Omni Calculator logo
Ostatnia aktualizacja:

Kalkulator testu Z

Spis treści

Co to jest test Z?Kiedy używać testu Z?Wzór testu ZWartość p z testu ZDwustronny test Z a jednostronny test ZWartości krytyczne testu Z i regiony krytyczneJak korzystać z kalkulatora testu Z dla jednej próby?Przykłady testów ZFAQs

Nasz kalkulator testu Z jest narzędziem, które pomoże ci wykonać jednopróbkowy test Z dla średniej w populacji. Może on wykonać dwie formy tego testu — dwustronny test Z i jednostronny test Z — w zależności od twoich potrzeb. Możesz także wybrać, czy kalkulator ma wyznaczyć wartość p z testu Z, czy raczej użyć wartości krytycznej.

Czytaj dalej, aby dowiedzieć się więcej o teście Z w statystyce, a w szczególności o tym, kiedy używać testu Z, jaki jest wzór na jego statystykę testową i jak ma się test Z do testu T studenta. Jako bonus podajemy kilka przykładów krok po kroku, jak wykonać test Z!

Możesz też sprawdzić nasz kalkulator wartości t, gdzie zapoznasz się z koncepcją innej istotnej statystyki testowej. Jeśli interesuje cię również test F, sprawdź nasz kalkulator testu F 🇺🇸.

Co to jest test Z?

Test Z dla jednej próby jest jednym z najpopularniejszych testów używanych w statystyce. Hipoteza zerowa mówi, że średnia wartość w populacji jest równa pewnej zadanej liczbie, μ0\mu_0:

H0:μ=μ0.\footnotesize \mathrm H_0 \!\!:\!\! \mu = \mu_0 \text{.}

Wykonujemy dwustronny test Z, jeśli chcemy sprawdzić, czy średnia populacji jest w rzeczywistości inna niż μ0\mu_0:

H1:μμ0,\footnotesize \mathrm H_1 \!\!:\!\! \mu \ne \mu_0 \text{,}

oraz jednostronny test Z, jeśli chcemy sprawdzić, czy średnia populacji jest mniejsza/większa niż μ0\mu_0:

H1:μ<μ0 (test lewostronny)\footnotesize \mathrm H_1 \!\!:\!\! \mu \lt \mu_0 \ (\text{\scriptsize test lewostronny)}
H1:μ>μ0 (test prawostronny)\footnotesize \mathrm H_1 \!\!:\!\! \mu \gt \mu_0 \ (\text{\scriptsize test prawostronny)}

Omówimy teraz założenia testu Z.

Kiedy używać testu Z?

Możesz użyć testu Z, jeśli twoja próbka jest prosta, tzn. składa się z niezależnych obserwacji oraz:

  • dane mają rozkład normalny i znamy wariancję populacji;

    lub

  • próba jest duża, a dane pochodzą z rozkładu o skończonej średniej i wariancji. Nie musisz znać tej wariancji!

Powodem istnienia tych dwóch możliwości jest fakt, że chcemy, aby statystyka testowa miała standardowy rozkład normalny N(0,1)\mathrm N(0, 1). W pierwszym przypadku ma ona dokładnie taki rozkład, podczas gdy w drugim będze on taki z dobrym przybliżeniem, dzięki centralnemu twierdzeniu granicznemu (CTG)

Pozostaje pytanie: „Kiedy moja próbka jest uważana za dużą?” Cóż, nie ma na to uniwersalnego kryterium. Ogólnie rzecz biorąc, im więcej obserwacji, tym lepiej. Podręczniki statystyki zalecają nie mniej niż 50 elementów, podczas gdy 30 jest uważane za absolutne minimum, aby korzystać z przybliżenia poprzez CTG.

Wzór testu Z

Załóżmy, że x1,...,xnx_1, ..., x_n to nasza próbka o rozkładzie normalnym N(μ,σ2)\mathrm N(\mu, \sigma^2), tj. o średniej równej μ\mu i wariancji równej σ2\sigma^2.

Stawiamy hipotezę zerową H0 ⁣ ⁣: ⁣ ⁣μ=μ0\mathrm H_0 \!\!:\!\! \mu = \mu_0 i definiujemy statystykę testową Z jako:

Z=(xˉμ0)nσZ = (\bar x - \mu _0 ) \frac{\sqrt n}{\sigma}

gdzie:

  • xˉ\bar x jest średnią z próby, tj. xˉ=(x1+...+xn)/n\bar x = (x_1 + ... + x_n) / n;

  • μ0\mu_0 jest średnią wyrażoną w hipotezie H0\mathrm H_0;

  • nn jest wielkością próby;

  • σ\sigma jest odchyleniem standardowym w populacji.

W dalszej części tekstu wielka litera ZZ oznacza statystykę testową (traktowaną jako zmienna losowa), podczas gdy mała litera zz oznacza realizację tej zmiennej, tzn. wartość obliczoną dla danej próbki danych wylosowanych z N(μ,σ²).

Przy założeniu prawdziwości H0\mathrm H_0, suma Sn=x1+...+xnS_n = x_1 + ... + x_n ma rozkład normalny ze średnią nμ0n \mu_0 i wariancją n2σn^2 \sigma. Ponieważ ZZ jest standaryzacją Sn/nS_n/n, możemy stwierdzić, że statystyka testowa ZZ ma standardowy rozkład normalny N(0,1)\mathrm N(0, 1), pod warunkiem prawdziwości H0\mathrm H_0. Przy okazji, mamy kalkulator standaryzacji, jeśli chcesz dowiedzieć się o tym więcej.

Jeśli nasze dane nie pochodzą z rozkładu normalnego lub jeśli odchylenie standardowe populacji jest nieznane (a zatem we wzorze na ZZ zastępujemy odchylenie standardowe populacji σ\sigma odchyleniem standardowym próby), wówczas statystyka testowa ZZ niekoniecznie ma rozkład normalny. Jednakże, jeśli próba jest wystarczająco duża, wówczas centralne twierdzenie graniczne gwarantuje, że rozkład ZZ to w przybliżeniu N(0,1)\mathrm N(0, 1).

W kolejnych sekcjach wyjaśnimy ci jak wykorzystać wartość statystyki testowej, zz, do podjęcia właściwej decyzji odnośnie odrzucenia (bądź nie) hipotezy zerowej. Aby podjąć taką decyzję, możesz skorzystać z dwóch podejść: wartości p lub wartości krytycznej — omówimy oba te zagadnienia!

A którego z nich powinieneś/powinnaś użyć? W przeszłości podejście oparte na wartości krytycznej było bardziej popularne, ponieważ ręczne obliczanie wartości p (p-wartości) z testu Z jest trudne. Jednak z pomocą współczesnych komputerów możemy to zrobić łatwo, szybko i z przyzwoitą precyzją. Ogólnie rzecz biorąc, zdecydowanie zalecamy podawanie p-wartości testów statystycznych.

Wartość p z testu Z

Formalnie, wartość p (p-wartość lub z ang. p-value) jest najmniejszym poziomem istotności, przy którym hipoteza zerowa może zostać odrzucona. Bardziej intuicyjnie, wartość p odpowiada na następujące pytanie:

Zakładając, że żyję w świecie, w którym hipoteza zerowa jest prawdziwa, jak prawdopodobne jest, że wartość statystyki testowej będzie co najmniej tak skrajna, jak wartość zz, którą otrzymałem/am dla mojej próbki?

Zatem bardzo mała wartość p oznacza, że twój wynik jest bardzo nieprawdopodobny gdyby hipoteza zerowa była prawdą, a więc mała p-wartość stanowi dowód przeciwko prawdziwości hipotezy zerowej — im mniejsza p-wartość, tym mocniejszy ten dowód.

Aby znaleźć wartość p, musisz obliczyć prawdopodobieństwo, że statystyka testowa ZZ może przyjąć wartość co najmniej tak ekstremalną jak wartość zz, którą faktycznie zaobserwowaliśmy, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej. (Prawdopodobieństwo zdarzenia obliczone przy założeniu, że H0\mathrm H_0 jest prawdziwa, będzie oznaczane jako Pr(zdarzenieH0)\small \mathrm{Pr}(\text{zdarzenie} | \mathrm{H_0}).) Hipoteza alternatywna służy do określenia, co oznacza wartość bardziej ekstremalna:

  1. Dwustronny test Z: wartości ekstremalne to te, których wartość bezwzględna przekracza z|z|, a więc te mniejsze niż z-|z| lub większe niż z|z|. Dlatego mamy:
wartosˊcˊ p= Pr(Zz  H0)+ Pr(Zz  H0)\footnotesize \begin{split} \quad \text{wartość p} &= \ \mathrm{Pr} (Z \! \leq \! - |z| \ | \ \mathrm{H_0}) \\[0.5em] &+ \ \mathrm{Pr} (Z \! \geq \! |z| \ | \ \mathrm{H_0}) \end{split}

Zaś z symetrii rozkładu normalnego wynika, że:

wartosˊcˊ p=2 Pr(Zz  H0)\footnotesize \quad \text{wartość p} = 2 \ \mathrm{Pr} (Z \! \leq \! - |z| \ | \ \mathrm{H_0})
  1. Lewostronny test Z: wartości ekstremalne są mniejsze niż zz, więc
wartosˊcˊ p=Pr(Zz  H0)\footnotesize \quad \text{wartość p} = \mathrm{Pr} (Z \leq z \ |\ \mathrm{H_0})
  1. Prawostronny test Z: wartości ekstremalne są większe niż zz, więc
wartosˊcˊ p=Pr(Zz  H0)\footnotesize \quad \text{wartość p} = \mathrm{Pr} (Z \geq z\ |\ \mathrm{H_0})

Aby obliczyć te prawdopodobieństwa, możemy użyć dystrybuanty rozkładu N(0,1)\mathrm N(0, 1), która dla liczby rzeczywistej, xx, jest zdefiniowana jako:

Φ(x)=Pr(Zx  H0)=12πxet22dt\footnotesize \begin{split} \Phi (x) &= \mathrm{Pr}(Z \leq x\ |\ \mathrm{H_0}) \\[1em] & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt \end{split}

Ponadto, wartości p mogą być przedstawione jako pole pod wykresem funkcji gęstości rozkładu N(0,1)\mathrm N(0, 1), gdyż:

Pr(ZxH0)=Φ(x)=pole na lewo od x\footnotesize \mathrm{Pr}(Z \leq x | \mathrm{H_0}) = \Phi(x) \\[0.5em] = \text{pole na lewo od } x
Pr(ZxH0)=1Φ(x)=pole na prawo od x\footnotesize \mathrm{Pr}(Z \geq x | \mathrm{H_0}) = 1 - \Phi(x) \\[0.5em] = \text{pole na prawo od } x

Dwustronny test Z a jednostronny test Z

Z całą wiedzą zdobytą w poprzedniej sekcji, jesteś gotowy/a, aby dowiedzieć się więcej o rodzajach testu Z.

  1. Dwustronny test Z:
wartosˊcˊ p=Φ(z)+(1Φ(z))\footnotesize \text{wartość p} = \Phi(-|z|) + (1 - \Phi(|z|))

Wiedząc, że Φ(z)=1Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z), możemy wywnioskować, że:

wartosˊcˊ p=2Φ(z)=2(1Φ(z))\footnotesize \begin{align*} \text{wartość p} & = 2 \Phi(-|z|) \\ & = 2(1 - \Phi(|z|)) \end{align*}

Wartość p to obszar pod wykresem funkcji gęstości rozkładu zarówno na lewo od z-|z|, jak i na prawo od z|z|:

Dwustronna p-wartość.
  1. Lewostronny test Z:
wartosˊcˊ p=Φ(z)\footnotesize \quad \text{wartość p} = \Phi(z)

Wartość p to obszar pod wykresem gęstości na lewo od zz:

Lewostronna p-wartość.
  1. Prawostronna wartość p
wartosˊcˊ p=1Φ(z)\footnotesize \quad \text{wartość p} = 1 - \Phi(z)

Wartość p to obszar pod wykresem gęstości na prawo od zz:

Prawostronne p-wartość.

Gdy znasz wartość p, decyzja o tym, czy należy odrzucić hipotezę zerową, może być teraz podjęta na dowolnym ustalonym poziomie istotności, α\alpha!

  • jeśli wartość p jest mniejsza lub równa α\alpha, hipoteza zerowa jest odrzucana na tym poziomie istotności.

  • jeśli wartość p jest większa niż α\alpha, to nie ma wystarczających dowodów, aby odrzucić hipotezę zerową na tym poziomie istotności.

Wartości krytyczne testu Z i regiony krytyczne

Podejście poprzez wartości krytyczne polega na porównaniu wartości statystyki testowej uzyskanej dla naszej próbki, zz, z tak zwanymi wartościami krytycznymi. Wartości te odpowiadają obszarom, w których prawdopodobieństwo wystąpienia statystyki testowej jest bardzo niskie. Obszary te są często nazywane obszarami krytycznymi lub obszarami odrzucenia. Decyzja o tym, czy odrzucić hipotezę zerową, opiera się na tym, czy nasze zz należy do obszaru krytycznego, czy też do niego nie należy.

Obszary krytyczne zależą od poziomu istotności, α\alpha, i od rozważanej hipotezy alternatywnej. Wybór α\alpha jest arbitralny; w praktyce jako α\alpha najczęściej przyjmujemy 0,05 lub 0,01, rzadziej 0,1.

Gdy już ustalimy wartość α\alpha, możemy łatwo określić obszary krytyczne testu Z:

  1. Dwustronny test Z:
 (,Φ1(α2)][Φ1(α2),)\footnotesize \ \left(-\infty, \Phi^{-1} \!\! \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) \! \right] \cup \left[ \Phi^{-1} \!\! \left( \tfrac{\alpha}{2} \right), \infty \right)
  1. Lewostronny test Z:
(,Φ1(α)]\footnotesize \quad \left(-\infty, \Phi^{-1} \! \left(\alpha \right) \right]

Prawostronny test Z:

[Φ1(1α),)\footnotesize \quad \left[ \Phi^{-1} \! \left( 1 - \alpha \right), \infty \right)

Aby zdecydować o losie H0\mathrm H_0, sprawdź, czy twoja wartość zz znajduje się w obszarze krytycznym:

  • Jeśli tak, odrzuć H0\mathrm H_0 i zaakceptuj H1\mathrm H_1.

  • Jeśli nie, to nie masz wystarczających powodów, aby odrzucić H0\mathrm H_0.

Jak widzisz, we wzorach na wartości krytyczne testów Z pojawia się odwrotność dystrybuanty rozkładu N(0,1)\mathrm N(0, 1), czyli funkcja Φ1\Phi^{-1}.

Jak korzystać z kalkulatora testu Z dla jednej próby?

Nasz kalkulator redukuje wszystkie skomplikowane kroki:

  1. Wybierz hipotezę alternatywną: dwustronną lub lewostronną/prawostronną.

  2. W naszym kalkulatorze testu Z możesz zdecydować, czy użyć wartości p, czy obszarów krytycznych. W tym drugim przypadku podaj poziom istotności, α\alpha.

  3. Wprowadź wartość statystyki testowej, zz. Jeśli jej nie znasz, możesz wprowadzić dane, które pozwolą nam obliczyć zz:

    • średnia z próby xˉ\bar x (jeśli masz tylko surowe dane, przejdź do kalkulatora średniej, aby ją obliczyć);
    • testowana średnia μ0\mu_0;
    • wielkość próby nn;
    • odchylenie standardowe populacji σ\sigma (lub odchylenie standardowe próby, jeśli twoja próba jest duża).
  4. Wyniki pojawią się bezpośrednio pod kalkulatorem.

Jeśli chcesz znaleźć zz na podstawie wartości p, pamiętaj, że w przypadku testów dwustronnych istnieją dwie możliwe wartości zz: jedna dodatnia i jedna ujemna, i są to liczby sobie przeciwne. Kalkulator testu Z zwraca w takim przypadku wartość dodatnią. Aby znaleźć drugą możliwą wartość zz dla danej wartości p, po prostu weź liczbę przeciwną do wartości zz wyświetlanej przez kalkulator.

Przykłady testów Z

Aby upewnić się, że w pełni rozumiesz istotę testu Z, przejdźmy przez kilka przykładów:

  1. Maszyna napełnia butelki zgodnie z rozkładem normalnym. Jej odchylenie standardowe, zgodnie z deklaracją producenta, wynosi 30 ml. Sprzedawca soku twierdzi, że objętość wlewana do każdej butelki wynosi średnio jeden litr, tj. 1000 ml, ale podejrzewamy, że w rzeczywistości średnia objętość jest mniejsza niż wskazana.

Formalnie, hipotezy które stawiamy, są następujące:

  • H0 ⁣:μ=1000 ml\mathrm H_0 \! : \mu = 1000 \text{ ml}

  • H1 ⁣:μ<1000 ml\mathrm H_1 \! : \mu \lt 1000 \text{ ml}

Poszliśmy do sklepu i kupiliśmy 9 butelek tego soku. Po dokładnym zmierzeniu objętości soku w każdej butelce otrzymaliśmy następującą próbkę (w mililitrach):

1020,970,1000,980,1010,930,950,980,980\small 1020, 970, 1000, 980, 1010, 930, 950, 980, 980.

  • Wielkość próbki: n=9n = 9;

  • Średnia z próby: xˉ=980 ml\bar x = 980 \ \mathrm{ml};

  • Odchylenie standardowe populacji: σ=30 ml\sigma = 30 \ \mathrm{ml};

  • A zatem:

Z=(9801000)/309=2\footnotesize \quad Z = (980 - 1000) / \frac{30}{\sqrt 9} = -2
  • Dlatego też wartosˊcˊ p=Φ(2)0, ⁣0228\text{wartość p} = \Phi(-2) \approx 0,\!0228.

    Wynik 0, ⁣02280,\!0228 oznacza, że nasze podejrzenia nie są bezpodstawne; na najbardziej powszechnym poziomie istotności, 0,05, odrzucilibyśmy twierdzenie producenta, H0\mathrm H_0, i zaakceptowalibyśmy hipotezę alternatywną, H1\mathrm H_1.

  1. Rzuciliśmy monetą 50 razy. Otrzymaliśmy 20 reszek i 30 głów. Czy jest to wystarczający dowód, aby twierdzić, że moneta jest niesymetryczna?

    Oczywiście nasze dane są zgodne z rozkładem Bernoulliego, z pewnym prawdopodobieństwem sukcesu pp i wariancją σ2=p(1p)\sigma^2 = p (1-p). Jednak próba jest duża, więc możemy bezpiecznie przeprowadzić test Z. Przyjmujemy konwencję, że wyrzucenie reszki oznacza sukces.

    Podaj hipotezę zerową i alternatywną:

    • H0 ⁣:p=0,5\mathrm H_0 \! : p = 0,5

    (moneta jest symetryczna: prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki wynosi 0, ⁣50,\!5)

    • H1 ⁣:p0,5\mathrm H_1 \! : p \ne 0,5

    (moneta jest niesymetryczna: prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki różni się od 0,50,5)

W naszej próbie mamy 20 sukcesów (oznaczonych jedynkami) i 30 porażek (oznaczonych zerami), więc:

  • Wielkość próby n=50n = 50;

  • Średnia próbki xˉ=20/50=0, ⁣4\bar x = 20/50 = 0,\!4;

  • Odchylenie standardowe populacji wynosi σ=0, ⁣50, ⁣5\sigma = \sqrt{0,\!5 \cdot 0,\!5} (ponieważ 0, ⁣50,\!5 jest wartością pp założoną w H0\mathrm H_0). Stąd, σ=0, ⁣5\sigma = 0,\!5;

  • Zatem

Z=(0,40,5)/0,550=21,4142\footnotesize \begin{split} \quad Z &= (0,\!4 - 0,5)/ \frac{0,5}{\sqrt{50}} \\[0.5em] &= -\sqrt 2 \approx -1,\!4142 \end{split}
  • Czyli
wartosˊcˊ p2 Φ(1,4142)0,1573\footnotesize \begin{split} \quad \text{wartość p} &\approx 2 \ \Phi(-1,\!4142) \\[0.5em] &\approx 0,\!1573 \end{split}

Ponieważ 0, ⁣1573>0, ⁣10,\!1573 \gt 0,\!1 nie mamy wystarczających dowodów, aby odrzucić twierdzenie, że moneta jest symetryczna, nawet na tak wysokim poziomie istotności jak 0, ⁣10,\!1. W takim przypadku możemy na przykład użyć kalkulatora prawdopodobieństwa rzutu monetą, aby znaleźć swoje szanse na uzyskanie np. 10 reszek z rzędu (które są niezwykle niskie!).

FAQs

Jaka jest różnica między testem Z a testem t?

Testu t używamy do testowania średniej populacji dla danych o rozkładzie normalnym z nieznanym odchylenie standardowym. Statystyke testową uzyskujemy poprzez zastąpienie odchylenia standardowego populacji we wzorze na statystykę testu Z odchyleniem standardowym próby, co oznacza, że ta nowa statystyka testowa ma (pod warunkiem prawdziwości H₀) rozkład t-Studenta o n-1 stopniach swobody zamiast rozkładu N(0,1).

Kiedy używać testu t-Studenta zamiast testu Z?

W przypadku dużych próbek rozkład t-Studenta z n stopniami swobody jest w przybliżeniu taki sam jak rozkład N(0,1). W związku z tym, o ile istnieje wystarczająca liczba danych (co najmniej 30), nie ma znaczenia, czy użyjesz testu Z, czy testu t, ponieważ wyniki będą prawie identyczne. Jednak w przypadku małych próbek o nieznanej wariancji pamiętaj, aby użyć testu t zamiast testu Z.

Jak obliczyć statystykę testu Z?

Aby obliczyć statystykę testu Z:

  1. Oblicz średnią arytmetyczną swojej próby.
  2. Od tej średniej odejmij średnią postulowaną w hipotezie zerowej.
  3. Pomnóż przez pierwiastek kwadratowy z wielkości próby.
  4. Podziel przez odchylenie standardowe populacji.
  5. To wszystko, właśnie obliczyłeś statystykę testu Z!

Test Z dla średniej populacji μ

Hipoteza zerowa H₀: μ = μ₀.

Check out 26 similar inference, regression, and statistical tests calculators 📉
Absolute uncertaintyAB testCoefficient of determination...23 more