Omni calculator
Last updated:

Kalkulator standaryzacji

Spis treści

Jak przeprowadzić standaryzację?Obliczanie wartości Z: przykładCo to jest tabela wartości Z?Kalkulator wartości Z i metoda „six sigma”FAQs

Wartość standaryzowana, zwana też wartością Z (ang. Z-score), pozwala określić, o ile wartości odchylenia standardowego dana obserwacja odbiega od średniej. Nasz kalkulator standaryzacji wykona dla ciebie tę transformację. Poniżej możesz dowiedzieć się więcej o tym, jak wykonuje się standaryzację oraz do czego służą tablice wartości standaryzowanych.

🙋 Jeśli chcesz zgłębić pokrewny temat, sprawdź nasz kalkulator testu Z i zostań ekspertem w dziedzinie statystyki!

Jak przeprowadzić standaryzację?

Wartość standaryzowana jest zdefiniowana jako różnica między wartością obserwacji a średnim wynikiem w próbie, podzielona przez odchylenie standardowe. Mierzy ona odległość obserwacji od średniej w języku ilości odchyleń standardowych.

  • Wartość Z = -1 oznacza, że nasza obserwacja jest mniejsza od średniej o jedno odchylenie standardowe.

  • Wartość Z = 0,5 oznacza, że nasza obserwacja jest większa od średniej o pół odchylenia standardowego.

W analizie danych statystycznych używamy również określenia wynik znormalizowany, ponieważ przeprowadzenie standaryzacji sprawia, że rozkład próbki zbliża się do standardowego rozkładu normalnego.

Aby znaleźć wartość standaryzowaną, należy najpierw obliczyć średnią i odchylenie standardowe zestawu danych. Średnia, oznaczana symbolem μ, jest sumą wszystkich wartości w zbiorze danych podzieloną przez liczbę punktów danych. Można ją zapisać jako μ = ∑x / n. Odchylenie standardowe obliczamy według wzoru:

σ = √[∑(x - μ)² / n]

gdzie x oznacza wartość obserwacji, a n liczbę obserwacji. Aby poznać więcej szczegółów, warto odwiedzić Omni kalkulator odchylenia standardowego 🇺🇸.

Aby znaleźć wartość Z, wystarczy teraz zastosować następujący wzór:

Z = (x - μ) / σ

Obliczanie wartości Z: przykład

Rozważmy następujący problem: czworo uczniów zdawało egzamin i osiągnęli następujące wyniki: 50, 53, 62 i 70 punktów. Jaka jest wartość Z wyniku 62?

  1. Znajdujemy średnią wyników:
    μ = (50 + 53 + 62 + 70) / 4 = 58,75
    Możesz sprawdzić ten wynik w naszym kalkulatorze średniej.

  2. Obliczamy dla każdego wyniku x wartość (x - μ)²:

  • (50 - 58,75)² = 76,5625;
  • (53 - 58,75)² = 33,0625;
  • (62 - 58,75)² = 10,5625; oraz
  • (70 - 58,75)² = 126,5625.
  1. Obliczamy odchylenie standardowe:
    √[(76,5625 + 33,0625 + 10,5625 + 126,5625) / 4] =√(246,75 / 4) = 7,854

  2. Wprowadzamy te dane do wzoru na wartość Z dla wyniku x = 62:
    Z = (62 - 58,75) / 7,854 = 0,41

  3. Właśnie znaleźliśmy wartość Z dla wyniku 62!

Możesz też użyć Omni kalkulatora standaryzacji, by znaleźć średnią lub odchylenie standardowe gdy znasz wartość Z. Sprawdź!

Co to jest tabela wartości Z?

W tabeli wartości Z można znaleźć prawdopodobieństwo tego, że obserwacje pochodzące z badanej populacji będą miały wartość co najwyżej taką, jak obserwacja, której wartość Z badamy.
Technicznie, jest to pole pod wykresem gęstości standardowego rozkładu normalnego na lewo od badanej wartości Z. Pamiętajmy, że całkowite pole pod tym wykresem jest równe 1.

Bazując na naszym przykładzie z poprzedniego rozdziału znaleźliśmy z-score dla wartości 62, który jest równy 0,41. Aby znaleźć prawdopodobieństwo w tabeli, musimy wiedzieć, że pierwsza kolumna to lista wartości Z (z dokładnością do jednego miejsca po przecinku), a w pierwszym wierszu można znaleźć cyfrę, która znajduje się na drugim miejscu po przecinku danego z-score. Zatem najpierw znajdujemy z = 0,4 w pierwszej kolumnie; ta wartość wyznacza właściwy wiersz. Aby wiedzieć, która kolumna jest tą właściwą, znajdujemy 0,01 w pierwszym wierszu. Na przecięciu właściwego wiersza i kolumny znajdujemy wartość 0,6591. Możemy stwierdzić, że prawdopodobieństwo uzyskania przez ucznia wyniku 62 lub niższego na egzaminie jest równe 0,6591, czyli 65,91%.

Znając to prawdopodobieństwo, możemy również znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wynik będzie wyższy niż 62. Jest to po prostu 1 - 0,6591 = 0,3409 lub 34,09%. Wyznaczyliśmy tym samym tak zwaną wartość p (ang. p-value). Aby dowiedzieć się więcej, udaj się do Omni kalkulatora wartości p.

Kalkulator wartości Z i metoda „six sigma”

99,7% obserwacji procesu o rozkładzie normalnym znajduje się w odległości co najwyżej trzech odchyleń standardowych (na prawo albo na lewo) od średniej rozkładu. Zatem tylko 0,3% możliwych realizacji tego procesu będzie leżało poza tym przedziałem trzech sigm!

Jeśli rozszerzymy ten przedział aż do sześciu sigm w lewo i w prawo, to zmieści się w nim aż 99,9999998027% obserwacji. Zastosowanie tej zasady w praktyce oznacza, że np. fabryka może spodziewać się 3,4 defektu na każdy milion gotowych produktów.

Takie zdarzenia można uznać za bardzo mało prawdopodobne: są to wyjątkowo pechowe wypadki z jednej strony i nadzwyczaj szczęśliwe zbiegi okoliczności z drugiej. Załóżmy, że w długim okresie czasu wykonujemy powtarzalne zadanie, które można opisać rozkładem normalnym (np. produkcja standaryzowanego przedmiotu). W takim przypadku chcielibyśmy, aby poważne błędy miały bardzo małą szansę zaistnienia i zdarzały się bardzo rzadko.

Z tego powodu powstał system kontroli jakości oparty na standardowym rozkładzie normalnym, zwany six sigma (czyli sześć sigm). System ten, opracowany w latach 80. przez firmę Motorola, wykorzystuje analizę statystyczną do wykrywania i eliminowania błędów.

Istnieje pięć głównych elementów tego procesu:

  1. definicja;
  2. pomiar;
  3. analiza;
  4. poprawa; oraz
  5. kontrola.

Podstawowym założeniem jest to, że proces wymaga poważnej korekty, gdy odbiega od swojej średniej o więcej niż trzy sigma. Innymi słowy, głównym celem zarządzania jakością i kontroli powinno być uzyskanie wyniku procesu produkcyjnego jak najbardziej zbliżonego do rozkładu normalnego.

Metoda six sigma w ciągu ostatnich trzech dekad została wykorzystana do poprawy funkcjonowania wielu przedsiębiorstw, fabryk i biur.

FAQs

Jak interpretować wartość standaryzowaną?

Wartość standaryzowana mówi nam, o ile odchyleń standardowych obserwacja odbiega od średniej. Dodatnia wartość Z oznacza, że obserwacja jest większa niż średnia, a ujemna, że jest mniejsza niż średnia. Na przykład, wartość Z równa 1 oznacza, że obserwacja jest o jedno odchylenie standardowe powyżej średniej.

Jak znaleźć wartość Z na kalkulatorze?

Aby znaleźć wartość Z na zwykłym kalkulatorze, wykonaj następujące kroki:

  1. Oblicz średnią jako (∑x) / n.
  2. Oblicz odchylenie standardowe, korzystając z łatwego do użycia wzoru (∑(x²) - (∑x)²/n) / n. Jeśli estymujesz odchylenie z próbki, zmień mianownik na n - 1.
  3. Oblicz wartość Z ze wzoru Z = (x - średnia) / odchylenie.

Czy wartość Z może być ujemna?

Tak, ujemna wartość Z wskazuje, że badana obserwacja jest mniejsza od średniej.

Jak czytać tabelę wartości standaryzowanych?

Tabela wartości Z pomoże ci przeliczyć wartość Z twojej obserwacji na jej wartość p (lub percentyl). Musisz wykonać następujące kroki:

  1. Określ, czy twoja wartość Z jest ujemna czy dodatnia.
  2. Jeżeli wartość Z jest ujemna (tj. punkt danych jest mniejszy niż średnia), użyjemy ujemnej tabeli wartości Z. Jeśli jest dodatnia (tj. punkt danych jest większy od średniej), użyjemy dodatniej tabeli wartości Z.
  3. W kolumnie po lewej stronie znajdujemy wartość, która najlepiej pasuje do naszej wartości Z pod względem pierwszej pozycji po przecinku, czyli liczby części dziesiętnych. Np. dla wartości Z równej 2,15, wybieramy 2,1.
  4. W górnym wierszu szukamy wartości, która pasuje do drugiej pozycji po przecinku, czyli liczby części setnych. Np. dla wartości Z 2,15 wybieramy 0,05.
  5. Znajdujemy wartość w miejscu przecięcia wyznaczonego wyżej wiersza i kolumny. Dla wartości Z równej 2,15, tabela podaje wartość 0,98422. Jest to wartość p odpowiadająca badanej obserwacji.
  6. Aby znaleźć odpowiadający percentyl, mnożymy wartość p przez 100%. Wartość Z równa 2,15 znajduje się w 98 percentylu.

Jaka jest wartość Z dla 90 percentyla?

90 percentylowi odpowiada wartość Z równa 1,645.

Jak znaleźć wartość Z znając średnią i odchylenie standardowe?

Jeśli znasz średnią i odchylenie standardowe, możesz wyznaczyć wartość Z ze wzoru Z = (x - μ) / σ gdzie x jest twoim punktem danych, μ jest średnią, a σ jest odchyleniem standardowym.

Jak znaleźć wartość p na podstawie wartości Z?

Najprostszym sposobem na znalezienie wartości p dla zadanej wartości Z jest użycie pakietu statystycznego lub tabeli wartości Z. Trudno jest to obliczenie wykonać ręcznie, bo wymaga ono wyznaczeniu pola pod krzywą dzwonową (gęstością rozkładu normalnego).

Check out 26 similar inference, regression, and statistical tests calculators 📉
Absolute uncertaintyAB testCoefficient of determination...23 more