Omni Calculator logo

Kalkulator wartości krytycznej

Created by Anna Szczepanek, PhD
Reviewed by Dominik Czernia, PhD and Jack Bowater
Translated by Anna Szczepanek, PhD and Joanna Śmietańska, PhD
Last updated: Mar 06, 2024


Witamy w Omni kalkulatorze wartości krytycznej! Tutaj możesz szybko wyznaczyć wartości krytyczne dla testów dwustronnych jak i dla testów jednostronnych. Nasze narzędzie obsługuje rozkłady często spotykane w testach statystycznych: nie tylko rozkład normalny N(0,1) (czyli posługujący się wartością Z), ale też t-Studenta, chi-kwadrat i rozkład F.

Co to jest wartość krytyczna? Jaki jest wzór na wartość krytyczną? W dalszej części tekstu podamy ci definicję wartości krytycznej i wyjaśnimy, jak ją obliczyć, by móc następnie użyć jej do wyznaczania zbiorów krytycznych.

Co to jest wartość krytyczna?

W testowaniu hipotez statystycznych wyznaczenie wartości krytycznych to jedna z dwóch możliwych strategii, które pozwalają zdecydować o przyjęciu bądź odrzuceniu hipotezy zerowej. Drugim podejściem jest obliczenie tzw. wartości p (ang. p-value, więcej dowiesz się w Omni kalkulatorze wartości p).

Metoda wartości krytycznej polega na sprawdzeniu, czy wartość statystyki testowej wygenerowana przez próbkę należy do tak zwanego zbioru krytycznego, który jest obszarem wartości, które statystyka testowa przyjmuje z bardzo małym prawdopodobieństwem. Wartość krytyczna to wartość (lub dwie wartości w przypadku testu dwustronnego), która stanowi brzeg zbioru krytycznego. Innymi słowy, wartości krytyczne wyodrębniają zbiór krytyczny w zbiorze wartości statystyki testowej.

Po znalezieniu zbioru krytycznego sprawdź, czy wartość statystyki testowej wygenerowanej przez twoją próbkę do niego należy:

  • Jeśli tak, to odrzucasz hipotezę zerową i przyjmujesz hipotezę alternatywną.
  • Jeśli nie, to nie masz wystarczających przesłanek, aby odrzucić H0.

Jak zatem obliczyć wartości krytyczne? Przede wszystkim należy ustalić poziom istotności, α\alpha, który określa dopuszczalne prawdopodobieństwo błędnego odrzucenia hipotezy zerowej, czyli gdy jest ona w rzeczywistości prawdziwa. Wybór α\alpha jest dowolny; w praktyce najczęściej używamy wartości 0,05 lub 0,01. Wartości krytyczne zależą również od hipotezy alternatywnej wybranej dla testu, co wyjaśnimy szerzej w następnej sekcji.

Definicja wartości krytycznej

Aby znaleźć wartości krytyczne, należy znać rozkład statystyki testowej przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. Wartości krytyczne to punkty o następującej własności: prawdopodobieństwo, że twoja statystyka testowa przyjmie wartości co najmniej tak skrajne, jak te punkty, jest równe poziomowi istotności α\alpha. Hm, trochę skomplikowana definicja. Nie martw się, wszystko wyjaśnimy.

Po pierwsze: to hipoteza alternatywna określa, co należy rozumieć przez „skrajne”. W szczególności, jeśli test jest jednostronny, to będzie tylko jedna wartość krytyczna; jeśli jest dwustronny, to będą dwie: jedna po lewej, a druga po prawej stronie mediany rozkładu.

Wartości krytyczne można też rozumieć jako punkty o tej własności, że obszar pod krzywą gęstości statystyki testowej pomiędzy tymi punktami a ogonami rozkładu jest równy α\alpha:

  • Test lewostronny: obszar pod krzywą gęstości od wartości krytycznej w lewo jest równy α\alpha.

  • Test prawostronny: obszar pod krzywą gęstości od wartości krytycznej w prawo jest równy α\alpha.

  • Test dwustronny: obszar pod krzywą gęstości od lewej wartości krytycznej w lewo jest równy α/2\alpha/2, a obszar pod krzywą od prawej wartości krytycznej w prawo jest również równy α/2\alpha/2; zatem całkowity obszar jest ponownie równy α\alpha.

Wartości krytyczne dla rozkładu symetrycznego
Wartości krytyczne dla rozkładu symetrycznego

Jak widzimy, znalezienie wartości krytycznych dla testu dwustronnego z poziomem istotności α\alpha sprowadza się do znalezienia dwóch jednostronnych wartości krytycznych z poziomem istotności α/2\alpha/2.

Jak obliczać wartości krytyczne?

Wzory na wartości krytyczne obejmują funkcję kwantylową, QQ, która jest odwrotnością dystrybuanty (cdf\mathrm{cdf}) rozkładu statystyki testowej (obliczonej przy założeniu, że H0 jest prawdziwa): Q=cdf1Q = \mathrm{cdf}^{-1}.

Po ustaleniu poziomu istotności α\alpha, wzory na wartości i zbiory krytyczne są następujące:

  1. Test lewostronny:
(,Q(α)]\qquad \footnotesize(-\infty, Q(\alpha)]
  1. Test prawostronny:
[Q(1α),)\qquad \footnotesize[Q(1-\alpha), \infty)
  1. Test dwustronny:
(,Q(α2)]  [Q(1α2),)\qquad \footnotesize(-\infty, Q(\tfrac{\alpha}{2})] \ \cup \ [Q(1 - \tfrac{\alpha}{2}), \infty)

W przypadku rozkładu symetrycznego względem 0, wartości krytyczne dla testu dwustronnego są również symetryczne:

Q(1α2)=Q(α2)\small Q\left(1 - \tfrac{\alpha}{2}\right) = -Q\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)

Rozkłady prawdopodobieństwa, które są najbardziej rozpowszechnione w testowaniu hipotez, mają niestety dość skomplikowane wzory na dystrybuantę cdf\mathrm{cdf}. Aby ręcznie znaleźć wartości krytyczne, należałoby użyć tablic statystycznych lub specjalistycznego oprogramowania, jak na przykład Omni kalkulator wartości krytycznej! 😁

Jak korzystać z kalkulatora wartości krytycznych?

Gdy już znasz nasz kalkulator wartości krytycznej, nie musisz się martwić szukaniem wartości krytycznych dla tych wszystkich skomplikowanych rozkładów! Wystarczy, że wykonasz następujące kroki:

  1. Podaj nam rozkład statystyki testowej przy hipotezie zerowej: czy jest to standardowy rozkład normalny N(0,1), t-Studenta, chi-kwadrat, czy F Snedecora? Jeśli nie masz pewności, sprawdź dalsze sekcje, które poświęcamy poszczególnym rozkładom, i spróbuj znaleźć w nich test, który chcesz wykonać.

  2. Wybierz hipotezę alternatywną: dwustronną, prawostronną lub lewostronną.

  3. W razie potrzeby określ liczbę stopni swobody rozkładu twojej statystyki testowej. Jeśli nie jesteś jej pewien, sprawdź definicję wykonywanego testu. O stopniach swobody dowiesz się więcej z Omni kalkulatora stopni swobody.

  4. Ustal poziom istotności, α\alpha. Domyślnie ustawiliśmy go na najbardziej powszechną wartość 0,05, ale możesz oczywiście dostosować go do swoich potrzeb.

  5. Kalkulator wartości krytycznych poda ci nie tylko wartości krytyczne, ale także zbiory krytyczne.

Wybierz tryb zaawansowany (advanced mode) naszego kalkulatora wartości krytycznych, jeśli chcesz zwiększyć precyzję, z jaką prowadzone są obliczenia.

Wartości krytyczne Z

Użyj w kalkulatorze opcji Z (standardowy normalny) jeśli twoja statystyka testowa ma (przynajmniej w przybliżeniu) standardowy rozkład normalny N(0,1).

Gęstość rozkładu N(0,1)
StefanPohl / CC0 wikimedia.org

W poniższych wzorach uu oznacza funkcję kwantylową standardowego rozkładu normalnego N(0,1):

  1. Lewostronna wartość krytyczna Z: u(α)u(\alpha)

  2. Prawostronna wartość krytyczna Z: u(1α)u(1-\alpha)

  3. Dwustronna wartość krytyczna Z: ±u(1α/2)\pm u(1-\alpha/2)

Odwiedź nasz kalkulator testu Z, aby dowiedzieć się więcej o teście Z dla średniej w populacji. Istnieją również testy Z dla różnicy między dwiema średnimi populacji, w szczególności między dla różnicy dwiema proporcjami.

Wartości krytyczne t

Użyj opcji t-Student, jeśli twoja statystyka testowa ma rozkład t-Studenta. Rozkład ten jest podobny do N(0,1), ale jego ogony są cięższe — dokładny kształt rozkładu zależy od liczby stopni swobody. Jeśli liczba ta jest duża (>30), co zwykle ma miejsce w przypadku dużych próbek, wówczas rozkład t-Studenta jest praktycznie nieodróżnialny od N(0,1). Sprawdź nasz kalkulator statystyki t, aby obliczyć odpowiednią statystykę testową.

Gęstości rozkładu t-Studenta
Gęstość rozkładu t z ν stopniami swobody. Skbkekas / CC BY wikimedia.org

W poniższych wzorach Qt,dQ_{\text{t}, d} oznacza funkcję kwantylową rozkładu t-Studenta o dd stopniach swobody:

  1. Lewostronna wartość krytyczna t: Qt,d(α)Q_{\text{t}, d}(\alpha)

  2. Prawostronna wartość krytyczna t: Qt,d(1α)Q_{\text{t}, d}(1 - \alpha)

  3. Dwustronne wartości krytyczne t: ±Qt,d(1α/2)\pm Q_{\text{t}, d}(1 - \alpha/2)

Odwiedź kalkulator testu t, aby dowiedzieć się więcej o różnych typach testu t: dla średniej populacji o nieznanym odchyleniu standardowym, dla różnicy między średnimi dwóch populacji (z równymi lub różnymi lecz nieznanymi odchyleniami standardowymi), a także o teście t dla próbek sparowanych.

Wartości krytyczne chi-kwadrat (χ²)

Użyj w kalkulatorze opcji χ² (chi-kwadrat) jeśli przeprowadzasz test, w którym statystyka testowa ma rozkład χ².

Musisz określić liczbę stopni swobody rozkładu statystyki testowej — poniżej podamy je dla najczęściej używanych testów χ².

Gęstości rozkładu chi-kwadrat
Gęstość rozkładu χ² z k stopniami swobody. Geek3 / CC BY wikimedia.org

Oto wzory na wartości krytyczne rozkładu chi-kwadrat; Qχ2,dQ_{\chi^2,d} jest funkcją kwantylową rozkładu χ² o dd stopniach swobody:

  1. Lewostronna wartość krytyczna χ²: Qχ2,d(α)Q_{\chi^2, d}(\alpha)

  2. Prawostronna wartość krytyczna χ²: Qχ2,d(1α)Q_{\chi^2, d}(1 - \alpha)

  3. Dwustronne wartości krytyczne χ²: Qχ2,d(α/2)Q_{\chi^2, d}(\alpha/2) i Qχ2,d(1α/2)Q_{\chi^2, d}(1 - \alpha/2)

Istnieje kilka różnych testów, które mogą doprowadzić cię do rozkładu χ²:

  • Test zgodności rozkładów: czy rozkład empiryczny zgadza się z rozkładem oczekiwanym?

    Ten test jest prawostronny. Jego statystyka testowa ma rozkład χ² z k1k - 1 stopniami swobody, gdzie kk to liczba klas, na które podzielona jest próba.

  • Test niezależności: czy istnieje statystycznie istotny związek między dwiema zmiennymi?

    Ten test jest również prawostronny, a jego statystyka testowa jest obliczana na podstawie tabeli krzyżowej. Mamy wtedy (r1)(c1)(r - 1)(c - 1) stopni swobody, gdzie rr to liczba wierszy, a cc to liczba kolumn w tabeli krzyżowej.

  • Test na wariancję danych o rozkładzie normalnym: czy ta wariancja ma jakąś z góry określoną wartość?

    Ten test może być jedno- lub dwustronny, w zależności od hipotezy alternatywnej. Jego statystyka testowa ma rozkład χ² z n1n - 1 stopniami swobody, gdzie nn to wielkość próby.

Wartości krytyczne rozkładu F

Wybierz w kalkulatorze opcję F (Fisher-Snedecor), jeśli statystyka testowa ma rozkład F. Rozkład ten ma parę stopni swobody (d1,d2)(d_1, d_2).

Skąd biorą się te stopnie swobody? Załóżmy, że mamy dwie niezależne zmienne losowe, XX i YY, które mają rozkład χ² o stopniach swobody odpowiednio d1d_1 i d2d_2. Wówczas iloraz (Xd1):(Yd2)(\frac{X}{d_1}):(\frac{Y}{d_2}) będzie miał rozkład F ze stopniami swobody (d1,d2)(d_1, d_2). Z tego powodu d1d_1 i d2d_2 są czasami nazywane odpowiednio licznikiem i mianownikiem stopni swobody.

Gęstości rozkładu F
Gęstość rozkładu F z (d1,d2) stopniami swobody. IkamusumeFan / CC BY-SA wikimedia.org

W poniższych wzorach QF,d1,d2Q_{\text{F}, d_1, d_2} oznacza funkcję kwantylową rozkładu F ze stopniami swobody (d1,d2)(d_1, d_2):

  1. Lewostronna wartość krytyczna F: QF,d1,d2(α)Q_{\text{F}, d_1, d_2}(\alpha)

  2. Prawostronna wartość krytyczna F: QF,d1,d2(1α)Q_{\text{F}, d_1, d_2}(1 - \alpha)

  3. Dwustronne wartości krytyczne F: QF,d1,d2(α/2)Q_{\text{F}, d_1, d_2}(\alpha/2) i QF,d1,d2(1α/2)Q_{\text{F}, d_1, d_2}(1 - \alpha/2)

Wymieńmy najważniejsze testy, które prowadzą do rozkładu F. Co istotne, każdy z nich jest prawostronny.

  • ANOVA: testuje równość średnich w trzech lub więcej grupach. W każdej grupie dane pochodzą z populacji o rozkładzie normalnym i wariancje tych rozkładów są równe. Mamy tu (k1,nk)(k - 1, n - k) stopni swobody, gdzie kk to liczba grup, a nn to całkowita wielkość próby (w każdej grupie).

  • Istotność modelu regresji liniowej. Statystyka testowa ma (k1,nk)(k - 1, n - k) stopni swobody, gdzie nn to liczebność próby, a kk to liczba zmiennych (łącznie z wyrazem wolnym).

  • Porównanie dwóch zagnieżdżonych modeli regresji. Statystyka testowa ma rozkład F o (k2k1,nk2)(k_2 - k_1, n - k_2) stopniach swobody, gdzie k1k_1 i k2k_2 to liczba zmiennych odpowiednio w mniejszym i większym modelu, a nn to wielkość próby.

  • Równość wariancji w dwóch populacjach o rozkładzie normalnym. Mamy wówczas (n1,m1)(n - 1, m - 1) stopni swobody, gdzie nn i mm są wielkościami badanych próbek.

FAQ

Co to jest wartość krytyczna Z?

Wartość krytyczna Z to wartość, która definiuje zbiór krytyczny w testowaniu hipotez, gdy statystyka testowa ma standardowy rozkład normalny. Jeśli wartość statystyki testowej znajduje się w zbiorze krytycznym, należy odrzucić hipotezę zerową i przyjąć hipotezę alternatywną.

Jak obliczyć wartość krytyczną Z?

Aby znaleźć wartość krytyczną Z dla danego poziomu ufności α:

  1. Sprawdź, czy wykonujesz test jedno- czy dwustronny.
  2. Dla testu jednostronnego:
    • Lewostronny: wartością krytyczną jest kwantyl rzędu α standardowego rozkładu normalnego N(0,1).
    • Prawostronny: wartością krytyczną jest kwantyl rzędu (1-α) rozkładu N(0,1).
  3. Test dwustronny: wartości krytyczne to kwantyle rzędu ±(1-α/2) rozkładu N(0,1).
  4. Nie masz tablic statystycznych? Użyj tablic dystrybuanty! (Funkcja kwantylowa jest odwrotnością dystrybuanty.)
  5. Możesz sprawdzić swój wynik w Omni kalkulatorze wartości krytycznych.

Czy wartość krytyczna t jest taka sama jak wartość krytyczna Z?

W teorii, nie. W praktyce, bardzo często, tak. Rozkład t-Studenta jest podobny do standardowego rozkładu normalnego, ale nie jest identyczny. Jeśli jednak liczba stopni swobody (czyli, z grubsza rzecz biorąc, wielkość próby) jest wystarczająco duża (>30), wówczas oba rozkłady są praktycznie nierozróżnialne, a zatem wartość krytyczna t ma praktycznie taką samą wartość jak wartość krytyczna Z.

Jaka jest wartość krytyczna Z dla 95% poziomu ufności?

Wartość krytyczna Z dla 95% przedziału ufności wynosi:

  • 1,96 dla testu dwustronnego,
  • 1,64 dla testu prawostronnego,
  • -1,64 dla testu lewostronnego.
Anna Szczepanek, PhD
What distribution?
t-Student
What type of test?
Right-tailed
Degrees of freedom (d)
Significance level
The test statistic follows the t-distribution with d degrees of freedom.
Check out 26 similar inference, regression, and statistical tests calculators 📉
Absolute uncertaintyAB testCoefficient of determination… 23 more
People also viewed…

Car heat

The hot car calculator shows how fast a car's interior heats up during a summer day.

Circumference

Skorzystaj z naszego darmowego kalkulatora obwodu, aby znaleźć pole, obwód i średnicę okręgu.

Linear regression

The linear regression calculator determines the coefficients of linear regression model for any set of data points.

Normal distribution

Effortlessly calculate probabilities with our bell curve calculator, a perfect tool for any probability distribution analysis. Try it today!