Kalkulator prawdopodobieństwa rzutu kością

Kalkulator prawdopodobieństwa rzutu kością jest świetnym narzędziem, jeśli chcesz oszacować prawdopodobieństwo rzutu kośćmi w wielu wariantach. Uwzględniliśmy różne kości wielościenne, m.in. możesz sprawdzić prawdopodobieństwo rzutu kością 20-ścienną, a także zwykłą kością sześcienną.

Oceń swoje szanse i zagraj! W tekście znajdują się również krótkie opisy każdej z dostępnych opcji kalkulatora.

Każdy wie, czym jest zwykła 6-ścienna kostka, a najprawdopodobniej wielu z was rozegrało już tysiące gier, w których użyto jednej (lub więcej) kości. Natomiast czy wiedzieliście, że istnieją różne rodzaje kości? Spośród niezliczonych możliwości, najpopularniejsze kości są zawarte w zestawie kości Dungeons & Dragons, który zawiera siedem różnych kości wielościennych:

• Kości 4-ścienne, znane również jako czworościany — każda ściana jest trójkątem równobocznym.
• Kości 6-ścienne, klasyczne sześciany — każda ściana jest kwadratem.
• Kości 8-ścienne, znane również jako ośmiościan — każda ściana jest trójkątem równobocznym.
• Kości 10-ścienne, znane również jako pięciokątne trapezoedry — każda ściana ma kształt deltoidu (latawca).
• Kości 10-ścienne z wartościami od 00 do 90 i przyrostem co 10 — używane do rzutów procentowych w połączeniu z innymi kości 10-ściennymi.
• Kości 12-ścienne, znane również jako dwunastościany — każda ściana jest pięciokątem foremnym.
• Kości 20-ścienne, znane również jako dwudziestościany — każda ściana jest trójkątem równobocznym.

Bez obaw, w naszym kalkulatorze prawdopodobieństwa uwzględniamy każdą z powyższych kości. Możesz wybrać dowolną z nich i np. udawać, że rzucasz pięcioma 20-kątnymi kostkami naraz!

Cóż, jest to bardziej złożone pytanie, niż może się wydawać na pierwszy rzut oka, ale wkrótce przekonasz się, że odpowiedź wcale nie jest taka straszna! Wszystko sprowadza się do matematyki i statystyki.

Przede wszystkim musimy określić jaki rodzaj prawdopodobieństwa rzutu kostką chcemy obliczyć. Możemy wyróżnić kilka, które możesz odnaleźć w naszym kalkulatorze prawdopodobieństwa rzutu kością.

Zanim wykonamy jakiekolwiek obliczenia, zdefiniujmy kilka zmiennych, których będziemy używać we wzorach: n — liczba kości, s — liczba poszczególnych ścian kości, p — prawdopodobieństwo wyrzucenia dowolnej wartości z kości oraz P — całkowite prawdopodobieństwo dla danego problemu. Istnieje prosta zależność — p = 1/s, przez co prawdopodobieństwo wyrzucenia 7 na kostce 10-kątnej jest dwa razy większe niż na kostce 20-kątnej.

1. Prawdopodobieństwo wyrzucenia tej samej wartości na każdej kości — podczas gdy szansa na uzyskanie określonej wartości na jednej kości wynosi p, musimy pomnożyć to prawdopodobieństwo przez siebie tylko tyle razy, ile wynosi liczba kości. Innymi słowy, prawdopodobieństwo P jest równe p do potęgi n, lub P = pⁿ = (1/s)ⁿ. Jeśli weźmiemy pod uwagę trzy 20-ścienne kostki do gry, prawdopodobieństwo wyrzucenia 15 na każdej z nich wynosi: P = (1/20)³ = 0,000125 (lub P = 1,25·10^-4 w notacji naukowej). Natomiast jeśli interesuje cię wyrzucenie dowolnych (niekoniecznie samych piętnastek), ale identycznych wartości, po prostu pomnóż wynik przez całkowitą liczbę kości: P = 0,000125 · 20 = 0,0025.

2. Prawdopodobieństwo wyrzucenia wszystkich wartości równych lub wyższych niż y - problem jest podobny do poprzedniego, ale tym razem p jest równe 1/s pomnożone przez wszystkie możliwości, które spełniają warunek początkowy. Na przykład, powiedzmy, że mamy sześcienną kość oraz ustalone y = 3. Chcemy, aby wyrzucona liczba oczek wynosiła 6, 5, 4 lub 3. Zmienna p wynosi wtedy 4 · 1/6 = 2/3, a końcowe prawdopodobieństwo: P = (2/3)ⁿ.

3. Prawdopodobieństwo wyrzucenia wszystkich wartości równych lub niższych od y - ta opcja jest prawie taka sama jak poprzednia, ale tym razem interesują nas tylko liczby równe lub niższe od naszego celu. Jeśli przyjmiemy identyczne warunki (s = 6, y = 3) i zastosujemy je w tym przykładzie, zobaczymy, że wartości 1, 2 i 3 spełniają reguły, a prawdopodobieństwo wynosi: P = (3 - 1/6)ⁿ = (1/2)ⁿ.

4. Prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie X takich samych wartości (równych y) — wyobraź sobie, że masz zbiór siedmiu 12-stronnych kości i chcesz poznać szansę na uzyskanie dokładnie dwóch liczb 9. Jest to w pewnym sensie inne podejście, ponieważ tylko część całego zbioru musi spełniać warunki. Tutaj przydaje się rozkład dwumianowy lub inaczej rozkład Bernoulliego. Wzór na jego prawdopodobieństwo to:

   P(X=k) = nCk · p^k · (1-p)^n-k,

   gdzie k to liczba sukcesów, a nCk to liczba kombinacji (znana również jako "n po k").

   W naszym przykładzie mamy n = 7, p = 1/12, k = 2, nCk = 21, więc ostateczny wynik to: P(X=2) = 21 · (1/12)² · (11/12)⁵ = 0,09439, lub P(X=2) = 9,439% w postaci procentowej.

5. Prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej X takich samych wartości (równych y) — problem jest bardzo podobny do poprzedniego, ale tym razem prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej dwóch dziewiątek jest sumą prawdopodobieństw dla X = 2, 3, 4, 5, 6, 7. Uwzględniając konkretne wartości, otrzymujemy: P = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) = 0,11006 = 11,006%. Jak można się spodziewać, wynik jest nieco wyższy. Czasami precyzyjne sformułowanie problemu zwiększa szanse na sukces!

6. Prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnej sumy r ze zbioru n s-ściennych kostek - w ogólności wzór jest dość skomplikowany:

Możemy spróbować rozwiązać ten problem bez pomocy kalkulatora. Jednym z podejść jest znalezienie całkowitej liczby możliwych sum. Z jedną parą standardowych sześciennych kości możemy otrzymać sumę 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ale wyniki te nie są równoważne!

Spójrzmy; jest tylko jeden sposób na uzyskanie 2: 1+1, ale dla 4 istnieją trzy różne możliwości: 1+3, 2+2, 3+1, a dla 12 ponownie jest tylko jeden wariant: 6+6. Okazuje się, że 7 jest najbardziej prawdopodobnym wynikiem z sześcioma możliwościami: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 oraz 6+1. Liczba permutacji z powtórzeniami w tym zbiorze wynosi 36. Nasz kalkulator permutacji 🇺🇸 może być przydatny do znajdowania permutacji dla innych typów kości. Możemy oszacować prawdopodobieństwo jako stosunek poprawnych wyników do wszystkich możliwych wyników: P(2) = 1/36, P(4) = 3/36 = 1/12, P(12) = 1/36, P(7) = 6/36 = 1/6.

Im większa liczba kości, tym bardziej funkcja rozkładu sumy oczek wszystkich kości zbliża się do rozkładu normalnego. Jak można się spodziewać, wraz ze wzrostem liczby kości i ścian, ocena wyniku na kartce papieru zajmuje więcej czasu. Na szczęście nie dotyczy to naszego kalkulatora prawdopodobieństwa rzutu kością!

7. Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy nie mniejszej niż X - podobnie jak w poprzednim problemie, musimy znaleźć wszystkie wyniki pasujące do warunku początkowego i podzielić je przez liczbę wszystkich możliwości. Przykładowo weźmy zestaw trzech 10-ściennych kości, z którymi chcemy uzyskać sumę co najmniej równą 27. Jak widzimy, musimy dodać wszystkie permutacje dla 27, 28, 29 i 30, które wynoszą odpowiednio 10, 6, 3 i 1. W sumie istnieje 20 poprawnych wyników na 1000 możliwości, więc ostateczne prawdopodobieństwo wynosi: P(X ≥ 27) = 20 / 1,000 = 0,02 = 2%.

8. Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy nie większej niż X - procedura jest dokładnie taka sama jak w poprzednim zadaniu, ale musimy wybrać tylko sumy mniejsze lub równe określonej liczbie. Mając ten sam zestaw kości co powyżej, jaka jest szansa na wyrzucenie co najwyżej 26? Jeśli miałbyś to zrobić krok po kroku, uzyskanie wyniku (określenie wszystkich 26 sum) zajęłoby wieki. Ale jeśli się nad tym zastanowić, to właśnie opracowaliśmy zdarzenie komplementarne do poprzedniego problemu. Całkowite prawdopodobieństwo zdarzeń komplementarnych wynosi dokładnie 1, więc rozpatrywane prawdopodobieństwo wynosi: P(X ≤ 26) = 1 - 0,02 = 0,98 = 98%.

Istnieje wiele gier planszowych, w których na zmianę rzuca się kością (lub kośćmi), a wyniki mogą być wykorzystywane w wielu kontekstach. Powiedzmy, że grasz w Dungeons & Dragons i atakujesz. Klasa pancerza przeciwnika wynosi 17. Rzucasz 20-stronną kostką, mając nadzieję na wynik co najmniej 15 — z twoim modyfikatorem +2. To powinno wystarczyć. Przy tych warunkach prawdopodobieństwo udanego ataku wynosi 0,30 lub 30%. Jeśli znasz szanse na udany atak, możesz zdecydować, czy chcesz zaatakować ten cel, czy wybrać inny z lepszymi szansami.

A może grasz w Osadników z Catanu i masz nadzieję, że wyrzucisz dokładnie 8 z dwóch 6-ściennych kości, ponieważ taki wynik przyniesie ci cenne zasoby. Skorzystaj z naszego kalkulatora prawdopodobieństwa rzutu kośćmi, a zobaczysz, że szansa wynosi około 0,14 lub 14% — lepiej, żeby dopisało ci w tej turze szczęście!

Istnieją różne rodzaje gier, takie jak loterie, w których zadaniem gracza jest obstawianie zakładów w zależności od kursów. Rzucanie kośćmi jest jedną z nich. Chociaż podjęcie pewnego ryzyka jest nieuniknione, możesz wybrać najkorzystniejszą opcję i zmaksymalizować swoje szanse na wygraną. Spójrzmy na ten przykład.

Wyobraź sobie, że grasz w grę, w której masz jedną z trzech opcji do wyboru, którymi są:

• Suma pięciu 10-ściennych kości wynosi co najmniej 30.
• Suma pięciu 12-ściennych kości wynosi co najwyżej 28.
• Suma pięciu 20-ściennych kości wynosi co najmniej 59.

Wygrywasz tylko wtedy, gdy pojawi się wybrana przez ciebie opcja. Możesz również spasować, jeśli uważasz, że żadna z nich się nie wydarzy. Intuicyjnie trudno jest określić najbardziej prawdopodobną opcję, ale dzięki naszemu kalkulatorowi prawdopodobieństwa rzutu kostki, oszacowanie wszystkich prawdopodobieństw przebiega w mgnieniu oka.

Wyniki to:

• P₁ = 0,38125 dla kości 10-ściennych;
• P₂ = 0,3072 dla kości 12-ściennych;
• P₃ = 0,3256 dla kości 20-ściennych.

Prawdopodobieństwo wygrania przy spasowaniu jest iloczynem komplementarnych zdarzeń wszystkich opcji:

• P₄ = (1-P₁) - (1-P₂) - (1-P₃) = 0,61875 - 0,6928 - 0,6744 = 0,2891.

Widzimy, że najkorzystniejszą opcją jest pierwsza z nich, podczas gdy przegrana jest najmniej prawdopodobnym zdarzeniem. Nie możemy zapewnić, że zawsze będziesz wygrywać, ale zdecydowanie zalecamy korzystanie z naszego kalkulatora prawdopodobieństwa rzutu kośćmi!