Kalkulator testu t Studenta

Witamy w naszym kalkulatorze testu t Studenta! Możesz tutaj łatwo wykonać testy t dla jednej próbki oraz dla dwóch próbek, jak również testy dla próbek sparowanych. Chcesz obliczyć wartość p (p-value) z testu t, czy raczej wolisz znaleźć zbiór krytyczny? Ten kalkulator testu t Studenta potrafi zrobić obie te rzeczy! 😊

Nie masz pewności, do czego służy test t? Zerknij na poniższy tekst, w którym wyjaśniamy, co właściwie jest testowane podczas wykonywania różnych rodzajów testu t. Wyjaśnimy również, kiedy używać testów t Studenta, a w szczególności, czy należy użyć testu t (czy jednak testu Z) oraz omówimy założenia, jakie powinny spełniać dane, aby wyniki testu t były wiarygodne. Chcesz (lub musisz 😉) wiedzieć, jak wykonać test t ręcznie? Podamy ci niezbędne wzory oraz podpowiemy, jak wyznaczyć liczbę stopni swobody w teście t.

Test t Studenta jest jednym z najbardziej popularnych testów statystycznych dla średniej populacji. Istnieją różne rodzaje testu t:

• test t dla jednej próbki;
• test t dla dwóch próbek; oraz
• test t dla próbki sparowanej.

W następnej sekcji wyjaśniamy, kiedy używać każdego z tych testów. Pamiętaj, że test t możesz wykonać tylko dla jednej lub dwóch próbek. Jeśli chcesz porównać trzy (lub więcej) próbki, użyj testu ANOVA.

Test t jest testem parametrycznym, co oznacza, że twoje dane muszą spełniać pewne założenia:

• próbka jest niezależna; ORAZ
• próbka, przynajmniej w przybliżeniu, ma rozkład normalny 🇺🇸.

Jeśli twoja próbka nie spełnia któregoś z tych założeń, możesz skorzystać z alternatywnych rozwiązań, którymi są testy nieparametryczne. Odwiedź nasz kalkulator testu U Manna-Whitneya 🇺🇸 lub kalkulator testu sumy rangowej Wilcoxona 🇺🇸, aby dowiedzieć się więcej. Inne możliwości to test Wilcoxona dla par obserwacji lub test znaków.

Wybór testu t zależy od tego, czy badasz jedną grupę, czy dwie grupy:

• Test dla jednej próbki

  Wybierz test t dla jednej próbki by sprawdzić, czy średnia z populacji jest równa jakiejś wcześniej ustalonej hipotetycznej wartości.

  Przykłady:

  • Średnia objętość napoju sprzedawanego w puszkach 0,33 l — czy rzeczywiście jest równa 330 ml?
  • Średnia waga osób z danego miasta — czy różni się od średniej krajowej?

• Test t z dwoma próbkami

  Wybierz test t dla dwóch próbek, aby sprawdzić, czy różnica między średnimi dwóch populacji jest równa jakiejś ustalonej wcześniej wartości, gdy dwie próbki zostały wybrane niezależnie od siebie.

  W szczególności możesz użyć tego testu do sprawdzenia, czy dwie grupy są od siebie różne.

  Przykłady:

  • Średnia różnica w przyroście wagi w dwóch grupach ludzi: jedna grupa była na diecie wysokowęglowodanowej, a druga na wysokotłuszczowej;
  • Średnia różnica w wynikach testu z matematyki między studentami dwóch różnych uczelni.

  Ten test jest czasem określany jako test t próbek niesparowanych.

3. Test t dla próbek sparowanych

   Test t dla sparowanych próbek służy do badania zmiany średniej w populacji przed i po jakiejś interwencji. W szczególności możesz użyć tego testu do sprawdzenia, czy podawanie leku miało (uśredniając) jakiś wpływ na populację. Mamy wówczas do czynienia z sytuacją, gdy każdy pacjent był badany dwukrotnie: przed i po leczeniu.

   Przykłady:

   • Zmiana wyników testów studenckich przed i po odbyciu cudownego kursu,
   • Zmiana ciśnienia krwi u pacjentów przed i po podaniu nowego leku.

Wiesz już zatem, który test t należy wykonać. Poniżej podamy instrukcję, jak obliczyć wartość p (p-value) z testu t lub, jeśli wolisz, przedział krytyczny, by w końcu podjąć decyzję w odniesieniu do hipotezy zerowej.

1. Ustal hipotezę alternatywną:

   • Użyj dwustronnego testu t, jeśli zależy Ci tylko na ustaleniu, czy średnia populacji (lub, w przypadku dwóch populacji, różnica między średnimi populacji) zgadza się lub nie zgadza z ustaloną wcześniej wartością.

   • Użyj jednostronnego testu t, jeśli chcesz sprawdzić, czy ta średnia (lub różnica średnich) jest większa/mniejsza od zadanej wartości.

2. Oblicz wartość statystyki testowej (t-score):

   Wzory na statystykę testową w testach t obejmują wielkość próby, a także jej średnią i odchylenie standardowe. Dokładna postać wzoru zależy od rodzaju testu t — sprawdź sekcje poświęcone poszczególnym testom, aby poznać więcej szczegółów.

3. Określenie stopni swobody dla testu t:

   Stopnie swobody to liczba obserwacji w próbie, które mogą się dowolnie zmieniać w miarę szacowania parametrów statystycznych. W najprostszym przypadku liczba stopni swobody jest równa wielkości próby pomniejszonej o liczbę parametrów, które trzeba oszacować. Ponownie: dokładny wzór zależy od testu t, który chcesz wykonać — szczegóły znajdziesz poniżej.

Stopnie swobody są kluczowe, ponieważ wyznaczają rozkład statystyki testowej przy prawdziwości hipotezy zerowej. Jeśli mamy d stopni swobody, to rozkład statystyki testowej jest rozkładem t-Studenta o d stopniach swobody. Rozkład ten ma kształt podobny do rozkładu normalnego N(0,1) (krzywa dzwonowa), ale ma cięższe ogony. Jeśli liczba stopni swobody jest duża (>30), co generalnie zdarza się dla dużych prób, rozkład t-Studenta jest praktycznie nie do odróżnienia od N(0,1).

Przypomnijmy, że wartość p (p-value) jest prawdopodobieństwem (obliczonym przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa) tego, że statystyka testowa przyjmie wartości co najmniej tak skrajne, jak jej wartość uzyskana dla twojej próbki. Ponieważ prawdopodobieństwa odpowiadają obszarom pod funkcją gęstości, możemy zilustrować p-value testu t Studenta za pomocą poniższych wykresów:

Poniższe wzory mówią, jak obliczyć wartość p w teście t Studenta. Przez cdf_t,d oznaczamy dystrybuantę rozkładu t-Studenta o d stopniach swobody:

1. wartość p dla lewostronnego testu t:

   p-value = cdf_t,d(t_score)

2. wartość p dla prawostronnego testu t:

   p-value = 1 - cdf_t,d(t_score)

3. wartość p dla testu dwustronnego:

   p-value = 2 · cdf_t,d(-|t_score|)

   lub, równoważnie: p-value = 2 - 2 · cdf_t,d(|t_score|)

Dystrybuanta rozkładu t jest zadana przez dosyć skomplikowany wzór. Aby znaleźć wartość p ręcznie, należy posłużyć się tablicami statystycznymi, gdzie zebrane są przybliżone wartości dystrybuanty, lub specjalistycznym oprogramowaniem statystycznym. Na szczęście Omni kalkulator testu t Studenta wyznaczy wartość p w mgnieniu oka!

Przypomnijmy, że przed obliczeniem zbioru krytycznego testu t trzeba ustalić poziom istotności α. Na jego podstawie wyznaczamy wartości krytyczne.

Wzory na wartości krytyczne wykorzystują funkcję kwantyla rozkładu t, czyli funkcję odwrotną do dystrybuanty:

1. Wartość krytyczna dla lewego ogona testu t:
   cdf=t,d=^-1(α).

   Zbiór krytyczny:

   (-∞, cdf_t,d^-1(α)].

2. Wartość krytyczna dla prawego ogona:
   cdf_t,d^-1(1-α).

   Zbiór krytyczny:

   [cdf_t,d^-1(1-α), ∞).

3. Wartości krytyczne dla testu t dwustronnego:
   ±cdf_t,d^-1(1-α/2).

   Zbiór krytyczny:

   (-∞, -cdf_t,d^-1(1-α/2)] ∪ [cdf_t,d^-1(1-α/2), ∞).

Aby zdecydować o losie hipotezy zerowej, pozostaje sprawdzić, czy wartość statystyki testowej (t-score) należy do zbioru krytycznego:

• Jeśli t-score należy do zbioru krytycznego, odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy hipotezę alternatywną.

• Jeśli t-score nie należy do zbioru krytycznego, to nie mamy podstaw, aby odrzucić hipotezę zerową.

1. Wybierz rodzaj testu t, który chcesz wykonać:

   • test t z jedną próbką (aby sprawdzić średnią pojedynczej grupy w stosunku do hipotetycznej średniej);
   • test t z dwiema próbkami (aby porównać średnie dla dwóch grup); lub
   • test t dla próbek sparowanych (aby sprawdzić, jak zmieniają się średnie z tej samej grupy po jakiejś interwencji).

2. Wybierz hipotezę alternatywną:

   • dwustronną;
   • lewostronną; lub
   • prawostronną.

3. Nasz kalkulator t-testów potrafi obliczyć wartość p oraz wyznaczać zbiór krytyczny. Ty decydujesz, które podejście do testowania hipotez wolisz!

4. Podaj wartość statystyki testowej (t-score) oraz liczbę stopni swobody. Jeśli nie znasz tych danych, podaj nam kilka informacji o swojej próbce (próbkach): wielkość próby, średnią i odchylenie standardowe. Nasz kalkulator testu t obliczy t-score i liczbę stopni swobody.

5. Gdy wprowadzisz wszystkie parametry, pod kalkulatorem testu t Studenta pojawi się wyliczona wartość p lub zbiór krytyczny — wraz z interpretacją!

1. Hipoteza zerowa mówi, że średnia w populacji jest równa pewnej wartości $\mu_0$.

2. Hipoteza alternatywna mówi, że średnia w populacji jest:

   • różna od $\mu_0$;
   • mniejsza od $\mu_0$; lub
   • większa od $\mu_0$.

Wzór testu t dla jednej próbki:

gdzie:

• $\mu_0$ to średnia postulowana w hipoteze zerowej;
• $n$ to wielkość próby;
• $\bar{x}$ to średnia z próby; oraz
• $s$ to odchylenie standardowe próby.

Liczba stopni swobody w teście t dla jednej próbki wynosi $n-1$.

1. Hipoteza zerowa zakłada, że rzeczywista różnica między średnimi tych grup, $\mu_1$ i $\mu_2$, jest równa pewnej z góry ustalonej wartości $\Delta$.

2. Hipoteza alternatywna mówi, że różnica $\mu_1 - \mu_2$ jest:

   • różna od $\Delta$;
   • mniejsza od $\Delta$; lub
   • większa od $\Delta$.

   W szczególności, jeżeli ta wstępnie ustalona różnica jest równa zeru ($\Delta = 0$):

3. Hipoteza zerowa mówi, że średnie populacji są równe.

4. Hipoteza alternatywna brzmi, że średnie populacji są:

   • $\mu_1$ i $\mu_2$ są różne od siebie;
   • $\mu_1$ jest mniejsza od $\mu_2$; oraz
   • $\mu_1$ jest większa od $\mu_2$.

Formalnie, aby wykonać test t, powinniśmy dodatkowo założyć, że wariancje obu populacji są równe (założenie to nazywane jest homogenicznością wariancji).

Istnieje jednak wersja testu t, która może być stosowana bez założenia o jednorodności wariancji: nazywa się ona testem t Welcha. Dla wygody opisujemy obie wersje.

Test t dla dwóch próbek, jeśli wariancje są równe

Użyj tego testu, jeśli wiesz, że wariancje dwóch populacji są takie same (lub bardzo podobne).

Wzór testu t dla dwóch próbek (przy równych wariancjach):

gdzie $s_p$ jest tzw. łącznym odchyleniem standardowym, które obliczamy jako:

oraz:

• $\Delta$ jest średnią różnicą postulowaną w hipotezie zerowej;
• $n_1$ jest liczebnością pierwszej próby;
• $\bar{x}_1$ jest średnią dla pierwszej próby;
• $s_1$ jest odchyleniem standardowym w pierwszej próbie;
• $n_2$ jest liczebnością drugiej próby;
• $\bar{x}_2$ jest średnią dla drugiej próby;
• $s_2$ jest odchyleniem standardowym w drugiej próbie.

Liczba stopni swobody w teście t (dwie próby, równe wariancje) wynosi $n_1 + n_2 - 2$.

Dwupróbkowy test t, jeśli wariancje niekoniecznie są równe (test t Welcha)

Użyj tego testu, jeśli wariancje twoich populacji są różne.

Wzór na test t dla dwóch prób Welcha, jeśli wariancje nie są równe:

gdzie:

• $\Delta$ jest średnią różnicą postulowaną w hipotezie zerowej;
• $n_1$ jest liczebnością pierwszej próby;
• $\bar{x}_1$ jest średnią dla pierwszej próby;
• $s_1$ jest odchyleniem standardowym w pierwszej próbie;
• $n_2$ jest liczebnością drugiej próby;
• $\bar{x}_2$ jest średnią dla drugiej próby; oraz
• $s_2$ jest odchyleniem standardowym w drugiej próbie.

Liczba stopni swobody w teście t Welcha (dwupróbkowym teście t z niekoniecznie równymi wariancjami) jest bardzo trudna do policzenia. Możemy ją przybliżyć za pomocą następującego wzoru Satterthwaite'a:

Alternatywnie można przyjąć mniejszą z liczb: $n_1 - 1$ oraz $n_2 - 1$ jako konserwatywne oszacowanie liczby stopni swobody.

Jako że najczęściej wykonujemy test t próbek sparowanych gdy mamy dane o tych samych osobach mierzonych dwukrotnie (przed i po jakimś leczeniu), przyjmijmy konwencję odnoszenia się do prób jako grupy „przed” i grupy „po”.

1. Hipoteza zerowa mówi, że prawdziwa różnica między średnimi populacji przed i po jest równa pewnej z góry ustalonej wartości, $\Delta$.

2. Hipoteza alternatywna głosi, że rzeczywista różnica między tymi średnimi jest:

   • różna od $\Delta$;
   • mniejsza od $\Delta$; lub
   • większa od $\Delta$.

Zazwyczaj ta wstępnie ustalona różnica wynosi zero. Możemy wtedy przeformułować hipotezy w następujący sposób:

1. Hipoteza zerowa mówi, że średnie przed i po są takie same, czyli leczenie nie ma wpływu na populację.
2. Hipoteza alternatywna mówi, że:
   • Średnie „przed” i „po” są różne od siebie (leczenie ma jakiś wpływ, ale nie wiemy czy pomaga, czy wręcz przeciwnie);
   • Średnia „przed” jest mniejsza od średniej „po” (leczenie zwiększa badany wynik); lub
   • Średnia „przed” jest większa od średniej „po” (leczenie zmniejsza wynik).

Wzór testu t sparowanego

Test t dla próbek sparowanych jest w rzeczywistości testem t dla jednej, odpowiednio przygotowanej, próbki! Załóżmy, że $x_1, \ldots , x_n$ to obserwacje wstępne („przed”), a $y_1, \ldots , y_n$ to obserwacje „po”. Przyjmujemy, że $x_i, y_i$ są pomiarami dla tego samego, i-tego, pacjenta.

Dla każdego pacjenta obliczamy różnicę, $d_i := x_i - y_i$. Wszystko, co dzieje się potem, to tylko jednopróbkowy test t wykonany na próbce różnic $d_1, \ldots , d_n$. Przyjrzyj się wzorowi na wynik t:

gdzie:

• $\Delta$ to średnia różnica postulowana przez hipotezę zerową;

• $n$ jest wielkością próby różnic, czyli liczbą par;

• $\bar{x}$ jest średnią z próby różnic; oraz

• $s$ jest odchyleniem standardowym próby różnic.

Liczba stopni swobody w teście t (sparowanym) wynosi $n - 1$.

Testu Z używamy, gdy chcemy sprawdzić średnią populacji w zbiorze danych o rozkładzie normalnym, który ma znaną wariancję populacji. Jeśli liczba stopni swobody jest duża, to rozkład t-Studenta jest bardzo zbliżony do N(0,1).

Zatem, jeśli masz do dyspozycji dużą próbkę (co najmniej 30 obserwacji), możesz zamienić test t na test Z, a wyniki będą prawie identyczne. Jednak w przypadku małych prób o nieznanej wariancji należy pamiętać o stosowaniu testu t, ponieważ rozkład t-Studenta różni się wtedy znacznie od rozkładu N(0,1)!