Kalkulator standaryzacji

Wartość standaryzowana, zwana też wartością Z (ang. Z-score), pozwala określić, o ile wartości odchylenia standardowego dana obserwacja odbiega od średniej. Nasz kalkulator standaryzacji wykona dla ciebie tę transformację. Poniżej możesz dowiedzieć się więcej o tym, jak wykonuje się standaryzację oraz do czego służą tablice wartości standaryzowanych.

Wartość standaryzowana jest zdefiniowana jako różnica między wartością obserwacji a średnim wynikiem w próbie, podzielona przez odchylenie standardowe. Mierzy ona odległość obserwacji od średniej w języku ilości odchyleń standardowych.

• Wartość Z = -1 oznacza, że nasza obserwacja jest mniejsza od średniej o jedno odchylenie standardowe.

• Wartość Z = 0,5 oznacza, że nasza obserwacja jest większa od średniej o pół odchylenia standardowego.

W analizie danych statystycznych używamy również określenia wynik znormalizowany, ponieważ przeprowadzenie standaryzacji sprawia, że rozkład próbki zbliża się do standardowego rozkładu normalnego.

Aby znaleźć wartość standaryzowaną, należy najpierw obliczyć średnią i odchylenie standardowe zestawu danych. Średnia, oznaczana symbolem μ, jest sumą wszystkich wartości w zbiorze danych podzieloną przez liczbę punktów danych. Można ją zapisać jako μ = ∑x / n. Odchylenie standardowe obliczamy według wzoru:

σ = √[∑(x - μ)² / n]

gdzie x oznacza wartość obserwacji, a n liczbę obserwacji. Aby poznać więcej szczegółów, warto odwiedzić Omni kalkulator odchylenia standardowego 🇺🇸.

Aby znaleźć wartość Z, wystarczy teraz zastosować następujący wzór:

Z = (x - μ) / σ

Rozważmy następujący problem: czworo uczniów zdawało egzamin i osiągnęli następujące wyniki: 50, 53, 62 i 70 punktów. Jaka jest wartość Z wyniku 62?

1. Znajdujemy średnią wyników:
   μ = (50 + 53 + 62 + 70) / 4 = 58,75
   Możesz sprawdzić ten wynik w naszym kalkulatorze średniej.

2. Obliczamy dla każdego wyniku x wartość (x - μ)²:

• (50 - 58,75)² = 76,5625;
• (53 - 58,75)² = 33,0625;
• (62 - 58,75)² = 10,5625; oraz
• (70 - 58,75)² = 126,5625.

3. Obliczamy odchylenie standardowe:
   √[(76,5625 + 33,0625 + 10,5625 + 126,5625) / 4] =√(246,75 / 4) = 7,854

4. Wprowadzamy te dane do wzoru na wartość Z dla wyniku x = 62:
   Z = (62 - 58,75) / 7,854 = 0,41

5. Właśnie znaleźliśmy wartość Z dla wyniku 62!

Możesz też użyć Omni kalkulatora standaryzacji, by znaleźć średnią lub odchylenie standardowe gdy znasz wartość Z. Sprawdź!

W tabeli wartości Z można znaleźć prawdopodobieństwo tego, że obserwacje pochodzące z badanej populacji będą miały wartość co najwyżej taką, jak obserwacja, której wartość Z badamy.
Technicznie, jest to pole pod wykresem gęstości standardowego rozkładu normalnego na lewo od badanej wartości Z. Pamiętajmy, że całkowite pole pod tym wykresem jest równe 1.

Bazując na naszym przykładzie z poprzedniego rozdziału znaleźliśmy z-score dla wartości 62, który jest równy 0,41. Aby znaleźć prawdopodobieństwo w tabeli, musimy wiedzieć, że pierwsza kolumna to lista wartości Z (z dokładnością do jednego miejsca po przecinku), a w pierwszym wierszu można znaleźć cyfrę, która znajduje się na drugim miejscu po przecinku danego z-score. Zatem najpierw znajdujemy z = 0,4 w pierwszej kolumnie; ta wartość wyznacza właściwy wiersz. Aby wiedzieć, która kolumna jest tą właściwą, znajdujemy 0,01 w pierwszym wierszu. Na przecięciu właściwego wiersza i kolumny znajdujemy wartość 0,6591. Możemy stwierdzić, że prawdopodobieństwo uzyskania przez ucznia wyniku 62 lub niższego na egzaminie jest równe 0,6591, czyli 65,91%.

Znając to prawdopodobieństwo, możemy również znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wynik będzie wyższy niż 62. Jest to po prostu 1 - 0,6591 = 0,3409 lub 34,09%. Wyznaczyliśmy tym samym tak zwaną wartość p (ang. p-value). Aby dowiedzieć się więcej, udaj się do Omni kalkulatora wartości p.

99,7% obserwacji procesu o rozkładzie normalnym znajduje się w odległości co najwyżej trzech odchyleń standardowych (na prawo albo na lewo) od średniej rozkładu. Zatem tylko 0,3% możliwych realizacji tego procesu będzie leżało poza tym przedziałem trzech sigm!

Jeśli rozszerzymy ten przedział aż do sześciu sigm w lewo i w prawo, to zmieści się w nim aż 99,9999998027% obserwacji. Zastosowanie tej zasady w praktyce oznacza, że np. fabryka może spodziewać się 3,4 defektu na każdy milion gotowych produktów.

Takie zdarzenia można uznać za bardzo mało prawdopodobne: są to wyjątkowo pechowe wypadki z jednej strony i nadzwyczaj szczęśliwe zbiegi okoliczności z drugiej. Załóżmy, że w długim okresie czasu wykonujemy powtarzalne zadanie, które można opisać rozkładem normalnym (np. produkcja standaryzowanego przedmiotu). W takim przypadku chcielibyśmy, aby poważne błędy miały bardzo małą szansę zaistnienia i zdarzały się bardzo rzadko.

Z tego powodu powstał system kontroli jakości oparty na standardowym rozkładzie normalnym, zwany six sigma (czyli sześć sigm). System ten, opracowany w latach 80. przez firmę Motorola, wykorzystuje analizę statystyczną do wykrywania i eliminowania błędów.

Istnieje pięć głównych elementów tego procesu:

1. definicja;
2. pomiar;
3. analiza;
4. poprawa; oraz
5. kontrola.

Podstawowym założeniem jest to, że proces wymaga poważnej korekty, gdy odbiega od swojej średniej o więcej niż trzy sigma. Innymi słowy, głównym celem zarządzania jakością i kontroli powinno być uzyskanie wyniku procesu produkcyjnego jak najbardziej zbliżonego do rozkładu normalnego.

Metoda six sigma w ciągu ostatnich trzech dekad została wykorzystana do poprawy funkcjonowania wielu przedsiębiorstw, fabryk i biur.