Omni Calculator logo

Kalkulator rozkładu dwumianowego

Created by Jakub Janus, PhD and Jasmine J Mah
Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater
Translated by Wojciech Sas, PhD and Joanna Śmietańska, PhD
Last updated: Jan 18, 2024


Omni kalkulator rozkładu dwumianowego jest tutaj, aby pomóc ci z zadaniami dotyczącymi prawdopodobieństwa przedstawionych w następującej formie: jakie jest prawdopodobieństwo określonej liczby sukcesów w sekwencji zdarzeń?

Czytaj dalej, aby dowiedzieć się, czym dokładnie jest dwumianowy rozkład prawdopodobieństwa, kiedy i jak go stosować oraz poznać wzór na prawdopodobieństwo dwumianowe. Dowiedz się, czym jest rozkład dwumianowy (Bernoulliego) i odkryj, w jaki sposób eksperymenty dwumianowe są wykorzystywane w różnych sytuacjach.

Co to jest prawdopodobieństwo dwumianowe?

Wyobraź sobie, że grasz w kości. Aby wygrać, dokładnie trzy z pięciu kości powinny pokazać wynik równy lub niższy niż 4. Pozostałe dwie kości muszą pokazać wyższą liczbę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygrasz?

Jest to przykładowe zadanie, które możesz rozwiązać za pomocą naszego kalkulatora prawdopodobieństwa dwumianowego. Znasz liczbę zdarzeń (jest ona równa całkowitej liczbie kości, czyli pięć); znasz liczbę potrzebnych sukcesów (dokładnie 3); możesz również obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia pojedynczego sukcesu (4 na 6, czyli 0,667). Są to wszystkie dane wymagane do znalezienia dwumianowego prawdopodobieństwa twojej wygranej w grze w kości.

Zauważ, że aby skutecznie korzystać z kalkulatora rozkładu dwumianowego, analizowane zdarzenia muszą być niezależne. Oznacza to, że wszystkie próby w twoim przykładzie powinny się wzajemnie wykluczać.

Sukces pierwszej próby nie wpływa na prawdopodobieństwo sukcesu lub prawdopodobieństwo porażki w kolejnych zdarzeniach i pozostają one dokładnie takie same. W przypadku gry w kości warunki te są spełnione: za każdym razem, gdy rzucasz kością, jest to niezależne zdarzenie.

Czasami chcesz poznać liczbę prób potrzebnych do osiągnięcia określonego wyniku. Na przykład możesz zastanawiać się, ile rzutów kością jest potrzebnych, zanim trzykrotnie wyrzucisz szóstkę. Na takie pytania można odpowiedzieć za pomocą powiązanego narzędzia statystycznego zwanego ujemnym rozkładem dwumianowym. Zapoznaj się z nim, korzystając z Omni kalkulatora ujemnego rozkładu dwumianowego 🇺🇸.

Możesz również sprawdzić nasz kalkulator przybliżenia rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 🇺🇸 i powiązany kalkulator poprawki ciągłości dla rozkładu dwumianowego 🇺🇸.

Wzór na prawdopodobieństwo dwumianowe

Aby znaleźć to prawdopodobieństwo, musisz użyć następującego równania:

P(X=k) = C(n,k) · pk · (1-p)n-k

gdzie:

  • n — całkowita liczba zdarzeń
  • k — liczba wymaganych sukcesów
  • p — prawdopodobieństwo jednego sukcesu
  • C(n,k) — liczba kombinacji (tzw. „n po k”)
  • P(X=k) — prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnej liczby sukcesów

Zauważ, że wynik jest prawdopodobieństwem dokładnej liczby sukcesów. Na przykład w naszej grze w kości potrzebowaliśmy dokładnie trzech sukcesów — nie mniej, nie więcej. Co by się stało, gdybyśmy zmienili zasady tak, aby potrzebować co najmniej trzech sukcesów? Cóż, należy wtedy obliczyć prawdopodobieństwo dokładnie trzech, dokładnie czterech i dokładnie pięciu sukcesów i zsumować wszystkie te wartości.

Jak korzystać z kalkulatora rozkładu dwumianowego: przykład

Rozwiążmy razem powyższe zadanie dotyczące gry w kości.

  1. Określ liczbę zdarzeń. n jest równe 5, ponieważ rzucamy pięcioma kostkami.

  2. Określ wymaganą liczbę sukcesów. k jest równe 3, ponieważ potrzebujemy dokładnie trzech sukcesów, aby wygrać grę.

  3. Prawdopodobieństwo wyrzucenia 1, 2, 3 lub 4 na sześciościennej kości wynosi 4 na 6, czyli 0,667. Dlatego p jest równe 0,667 lub 66,7%.

  4. Oblicz liczbę kombinacji (5 po 3). Możesz użyć kalkulatora kombinacji, aby to zrobić. Liczba ta, w naszym przypadku, jest równa 10.

  5. Podstaw wszystkie te wartości do powyższego wzoru na prawdopodobieństwo dwumianowe:

    P(X = 3) = 10 · 0,6673 · (1-0,667)(5-3)
    = 10 · 0,6673 · (1-0,667)(5-3)
    = 10 · 0,296 · 0,3332
    = 2,96 · 0,111 = 0,329

  6. Możesz też zaoszczędzić trochę czasu i zamiast tego użyć kalkulatora rozkładu dwumianowego 🙂.

Jak obliczyć skumulowane prawdopodobieństwo

Czasami, zamiast dokładnej liczby sukcesów, chcesz znać prawdopodobieństwo uzyskania k lub więcej sukcesów, albo k lub mniej sukcesów. Aby obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania dowolnego zakresu sukcesów:

  1. Użyj wzoru na prawdopodobieństwo dwumianowe, aby obliczyć prawdopodobieństwo sukcesu (P) dla wszystkich możliwych wartości k, które cię interesują.
  2. Zsumuj wartości P dla wszystkich k w interesującym cię zakresie.

Na przykład, prawdopodobieństwo uzyskania dwóch lub mniej sukcesów przy czterokrotnym rzucie monetą (p = 0,5 i n = 4) wynosiłoby:

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

P(X ≤ 2) = 37,5% + 25% + 6,25%

P(X ≤ 2) = 68,75%

Obliczenia te są łatwe dzięki opcjom dostępnym w Omni kalkulatorze rozkładu Bernoulliego. Możesz zmienić ustawienia, aby obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania:

  • dokładnie k sukcesów: P(X = k),
  • k lub więcej sukcesów: P(X ≥ k),
  • k lub mniej sukcesów: P(X ≤ k),
  • między k₀ a k₁ sukcesów P(k₀ ≤ X ≤ k₁).

Eksperymenty z dwumianowym rozkładem prawdopodobieństwa

Rozkład dwumianowy okazuje się bardzo praktyczny w ustawieniach eksperymentów. Jednak wynik takiego losowego eksperymentu musi być binarny: sukces lub porażka, obecność lub brak, zgodność lub odmowa. Niemożliwe jest użycie tego rozkładu, gdy istnieją trzy możliwe wyniki.

Oprócz rzucania kostką lub monetą można go zastosować w mniej oczywistych przypadkach. Oto kilka pytań, na które możesz odpowiedzieć za pomocą dwumianowego rozkładu prawdopodobieństwa:

  • Czy nowy lek zadziała na losowo wybranego pacjenta?
  • Czy żarówka, którą właśnie kupiono, będzie działać prawidłowo, czy będzie zepsuta?
  • Jaka jest szansa, że poprawnie odpowiesz na pytanie testowe, które właśnie wylosowano?
  • Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowy wyborca zagłosuje na kandydata w wyborach?
  • Jakie jest prawdopodobieństwo, że grupa studentów zostanie przyjęta na prestiżową uczelnię?

Eksperymenty z dokładnie dwoma możliwymi wynikami, takie jak te powyżej, są typowymi przykładami rozkładu dwumianowego, często nazywanymi próbami Bernoulliego.

W praktyce, przykłady rozkładu dwumianowego często można znaleźć w takich dziedzinach jak kontrola jakości, gdzie metoda ta jest wykorzystywana do testowania wydajności procesów produkcyjnych. Proces kontroli oparty na rozkładzie dwumianowym ma na celu przeprowadzenie wystarczającej liczby kontroli i zminimalizowanie szans na wyprodukowanie wadliwego produktu.

Jeśli nie znasz prawdopodobieństwa niezależnego zdarzenia w eksperymencie (p), zbierz dane z przeszłości w jednym z przykładów rozkładu dwumianowego i podziel liczbę sukcesów (y) przez ogólną liczbę zdarzeń p = y/n.

Po określeniu wskaźnika sukcesu (lub porażki) w pojedynczym zdarzeniu, musisz zdecydować, jaka jest akceptowalna liczba sukcesów (lub porażek) w dłuższej perspektywie. Na przykład, jeden wadliwy produkt w partii pięćdziesięciu nie jest tragedią, ale nie chcesz, aby co drugi produkt był wadliwy, prawda?

Próby Bernoulliego są również idealne do rozwiązywania problemów dotyczących złożonych procesów. Co ciekawe, można je wykorzystać do opracowania ścieżek między dwoma węzłami na diagramie. Tak jest w przypadku sieci mostka Wheatstone'a, reprezentacji obwodu zbudowanego do pomiaru rezystancji elektrycznej.

Podobnie jak tabela rozkładu dwumianowego, nasz kalkulator generuje wyniki, które pomogą ci ocenić szanse na osiągnięcie celu. Jeśli jednak chcesz, możesz spojrzeć na tabelę rozkładu dwumianowego. Dowiesz się z niej, jaka jest wartość rozkładu dwumianowego dla danego prawdopodobieństwa i liczby sukcesów.

Średnia i wariancja rozkładu dwumianowego

Jedną z najbardziej ekscytujących cech rozkładów dwumianowych jest to, że reprezentują one sumę n niezależnych zdarzeń. Każde z nich (Z) może przyjąć wartość 0 lub 1 w danym okresie.

Powiedzmy, że prawdopodobieństwo wystąpienia każdego Z wynosi p. Ponieważ zdarzenia nie są skorelowane, możemy użyć własności dodawania zmiennych losowych do obliczenia średniej (wartości oczekiwanej) rozkładu dwumianowego μ = n·p.

Wariancja rozkładu dwumianowego jest dana jako: σ² = n·p·(1-p). Im większa wariancja, tym większe wahania zmiennej losowej od jej średniej. Mała wariancja wskazuje, że otrzymane wyniki są rozłożone w węższym zakresie wartości.

Odchylenie standardowe rozkładu dwumianowego, inna miara rozproszenia rozkładu prawdopodobieństwa, jest po prostu pierwiastkiem kwadratowym z wariancji, σ. Pamiętaj, że odchylenie standardowe obliczone na podstawie próby (obserwacji, które faktycznie zebrano) może różnić się od odchylenia standardowego całej populacji. Jeśli uważasz, że to rozróżnienie jest mylące, tutaj znajdziesz świetne wyjaśnienie.

Te wzory są dosyć intuicyjne. Załóżmy, że tym razem rzucamy monetą 20 razy:

  • Nasze p jest wtedy równe 0,5 (o ile oczywiście moneta nie jest sfałszowana).
  • Każde Z ma równoważną szansę 0 lub 1.
  • Liczba prób, n, wynosi 20.

Ta sekwencja zdarzeń spełnia warunki rozkładu dwumianowego.

Średnia wartość tego prostego eksperymentu wynosi: n·p = 20 · 0,5 = 10. Możemy powiedzieć, że średnio, jeśli powtórzymy eksperyment wiele razy, powinniśmy oczekiwać, że reszki pojawią się dziesięć razy.

Wariancja tego rozkładu dwumianowego jest równa n·p·(1-p) = 20 · 0,5 · (1-0,5) = 5. Oblicz pierwiastek kwadratowy z wariancji, a otrzymasz odchylenie standardowe rozkładu dwumianowego, 2,24. W związku z tym typowe wyniki takiego eksperymentu będą odbiegać od wartości średniej o około 2. Dlatego w większości prób spodziewamy się uzyskać od 8 do 12 sukcesów.

Skorzystaj z naszego kalkulatora prawdopodobieństwa dwumianowego, aby uzyskać średnią, wariancję i odchylenie standardowe rozkładu dwumianowego na podstawie podanej liczby zdarzeń i prawdopodobieństwa jednego sukcesu.

Inne rozważania

Rozkład dwumianowy, opracowany przez szwajcarskiego matematyka Jakoba Bernoulliego, jest bardziej ogólnym sformułowaniem rozkładu Poissona. W tym drugim przypadku zakładamy po prostu, że liczba zdarzeń (prób) jest ogromna, ale prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu jest małe.

Rozkład dwumianowy jest ściśle związany z dwumianem Newtona (wzorem dwumianowym), który okazuje się przydatny do obliczania permutacji i kombinacji. Koniecznie sprawdź też nasz kalkulator permutacji 🇺🇸!

Pamiętaj, że wzór na rozkład dwumianowy opisuje rozkład dyskretny. Możliwe wyniki wszystkich prób muszą być różne i nie mogą się pokrywać. Co więcej, dwa wyniki zdarzenia muszą się uzupełniać: dla danego prawdopodobieństwa p, zawsze istnieje komplementarne zdarzenie, którego prawdopodobieństwo q = 1-p.

Jeśli istnieje szansa na uzyskanie wyniku pomiędzy tymi dwoma, na przykład 0,5, nie należy stosować formuły rozkładu dwumianowego. To samo dotyczy wyników, które nie są binarne, np. efekt w twoim eksperymencie może być sklasyfikowany jako niski, umiarkowany lub wysoki.

Jednak dla wystarczająco dużej liczby prób wzór rozkładu dwumianowego może być przybliżony przez specyfikację rozkładu Gaussa (normalnego), z daną średnią i wariancją. To pozwala nam wprowadzić tak zwaną poprawkę ciągłości i uwzględnić argumenty niecałkowite w funkcji prawdopodobieństwa.

Może nadal potrzebujesz trochę praktyki z przykładami dwumianowego rozkładu prawdopodobieństwa?

Spróbuj ponownie rozwiązać problem gry w kości, ale tym razem potrzebujesz co najmniej trzech sukcesów, aby wygrać. Albo, co powiesz na szanse uzyskania dokładnie czterech sukcesów?

FAQ

Czy rozkład dwumianowy jest dyskretny, czy ciągły?

Rozkład dwumianowy jest dyskretny — przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości.

Jak znaleźć średnią rozkładu dwumianowego?

Aby obliczyć średnią (wartość oczekiwaną) rozkładu dwumianowego B(n,p), musisz pomnożyć liczbę prób n przez prawdopodobieństwo sukcesu p, czyli: średnia = n · p.

Jak znaleźć odchylenie standardowe rozkładu dwumianowego?

Aby znaleźć odchylenie standardowe rozkładu dwumianowego B(n,p):

  1. Oblicz wariancję jako n · p · (1-p), gdzie n to liczba prób, a p to prawdopodobieństwo sukcesu.
  2. Weź pierwiastek kwadratowy z liczby otrzymanej w kroku 1.
  3. To wszystko! Gratulacje 🙂

Jakie jest prawdopodobieństwo 3 sukcesów w 5 próbach, jeśli prawdopodobieństwo sukcesu wynosi 0,5?

Aby znaleźć to prawdopodobieństwo:

  1. Przypomnij sobie wzór na rozkład dwumianowy P(X = k) = C(n,k) · pk · (1-p)n-k. Użyjemy go z następującymi danymi:

    • Liczba prób: n = 5;
    • Liczba sukcesów: k = 3;
    • Prawdopodobieństwo sukcesu: p = 0,5.
  2. Oblicz 5 po 3: C(5,3) = 10.

  3. Wstaw te wartości do wzoru:

    P(X = 3) = 10 · 0,5² · 0,5³ = 0,3125.

  4. Prawdopodobieństwo, którego szukasz, wynosi 31,25%.

Jakub Janus, PhD and Jasmine J Mah
If there are...
Number of events (n)
Probability of success per event (p)
%
What is the probability of getting...
exactly r successes
Number of successes (r)
Probability of r successes
%
Mean number of successes
Variance
Standard deviation
Check out 32 similar distributions and plots calculators 🔔
Benford's lawBeta distributionBox plot… 29 more
People also viewed…

Addiction

Addiction calculator tells you how much shorter your life would be if you were addicted to alcohol, cigarettes, cocaine, methamphetamine, methadone, or heroin.

Critical value

Kalkulator wartości krytycznej pomoże ci znaleźć jedno- i dwustronne wartości krytyczne dla najbardziej popularnych testów statystycznych.

Korean age

If you're wondering what would your age be from a Korean perspective, use this Korean age calculator to find out.

Margin of error

Calculate precise margins of error with our easy-to-use calculator. Get accurate results using the margin of error formula. Try it now!