Calculadora de una raíz

Bienvenido a la calculadora de una raíz, donde repasaremos juntos la teoría y la práctica de cómo calcular la raíz n-ésima de un número.

Empezaremos con una rápida explicación de lo que es una raíz en matemáticas y daremos algunos ejemplos fáciles que puede que ya hayas visto, como la raíz cuadrada de 2, la raíz cuadrada de 3 o la raíz cúbica de 4. Pero, ¿y si lo que quieres encontrar es la raíz cuarta? Las anteriores eran bastante sencillas, pero ¿cuál es, digamos, la raíz cuarta de 81? No te preocupes, pronto te lo enseñaremos.

¡Siéntate, relájate y disfruta del paseo por el mundo de las raíces!

Todos conocemos la multiplicación, ¿verdad? ¿Como $12 \times 4 = 48$? Si queremos multiplicar varias veces el mismo número, podemos escribirlo de forma simplificada:

Donde el $5$ pequeño se llama exponente y significa cuántas copias del número grande (en este caso, $12$) tomamos. También llamamos a esta operación tomar la $5..^{\mathrm{a}}$ (quinta) potencia de $12$. Puedes explorar esta operación matemática en la calculadora de potencias de Omni.

Una raíz es la operación opuesta. Para conectarlo con el significado biológico, cuando miramos un árbol crecido, vemos sus hojas y su tronco, pero todo está construido sobre sus raíces. Y la historia es muy parecida con los números: cuando vemos el número $125$, al tomar su raíz nos mostrará el pequeño grano del que surgió. En este ejemplo, nos mostrará que la semilla es $5$ porque $5^3 = 125$.

Formalmente, la raíz $n\text{-ésima}$ de un número $a$ es el número $b$, tal que así:

Por ejemplo, veamos más de cerca qué es la raíz cuadrada de un número. Supongamos que vas a construir una piscina en tu jardín. Te gustaría que tuviera el mismo largo y ancho y que, en total, cubriera una superficie de $25$ metros cuadrados. ¿Cómo puedes calcular la longitud de los lados? Pues calculando la raíz. En este caso, debe ser la raíz cuadrada del área, es decir, la raíz cuadrada de $25$.

Y ¿cuál es la raíz cuadrada de ese número? Bien, veamos cómo encontrarla y cómo calcular la raíz cuadrada en general.

A veces, calcular la raíz en matemáticas puede parecer un juego de adivinanzas. Sin embargo, no es lo mismo que tirar los dados con los ojos cerrados y adivinar lo que te saldrá. Es más bien una adivinanza calculada. Al fin y al cabo, una vez que sabemos que $3^4 = 81$, podemos decir con seguridad que la raíz $4.^{\mathrm{a}}$ de $81$ es $3$. Pero primero tenemos que saberlo.

Entonces, ¿qué podemos hacer si olvidamos en casa nuestra útil tabla de los primeros cien números y sus primeras potencias? ¿Debemos resignarnos? Por suerte, no. No del todo, pero volveremos sobre esto en un segundo.

Como ejemplo, mostraremos cómo calcular la raíz cuadrada de $72$. Nuestra principal herramienta aquí será la factorización en números primos, es decir, dividir $72$ en las partes más pequeñas posibles.

En el procedimiento de factorización prima, tomamos un número (en nuestro caso, $72$) y hallamos el número primo más pequeño que lo divide. Recuerda que un número primo es un número entero que solo tiene dos divisores: $1$ y él mismo. Es bastante fácil ver que, para nosotros, será $2$, ya que:

El siguiente paso es encontrar el número primo más pequeño del resultado de la división del número por el número primo, es decir, el número $36$. Si continuamos así hasta llegar a $1$, obtendremos los siguientes números primos: $2$, $2$, $2$, $3$, $3$. Esta es la factorización en primos de $72$, y significa que:

¿Hay algo que no te quede claro sobre la factorización en números primos? No te preocupes, es un problema matemático bastante interesante, a veces difícil de resolver, ¡incluso para las computadoras! Puedes aprender más (casi todo) sobre ella en la calculadora de factorización en números primos 🇺🇸 de Omni.

Ahora, si encontramos parejas entre los mismos números, veremos que tenemos un par de $2$, un par de $3$, y queda un único $2$. Esto nos permite escribir la raíz cuadrada de $72$ como:

Un buen observador notará que los únicos números que permanecen por debajo de la raíz son exactamente los solitarios que no encontraron pareja.

Pero, ¿qué pasa con el $2$? ¿Cuál es la raíz cuadrada de $2$? Bueno, a eso se refería el "no del todo". La raíz cuadrada de $2$, la raíz cuadrada de $3$, o cualquier otro número primo nos lleva de nuevo a un juego de adivinanzas. Afortunadamente, podemos utilizar nuestra calculadora de raíces para averiguar que $\sqrt{2} \approx 1.4142$, lo que nos da:

En esencia, cuando nos preguntan "cuál es la raíz cuadrada de...,", primero debemos hacer la factorización en números primos para descomponer el problema, y si (como en el caso anterior) al final nos queda algún dígito pequeño, solo tenemos que utilizar una herramienta como la calculadora de raíces para encontrarlo.

"¿Pero qué pasa con raíces más grandes? ¿Y si necesito, por ejemplo, la raíz cuarta de un número?" Bueno, ¡qué oportuno que lo preguntes! Ese es precisamente el problema que trataremos en la siguiente sección.

¿Recuerdas que querías cavar una piscina en la primera sección? Supón ahora que te gustaría que todo fuera un cubo que contuviera $64$ metros cúbicos de agua (sí, es una forma rara para una piscina, pero aquí no te juzgaremos).

¿Cómo puedes hallar los lados de una piscina así? Sí: calculando la raíz cúbica del número (de ahí viene el nombre de raíz cúbica). Nos dirá que la longitud debe ser igual a:

Pero, ¿cómo hemos llegado hasta ahí? Afortunadamente, la herramienta principal es la misma: factorización de primos. Si aplicamos el procedimiento a $64$ lo obtendremos:

Ahora viene lo diferente: en lugar de pares, agrupamos los números en triples. Eso es lo que sugiere el pequeño $3$ en el símbolo de la raíz: necesitamos terceras potencias.

Es de notar que, por convención, en las raíces cuadradas (índice 2) no se escribe el índice de la raíz. En todas las demás raíces, como en esta, sí.

En fin, volviendo a nuestro problema, la agrupación nos permite escribir:

Si calculamos cualquier raíz superior, se aplica la misma regla. Al calcular la raíz cuarta, agrupamos los primos en cuádruples. Como si necesitas la raíz $4.^{\mathrm{a}}$ de $81$, primero observas que:

Así que tenemos cuatro veces el número $3$. Esto significa que la raíz $4.^{\mathrm{a}}$ de $81$ es igual a $3$. Y si necesitamos la n-ésima raíz, tomamos grupos de $n$ elementos. Y, si queda algo después de la factorización, lo encontramos con alguna herramienta externa como nuestra calculadora de raíces.

Muy bien, después de tanto tiempo leyendo teoría, ya es hora de que veamos un ejemplo de la vida real y vamos a ver la calculadora de raíces en acción, ¿no crees?

Enhorabuena, ¡es un niño! Ahora que te has convertido en padre, decides empezar temprano y ahorrar algo de dinero para cuando vaya a la universidad. Decides coger una buena parte de tus ahorros y dejarla en el banco durante los próximos dieciocho años para que la suma crezca junto con tu hijo.

Supongamos que has conseguido ahorrar $800\ 000\ \$$ (llama a esta cantidad $\mathrm{inicial}$). Por desgracia, de algún modo olvidaste la tasa de interés de la inversión, pero lo hecho, hecho está. La cantidad al final será una sorpresa tanto para ti como para tu hijo.

Pasa el tiempo, pasan los años y, por fin, llega el momento de regalar a tu hijo el dinero que has ahorrado. Llamas al banco, y resulta que hay $1\ 247\ 727\ \$$ en la cuenta (lo llamaremos variable $\mathrm{final}$). No está tan mal, ¿verdad? Parece que podrás hacer realidad los sueños de tu hijo.

Pero, solo por curiosidad, ¿podemos calcular la tasa de interés a partir de los números que tenemos?

¡Claro que podemos, y la calculadora de raíces nos ayudará!

Supongamos que los intereses se sumaran a la cuenta al final de cada año y que el dinero no tributara en absoluto (sí, ya sabemos que estamos exagerando un poco). Entonces la cantidad que obtenemos al final se describe mediante la fórmula:

Donde la potencia $18.^{\mathrm{a}}$ proviene de los dieciocho años que el dinero pasó en el banco: esta es la fórmula que puedes aprender en la calculadora de interés simple. En nuestro caso, esto se traduce en:

Si dividimos ambos lados por $800\ 000$, obtendremos que:

O después de una aproximación:

Así que si tenemos la potencia $18.^{\mathrm{a}}$ a la derecha, necesitamos encontrar la raíz $18.^{\mathrm{a}}$ del número de la izquierda. Ahora bien, esto es algo un poco más complicado que la raíz cuadrada de $3$, ¿no?

Recurrimos a nuestra calculadora de raíces. Ahí tenemos dos números: $a$ y $n$. Cuando miramos la imagen que hay ahí, vemos que $n$ es el orden o índice de la raíz, así que introducimos $n = 18$. A su vez, $a$ es el radicando (el número al que aplicaremos la raíz), así que tomamos $a = 1.5597$. Esto hace que la calculadora de raíces nos diga que la respuesta es:

Si traducimos el decimal a porcentajes, obtenemos:

Parece bastante pequeño, pero ¡cómo ha crecido en dieciocho años!

Esperemos que tu hijo aproveche bien el dinero y siga estudiando.