Calculadora de los ángulos y lados de un triángulo rectángulo

Encontrar el lado o ángulo que falta no puede ser más fácil que con nuestra magnífica aplicación: la calculadora de lados y ángulos de triángulos rectángulos. Elige dos valores dados, introdúcelos en la calculadora, ¡y esta determinará las incógnitas restantes en un abrir y cerrar de ojos! Si te preguntas cómo hallar el lado que falta de un triángulo rectángulo, sigue leyendo y encontrarás las fórmulas que hay detrás de nuestra calculadora.

Hay unos cuantos métodos para obtener la longitud de los lados de un triángulo rectángulo. Dependiendo de lo que se dé, puedes utilizar distintas relaciones o leyes para hallar el lado que falta:

1. Dados dos lados

Si conoces otros dos lados del triángulo rectángulo, es la opción más fácil; basta con aplicar el teorema de Pitágoras:

a² + b² = c²

• Si el cateto a es el lado que falta, transforma la ecuación a la forma en la que a está en un lado y saca la raíz cuadrada:

  a = √(c² - b²)

• Si el cateto b es desconocido, entonces:

  b = √(c² - a²)

• Si falta hipotenusa c, la fórmula es:

  c = √(a² + b²)

2. Dado un ángulo y la hipotenusa

Aplica la ley de los senos o la trigonometría para hallar las longitudes de los lados del triángulo rectángulo:

• a = c × sen(α) o a = c × cos(β)

• b = c × sen(β) o b = c × cos(α)

3. Dado un ángulo y un cateto

Halla el cateto que falta utilizando funciones trigonométricas:

• a = b × tan(α)

• b = a × tan(β)

4. Dada el área y un cateto

Como sabemos de la fórmula del área de un triángulo básico, podemos calcular el área multiplicando la altura y la base del triángulo y dividiendo el resultado por dos. Un triángulo rectángulo es un caso especial de triángulo escaleno, en el que un cateto es la altura cuando el segundo cateto es la base, por lo que la ecuación se simplifica a:

área = a × b / 2

Por ejemplo, si solo conocemos el área del triángulo rectángulo y la longitud del cateto a, podemos deducir la ecuación de los demás lados:

• b = 2 × área / a
• c = √(a² + (2 × área / a)²)

Si conoces un ángulo aparte del ángulo recto, el cálculo del tercero es pan comido:

Dado β: α = 90 - β

Dado α: β = 90 - α

Sin embargo, si solo se dan dos lados de un triángulo, encontrar los ángulos de un triángulo rectángulo requiere aplicar algunas funciones trigonométricas básicas:

para α:

• sen(α) = a/c por lo que α = arcsen(a/c) (seno inverso);
• cos(α) = b/c por lo que α = arccos(b/c) (coseno inverso);
• tan(α) = a/b, por lo que α = arctan(a/b) (tangente inversa);
• cot(α) = b/a por lo que α = arccot(b/a) (cotangente inversa);

y para β:

• sen(β) = b/c por lo que β = arcsen(b/c) (seno inverso);
• cos(β) = a/c por lo que β = arccos(a/c) (coseno inverso);
• tan(β) = b/a por lo que β = arctan(b/a) (tangente inversa);
• cot(β) = a/b por lo que β = arccot(a/b) (cotangente inversa).

Para resolver un triángulo con un lado, también necesitas uno de los ángulos no rectos. Si no, es imposible:

1. Si tienes la hipotenusa, multiplícala por sen(θ) para obtener la longitud del lado opuesto al ángulo.

2. Alternativamente, multiplica la hipotenusa por cos(θ) para obtener el lado adyacente al ángulo.

3. Si tienes el lado que es adyacente al ángulo y que no es la hipotenusa, divídelo por cos(θ) para obtener la longitud de la hipotenusa.

4. Alternativamente, multiplica esta longitud por tan(θ) para obtener la longitud del lado opuesto al ángulo.

5. Si tienes un ángulo y el lado opuesto a él, puedes dividir la longitud de ese lado por sen(θ) para obtener la hipotenusa.

6. Alternativamente, divide la longitud por tan(θ) para obtener la longitud del lado adyacente al ángulo.

Veamos cómo hallar los lados de un triángulo rectángulo con esta herramienta:

1. Supongamos que, dada el área y un lado, queremos hallar el lado que falta. Selecciona la opción adecuada de la lista desplegable de la calculadora. Es la tercera.

2. Escribe los valores dados. Por ejemplo, el área de un triángulo rectángulo es igual a 28 cm² y b = 9 cm.

3. ¡Nuestra calculadora de lados y ángulos de triángulos rectángulos muestra los lados y ángulos que faltan! Ahora sabemos que

   • a = 6.222 cm
   • c = 10.941 cm
   • α = 34.66°
   • β = 55.34°

Ahora vamos a comprobar cómo funciona la búsqueda de los ángulos de un triángulo rectángulo:

1. Vuelve a cargar la calculadora. Elige la opción que necesites. Supongamos que tenemos dos lados y queremos hallar todos los ángulos. La opción a elegir es la que está predeterminada.

2. Introduce las longitudes de los lados. Nuestro triángulo rectángulo tiene una hipotenusa igual a 13 cm. y un cateto a = 5 cm.

3. Aparecerán los lados y ángulos que faltan. En nuestro ejemplo, b = 12 cm, α = 22.62° y β = 67.38°.

Si un triángulo rectángulo es isósceles (es decir, sus dos lados diferentes a la hipotenusa tienen la misma longitud), tendrá un eje de simetría. En caso contrario, el triángulo no tendrá ningún eje de simetría.

No, un triángulo rectángulo no puede tener los 3 lados iguales, ya que los tres ángulos tampoco pueden ser iguales. Uno tiene que ser de 90° por definición. Sin embargo, los dos lados que no son la hipotenusa pueden tener igual longitud, lo que significaría también que los otros dos ángulos son iguales a 45°.

No, todos los triángulos rectángulos no son semejantes, aunque algunos pueden serlo. Son semejantes si todos sus ángulos tienen la misma medida, o si la razón de dos de sus lados es la misma.