musimy oszacować długość jako 12,5 cm lub 12,6 cm; stąd ostatnia cyfra w tym pomiarze jest pierwszą niepewną cyfrą lub najmniej znaczącą cyfrą.

Aby uniknąć powtarzania cyfr, które nie są znaczące, liczby są często zaokrąglane. Należy uważać, aby nie stracić precyzji podczas zaokrąglania. Często celem zaokrąglania liczb jest po prostu ich uproszczenie. Użyj kalkulatora zaokrąglania liczb, aby pomóc sobie z takimi problemami.

W następnej sekcji zobaczymy, jak policzyć cyfry znaczące w pomiarze.

Aby określić, które liczby są znaczące, a które nie, użyj następujących zasad:

1. Zero po lewej stronie wartości dziesiętnej mniejszej niż 1 nie jest znaczące.

2. Wszystkie końcowe zera, które są symbolami wypełniającymi, nie są znaczące.

3. Zera pomiędzy cyframi niezerowymi są znaczące.

4. Wszystkie cyfry niezerowe są znaczące.

5. Jeśli liczba ma więcej cyfr niż pożądana liczba cyfr znaczących, to wartość ta jest zaokrąglana. Na przykład, 432 500 wynosi 433 000 z dokładnością do 3 cyfr znaczących (używając zwykłego zaokrąglenia w górę dla wartości środkowej dla danego przedziału).

6. Zera na końcu liczb nie są znaczące, ale nie są usuwane, ponieważ ich pominięcie wpłynęłoby na wartość liczby. W powyższym przykładzie nie możemy usunąć 000 w 433 000, chyba że zapiszemy liczbę z wykorzystaniem notacji naukowej.

Możesz wykorzystać powyższe zasady w celu obliczania cyfr znaczących.

Nasz kalkulator cyfr znaczących działa w dwóch trybach — wykonuje operacje arytmetyczne na wielu liczbach (na przykład 4,18 / 2,33) lub po prostu zaokrągla wartości do żądanej liczby cyfr znaczących.

Zgodnie z zasadami opisanymi powyżej, możemy wyznaczyć cyfry znaczące samodzielnie lub za pomocą licznika cyfr znaczących. Załóżmy, że mamy liczbę 0,004562 i chcemy zostawić 2 cyfry znaczące. Wszystkie zera określają miejsce dziesiętne pozostałych cyfr, więc ich nie liczymy. Następnie zaokrąglamy 4562 do 2 cyfr, otrzymując 0,0046.

Teraz rozważymy przykład, który nie jest liczbą dziesiętną. Załóżmy, że chcemy 3 453 528 z dokładnością do 4 cyfr znaczących. Po prostu zaokrąglimy całą liczbę do najbliższego tysiąca, co da nam 3 454 000.

A co jeśli liczba jest w notacji naukowej? W takich przypadkach obowiązują te same zasady. Aby wprowadzić notację naukową do kalkulatora cyfr znaczących, należy użyć notacji E, która zastępuje wyrażenie · 10, wpisując małą lub wielką literą „e”. Na przykład, liczba 5,033 · 10²³ jest równoważna liczbie 5,033E23 (lub 5,033e23). Dla bardzo małych liczb, takich jak 6,674 · 10⁻¹¹, notacja E reprezentuje 6,674E-11 (lub 6,674e-11). Więcej informacji na temat tej konwencji można znaleźć w kalkulatorze notacji naukowej.

Kiedy mamy do czynienia z szacowaniem, liczba cyfr znaczących nie powinna być większa niż logarytm dziesiętny z wielkości próby i zaokrąglony do najbliższej liczby całkowitej. Na przykład, jeśli wielkość próby wynosi 150, to logarytm ze 150 wynosi w przybliżeniu 2,18, więc używamy 2 cyfr znaczących.

Rozważmy przypadek, w którym otrzymujemy wynik wykonując operacje matematyczne na dwóch lub więcej zmiennych. Każda niepewność pomiaru zmiennych wpłynie również na niepewność wyników.

Na przykład, wyobraźmy sobie, że zmierzona masa obiektu wynosi $5,452\rm~ g$ (cztery cyfry znaczące), a jego zmierzona objętość wynosi $1,67~ \rm{cm^3}$ (trzy cyfry znaczące). Wówczas bez znaczenia byłoby wyrażenie gęstości tego obiektu jako:

Ponieważ rzeczywiste pomiary masy i objętości są mniej dokładne niż to, co wyrażamy dla gęstości, powyższy sposób wyrażenia wyniku jest nieprawidłowy. Prawidłowy wynik to $3,26\ \rm{g/cm^3}$

Ogólnie rzecz biorąc, liczba cyfr znaczących w obliczonym wyniku jest równa liczbie cyfr znaczących w najmniej precyzyjnie zmierzonej zmiennej

Istnieją dwie zasady dotyczące operacji arytmetycznych z użyciem cyfr znaczących:

• Dla dodawania i odejmowania, wynik nie powinien mieć więcej miejsc po przecinku niż liczba w działaniu podana z najmniejszą dokładnością. Na przykład, podczas wykonywania operacji 128,1 + 1,72 + 0,457, wartością z najmniejszą liczbą miejsc po przecinku (1) jest 128,1. W związku z tym wynik również musi mieć jedno miejsce po przecinku: 128,͟1 + 1,7̲2 + 0,45̲7 = 130,͟277 = 130,͟3. Pozycja ostatniej cyfry znaczącej jest wskazana przez jej podkreślenie.

• W przypadku mnożenia i dzielenia wynik nie powinien mieć więcej cyfr znaczących niż liczba w działaniu z najmniejszą liczbą cyfr znaczących. Na przykład, podczas wykonywania mnożenia 4,321 · 3,14, wartość z najmniej znaczącymi cyframi (3) wynosi 3,14. Zatem wynik musi być również podany z dokładnością do trzech cyfr znaczących: 4,32̲1 · 3,1̲4 = 13,͟56974 = 13,͟6.

• Jeśli wykonujesz tylko dodawanie i odejmowanie, wystarczy wykonać wszystkie obliczenia jednocześnie i zastosować reguły cyfr znaczących do wyniku końcowego.

• Jeśli wykonujesz tylko mnożenie i dzielenie, wystarczy wykonać wszystkie obliczenia jednocześnie i zastosować reguły cyfr znaczących do wyniku końcowego.

• Jeśli jednak wykonujesz obliczenia mieszane — dodawanie/odejmowanie i mnożenie/dzielenie — musisz zanotować liczbę cyfr znaczących dla każdego kroku obliczeń. Na przykład dla wyrażenia 12,1̲3 + 1,7̲2 · 3,̲4, po pierwszym kroku otrzymasz następujący wynik: 12,1̲3 + 5,̲848. Należy pamiętać, że wynik tej operacji mnożenia jest dokładny do 2 cyfr znaczących i, co ważniejsze, do jednego miejsca po przecinku. Nie należy zaokrąglać wyniku pośredniego, a jedynie zastosować reguły dotyczące cyfr znaczących do wyniku końcowego. Tak więc w tym przykładzie końcowe kroki obliczeń to 12,1̲3 + 5,̲848 = 17,̲978 = 18,̲0.

• Dokładne wartości, w tym zdefiniowane liczby, takie jak współczynniki przeliczeniowe i „czyste” liczby, nie wpływają na dokładność obliczeń. Można je traktować tak, jakby miały nieskończoną liczbę cyfr znaczących. Na przykład podczas korzystania z przeliczania prędkości należy pomnożyć wartość w m/s przez 3,6, aby uzyskać wartość w km/h. Liczba cyfr znaczących nadal zależy od dokładności początkowej wartości prędkości w m/s — na przykład 15,23 · 3,6 = 54,83.

Aby użyć dokładnej wartości w kalkulatorze, należy podać wartość z największą liczbą cyfr znaczących w obliczeniach. Tak więc w tym przykładzie do kalkulatora należy wprowadzić 15,23 · 3,600.

Skoro mówimy o podstawowych operacjach arytmetycznych, co powiesz na sprawdzenie naszego kalkulatora rozdzielności działań 🇺🇸, aby dowiedzieć się, jak radzić sobie ze złożonymi problemami matematycznymi, które obejmują więcej niż jedną operację arytmetyczną?

100 ma jedną cyfrę znaczącą (i jest to cyfra 1). Dlaczego? Ponieważ końcowe zera nie liczą się jako cyfry znaczące, jeśli nie ma przecinka.

100,00 ma pięć cyfr znaczących. Jest tak, ponieważ końcowe zera liczą się jako cyfry znaczące, jeśli napiszemy przecinek i kolejne cyfry w rozwinięciu dziesiętnym.

0,01 ma jedną cyfrę znaczącą (i jest to cyfra 1). Dlaczego? Ponieważ zera przed wystąpieniem dowolnej niezerowej cyfry nie liczą się jako cyfry znaczące.

0,00208 ma trzy cyfry znaczące (2, 0 i 8). Dlaczego? Ponieważ początkowe zera nie liczą się jako cyfry znaczące, ale zera umieszczone pomiędzy cyframi niezerowymi już są wliczane.

100,10 ma pięć cyfr znaczących, czyli wszystkie podane cyfry są znaczące. Dlaczego? Ponieważ zera umieszczone pomiędzy niezerowymi cyframi zawsze liczą się jako cyfry znaczące, a cyfry po przecinku, czyli końcowe zera, również się wliczają.

2648 zaokrąglone do trzech cyfr znaczących to 2650.

2648 zapisane z dokładności do dwóch cyfr znaczących to 2600.