Kalkulator prawdopodobieństwa rzutu monetą

Witaj w Omni kalkulatorze prawdopodobieństwa rzutu monetą, gdzie będziesz miał/a okazję dowiedzieć się, jak obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania wybranej liczby orłów (lub reszek) przy określonej liczbie rzutów. Jest to jeden z podstawowych klasycznych problemów prawdopodobieństwa, który później rozwinął się jako dość duży obszar badawczy w matematyce.

Na przykład, może lubisz Batmana i znasz jednego z jego wielu przeciwników, Dwie Twarze (ang. Two-Face)? Zapewne myślisz, że jego imię pochodzi od faktu, że połowa jego twarzy jest spalona, ale nie! (No dobrze, może trochę tak jest). Otóż Dwie Twarze ma swoją szczęśliwą monetę, którą zawsze rzuca przed wykonaniem jakiejkolwiek czynności. Ponieważ moneta po obu stronach ma wytłoczoną twarz (ang. face), prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi 1. Lepiej nie stawaj po jego złej stronie (lub twarzy)!

Prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia jest matematyczną (liczbową) reprezentacją prawdopodobieństwa jego wystąpienia, gdzie prawdopodobieństwo równe 1 oznacza, że zdarzenie zawsze wystąpi, podczas gdy prawdopodobieństwo równe 0 oznacza, że nigdy nie wystąpi. Klasyczne zagadnienia prawdopodobieństwa zwykle wymagają od ciebie określenia, jak często jeden wynik występuje w porównaniu z innym oraz jak wystąpienie jednego zdarzenia wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia przyszłych zdarzeń. Kiedy spojrzysz na wszystkie scenariusze, które mogą się wydarzyć, wzór (podobnie jak nasz wzór na prawdopodobieństwo rzutu monetą) stwierdza, że:

prawdopodobieństwo = liczba sukcesów / liczba wszystkich możliwych wyników

Weźmy jako przykład rzut kostką. Jeśli masz standardową kostkę z 6 ściankami, istnieje sześć możliwych wyników pojedynczego rzutu, a mianowicie liczby od 1 do 6. Jeśli jest to uczciwa kostka, to prawdopodobieństwo każdego z tych wyników jest takie samo, tj. 1 na 6 lub 1/6. Dlatego prawdopodobieństwo uzyskania 6, gdy rzucisz kostką, wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo jest takie samo dla 3. Albo 2. Jeśli nie wierzysz, weź kostkę i rzuć nią kilka razy, a następnie zanotuj wyniki. Pamiętaj, że im więcej razy powtarzasz eksperyment, tym bardziej wiarygodne są jego wyniki. Rzuć więc kostką, powiedzmy, tysiąc razy i sprawdź sam/a. Poczekamy cierpliwie, aż wrócisz, ale możesz też skorzystać z Omni kalkulatora prawdopodobieństwa rzutu kością, jeśli chcesz zaoszczędzić trochę czasu.

Ale co się stanie, jeśli powtórzysz eksperyment sto razy i chcesz znaleźć prawdopodobieństwo uzyskania danego wyniku co najmniej 20 razy?

Spójrzmy na inny przykład. Powiedzmy, że jesteś nastolatkiem i decydujesz, że chcesz spotkać miłość swojego życia w tym roku. Mówiąc dokładniej, chcesz zaprosić dziesięć dziewczyn i pójść na randkę tylko z czterema z nich. Jedna z nich musi być tą jedyną, prawda? Pierwszą rzeczą, którą musisz zrobić w tej sytuacji, jest spojrzenie w lustro i ocena prawdopodobieństwa, że dziewczyna zgodzi się z tobą umówić, gdy zaczniesz z nią rozmawiać. Jeśli masz problemy z uczciwą oceną swojego wyglądu, zejdź na dół i pozwól babci stwierdzić, że jesteś przystojnym młodym dżentelmenem. A więc solidne 9/10.

Ponieważ chcesz iść tylko na cztery randki, oznacza to, że chcesz, aby tylko cztery próby nawiązania romansu zakończyły się sukcesem. To daje wynik 9/10. Oznacza to, że chcesz, aby pozostałe sześć dziewczyn cię odrzuciło, co, na podstawie twojego dobrego wyglądu, ma tylko 1/10 szansy na wystąpienie (suma wszystkich zdarzeń jest zawsze równa 1, więc otrzymujemy tę liczbę, odejmując 9/10 od 1). Jeśli pomnożysz prawdopodobieństwo każdego zdarzenia przez liczbę razy, kiedy chcesz, aby wystąpiło, otrzymasz szansę, że twój scenariusz się spełni. W tym przypadku twoje szanse wynoszą 210 ⋅ (9/10)⁴ ⋅ (1/10)⁶ = 0,000137781, gdzie 210 oznacza liczby możliwych kombinacji czwórek dziewcząt wśród dziesięciu, które zgodziłyby się na spotkanie. Niezbyt prawdopodobne, prawda? Może powinieneś spróbować być mniej piękny!

"*Hej stary, ale dziewczyny i monety to dwie różne rzeczy!" Cóż, pozwól nam wyjaśnić, że te dwa problemy są w zasadzie takie same, to znaczy z punktu widzenia matematyki. Niezależnie od tego, czy chcesz rzucić monetą, czy umówić się z dziewczyną, istnieją tylko dwie możliwości. Innymi słowy, jeśli przypiszesz sukces swojego eksperymentu, czy to otrzymanie reszki, czy to, że dziewczyna zgodzi się na twoją propozycję randki, do jednej strony monety, a drugą opcję do drugiej strony monety, prawdopodobieństwo rzutu monetą określi odpowiedź. Wszystko sprowadza się do tego, że masz w rękach monetę o odpowiedniej wadze. Matematycznie mówimy o dwumianowym rozkładzie prawdopodobieństwa.

Prześledźmy krok po kroku przykład, aby zobaczyć, jak obliczać prawdopodobieństwo zdarzenia za pomocą Omni kalkulatora prawdopodobieństwa rzutu monetą:

1. Określ swój eksperyment. Jakie są dwie możliwości, które mogą się wydarzyć? Przypisz orły do jednej z nich i reszki do drugiej.

2. Ile razy zamierzasz powtórzyć eksperyment? Wpisz tę liczbę jako liczbę rzutów w kalkulatorze.

3. Co chcesz osiągnąć? Dokładną liczbę udanych prób? Przynajmniej określoną liczbę udanych prób? A może nie więcej niż określoną liczbę udanych prób? Wybierz właściwą opcję z listy.

4. Ile udanych (dokładnych, równych co najmniej lub co najwyżej wybranej liczbie) prób chcesz mieć? Umieść tę liczbę przed opcją orły (ang. heads).

5. (Opcjonalnie) Jeśli orły i reszki nie mają takiego samego prawdopodobieństwa wystąpienia, przejdź do trybu zaawansowanego (Advanced mode) i ustaw odpowiednią liczbę w nowym polu. Pamiętaj, że w klasycznym rachunku prawdopodobieństwa jego wartość nie może być mniejsza niż 0 lub większa niż 1.

6. Kalkulator prawdopodobieństwa rzutu monetą automatycznie obliczy szansę wystąpienia twojego zdarzenia.

Jak to mówią, pieniądze szczęścia nie dają. Cóż, prawdą jest, że są chwile, kiedy rzut monetą nie wystarczy, jeśli chcesz policzyć prawdopodobieństwo, że coś się wydarzy. Jeśli twój problem nadal podlega klasycznemu prawdopodobieństwu — co oznacza, że możesz określić, ile istnieje pomyślnych wyników i ile jest ogólnie możliwości — wtedy wzór na prawdopodobieństwo rzutu monetą z pierwszej sekcji będzie działał dobrze.

Ale jeśli szukasz szans na wygraną na loterii lub przetrwanie na bezludnej wyspie, sprawy zaczynają się komplikować bardziej niż proste prawdopodobieństwo rzutu monetą. (To pierwsze zagadnienie jest zresztą omówione w Omni kalkulatorze loterii 🇺🇸.)

Jeśli rzucisz uczciwą monetą n razy, prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie k orłów wynosi P(X=k) = (n nad k)/2ⁿ, gdzie:

• (n nad k) = n! / (k! ⋅ (n-k)!),
• ! jest symbolem silni, czyli n! oznacza mnożenie 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... (n-1) ⋅ n.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo 8 orłów w 10 rzutach:

1. Przypomnij sobie wzór na prawdopodobieństwo dokładnie k orłów w n rzutach: P(X=k) = (n nad k)/2^^n^.
2. Zatem prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie 8 głów w 10 rzutach wynosi P(X=8) = (10 nad 8)/2¹⁰ = 45/1024 ~ 0,044.
3. Jeśli potrzebujesz prawdopodobieństwa co najmniej 8 orłów, znajdź P(X=8) + P(X=9) + P(X=10).
4. Mamy P(X=9) = 10/1024 ~ 0,0098 i P(X=10) = 1/1024 ~ 0,001.
5. Odpowiedź to 0,044 + 0,0098 + 0,001 ~ 0,0548.

Jeśli rzucisz monetą 3 razy, prawdopodobieństwo, że wypadną co najmniej 2 reszki wynosi 50%, podczas gdy prawdopodobieństwo, że wypadną dokładnie 2 reszki wynosi 37,5%. Oto przykładowe kombinacje 3 rzutów monetą: {OOO, ROO, ORO, OOR, ORR, ROR, RRO, RRR}. Istnieje 8 możliwych wyników. Trzy z nich zawierają dokładnie dwa orły, więc P(dokładnie dwa orły) = 3/8 = 37,5%. Jeden wynik zawiera trzy orły, więc P(co najmniej dwa orły) = (3+1)/8 = 50%.

Prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej 1 orła w 4 rzutach wynosi 93,75%. Aby to zobaczyć, zauważ, że mamy P(co najmniej 1 orzeł) = 1 - P(brak orła) = 1 - P(same reszki) i P(same reszki) = (1/2)⁴ = 0,0625. Dlatego P(co najmniej 1 orzeł) = 1 - 0,0625 = 0,9375 = 93,75%.