Calculadora de raíz cuadrada

Nuestra calculadora de raíz cuadrada calcula la raíz cuadrada de cualquier número positivo que desees. Solo tienes que introducir el número elegido y consultar los resultados. ¡Todo se calcula de forma rápida y automática! Con esta herramienta también puedes calcular el cuadrado de un número (solo introduce el valor en el segundo campo) y utilizarla para identificar cuadrados perfectos a partir de la fórmula de la raíz cuadrada.

¿Tienes problemas con las operaciones aritméticas básicas: sumar raíces cuadradas, restar raíces cuadradas, multiplicar raíces cuadradas o dividir raíces cuadradas? ¡Pues ya no! En el siguiente texto aprenderás a realizar todas estas operaciones.

¿Alguna vez te has preguntado cuál es el origen del símbolo de la raíz cuadrada (√)? Podemos asegurarte que su historia no es tan sencilla como podría parecer a primera vista. El origen de este símbolo se remonta a la antigüedad, al igual que el del signo de porcentaje (%). ¡Sigue leyendo para descubrir más!

Si buscas la gráfica de la raíz cuadrada o las propiedades de la función raíz cuadrada, puedes ir directamente a la sección correspondiente (solo tienes que hacer clic en los enlaces anteriores). Allí explicamos cómo calcular la derivada de una raíz cuadrada y también cómo obtener raíces cuadradas de potencias y fracciones. Por último, si sigues explorando, descubrirás que sí es posible calcular la raíz cuadrada de un número negativo. Para ello necesitamos los números complejos, que tienen numerosas aplicaciones en la física y las matemáticas.

Las raíces cuadradas ya eran conocidas en la antigüedad. La tablilla de arcilla más antigua que contiene el valor correcto de √2 = 1.41421 con una precisión de cinco decimales proviene de Babilonia (1800 a. C. - 1600 a. C.). Muchos otros documentos muestran que las raíces cuadradas también eran utilizadas por los antiguos egipcios, indios, griegos y chinos. Sin embargo, el origen del símbolo de la raíz (√) sigue siendo en gran medida objeto de especulación.

• Muchos estudiosos creen que el símbolo de la raíz cuadrada proviene de la letra "r", la primera letra de la palabra latina radix, que significa "raíz".
• Según otra teoría, el símbolo de la raíz cuadrada se originó a partir de la letra árabe ج, que aparecía en su forma original ﺟ dentro de la palabra جذر (jadhr), que significa "raíz" (el árabe se escribe de derecha a izquierda).

Los primeros usos del símbolo de la raíz cuadrada √ no incluían la barra horizontal que hoy aparece sobre los números dentro del radical. Esa barra se conoce en latín como vinculum, que significa "vínculo" o "unión". Aunque actualmente el símbolo radical con vinculum es el más utilizado, la barra suele omitirse en algunos contextos, como en textos en línea.

La notación para raíces de orden superior fue introducida por Albert Girard, quien colocó el índice de la raíz en la abertura del signo radical, dando lugar a expresiones como ³√ o ⁴√.

Ya hemos explicado cómo surgió el símbolo de la raíz √, pero ¿por qué las raíces reciben ese nombre? La razón se vuelve más evidente si reescribimos la ecuación x = ⁿ√a como xⁿ = a. El número x se denomina raíz porque es la base oculta de a. Por lo tanto, la palabra radical no significa extremo, sino más bien fundamental, aquello que llega a la raíz de algo.

¿Y qué hay de la palabra "cuadrada" en "raíz cuadrada"? Desde un punto de vista geométrico, la raíz cuadrada √x representa la longitud del lado de un cuadrado cuya área es x; de ahí su nombre. Del mismo modo, la raíz cúbica ∛x recibe ese nombre porque representa la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es x. Por esta razón, las raíces cuadradas aparecen con frecuencia en la geometría plana, mientras que las raíces cúbicas son comunes en la geometría tridimensional. La presencia de las raíces en problemas geométricos sencillos ayuda a explicar por qué estos conceptos ya despertaban el interés de la humanidad hace varios miles de años.

En matemáticas, las operaciones tradicionales con números son la suma, la resta, la multiplicación y la división. Sin embargo, a veces también se incluyen operaciones más avanzadas, como el cálculo de raíces cuadradas, la potenciación y los logaritmos. En este artículo nos centraremos en las raíces cuadradas.

La definición de raíz cuadrada de un número x es cualquier número y cuyo cuadrado, y² = y × y, sea igual al número original x. Ten en cuenta que y² = (-y) × (-y) también. Por lo tanto, la definición puede expresarse de la siguiente manera:

y = ±√x ⟺ y² = x

donde ⟺ es un símbolo matemático que significa "si y solo si". Todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas distintas: una positiva y otra negativa. En cambio, el número 0 solo tiene una raíz: él mismo. Recuerda que el símbolo √x siempre representa la raíz no negativa de x.

Existe otra forma habitual de expresar una raíz cuadrada, utilizando un exponente fraccionario:

√x = x^(1/2) = x^0.5

La razón de esta notación es la siguiente:

(x^0.5)^2 = x^(0.5 × 2) = x

Por lo tanto, elevar un número a la potencia 1/2 produce el mismo resultado que calcular su raíz cuadrada.

Quizá no estemos siendo muy modestos, pero creemos que la mejor respuesta a la pregunta de cómo encontrar la raíz cuadrada es sencilla: ¡usa la calculadora de raíces cuadradas! Puedes utilizarla tanto en tu computadora como en tu smartphone para calcular rápidamente la raíz cuadrada de un número dado. Por desgracia, a veces hay situaciones en las que sólo puedes confiar en ti mismo. ¿Y entonces qué? Para prepararte para ello, debes recordar varias raíces cuadradas perfectas básicas:

• Raíz cuadrada de 1: √1 = 1, ya que 1 × 1 = 1.

• Raíz cuadrada de 4: √4 = 2, ya que 2 × 2 = 4.

• Raíz cuadrada de 9: √9 = 3, ya que 3 × 3 = 9.

• Raíz cuadrada de 16: √16 = 4, ya que 4 × 4 = 16.

• Raíz cuadrada de 25: √25 = 5, ya que 5 × 5 = 25.

• Raíz cuadrada de 36: √36 = 6, ya que 6 × 6 = 36.

• Raíz cuadrada de 49: √49 = 7, ya que 7 × 7 = 49.

• Raíz cuadrada de 64: √64 = 8, ya que 8 × 8 = 64.

• Raíz cuadrada de 81: √81 = 9, ya que 9 × 9 = 81.

• Raíz cuadrada de 100: √100 = 10, ya que 10 × 10 = 100.

• Raíz cuadrada de 121: √121 = 11, ya que 11 × 11 = 121.

• Raíz cuadrada de 144: √144 = 12, ya que 12 × 12 = 144.

Los números anteriores son las raíces cuadradas exactas y son más sencillas, porque cada vez obtienes un número entero. ¡Intenta recordarlas! Pero, ¿qué puedes hacer cuando hay un número que no tiene una raíz cuadrada exacta? Lo más fácil es usar la calculadora de raíces cuadradas, pero si no tienes acceso a ella, hay múltiples soluciones. En primer lugar, puedes intentar predecir el resultado por ensayo y error. Digamos que quieres calcular la raíz cuadrada de 52:

1. Sabes que √49 = 7 y √64 = 8, así que √52 debería estar entre 7 y 8.

2. El número 52 está más cerca del 49 (su raíz, más cerca del 7), así que puedes intentar adivinar que √52 es 7.3.

3. Entonces, elevas al cuadrado 7.3, obteniendo 7.3² = 53.29 (como dice la fórmula de la raíz cuadrada), que es mayor que 52. Tienes que intentarlo con un número más pequeño, digamos 7.2.

4. El cuadrado de 7.2 es 51.84. Ahora tienes un número más pequeño, pero mucho más cercano al 52. Si esa precisión te satisface, puedes terminar aquí la estimación. Si no, puedes repetir el procedimiento con un número entre 7.2 y 7.3; por ejemplo, 7.22, y así sucesivamente.

Otro método consiste en simplificar primero la raíz cuadrada y luego utilizar las aproximaciones de las raíces cuadradas de los números primos (normalmente redondeadas a dos decimales):

• Raíz cuadrada de 2: √2 ≈ 1.41,
• Raíz cuadrada de 3: √3 ≈ 1.73,
• Raíz cuadrada de 5: √5 ≈ 2.24,
• Raíz cuadrada de 7: √7 ≈ 2.65,
• Raíz cuadrada de 11: √11 ≈ 3.32,
• Raíz cuadrada de 13: √13 ≈ 3.61,
• Raíz cuadrada de 17: √17 ≈ 4.12,
• Raíz cuadrada de 19: √19 ≈ 4.34, etc.

Volvamos a intentar hallar la raíz cuadrada de 52. Puedes simplificarla a √52 = 2√13 (aprenderás a simplificar la raíz cuadrada en el siguiente apartado) y luego sustituirla por √13 ≈ 3.61. Por último, haz una multiplicación √52 ≈ 2 × 3.61 = 7.22. ¡El resultado es el mismo que antes!

En algunas situaciones, no es necesario conocer el valor exacto de la raíz cuadrada. En esos casos, nuestra calculadora de raíces cuadradas es la mejor opción para estimar el valor de cualquier raíz cuadrada que desees. Por ejemplo, supongamos que quieres saber si 4√5 es mayor que 9. Con la calculadora, sabes que √5 ≈ 2.23607, por lo que 4√5 ≈ 4 × 2.23607 = 8.94428. Es un valor muy cercano a 9, pero no lo supera. La calculadora de raíces cuadradas proporciona el resultado final con una precisión relativamente alta (cinco decimales en el ejemplo anterior).

Recuerda que nuestra calculadora recalcula automáticamente los valores introducidos en cualquiera de los campos. Puedes calcular la raíz cuadrada de un número introduciéndolo en el primer campo o, alternativamente, obtener el cuadrado de un número ingresado en el segundo campo. Esta segunda opción es útil para identificar cuadrados perfectos, fundamentales en muchas áreas de las matemáticas y las ciencias. Por ejemplo, si introduces 17 en el segundo campo, descubrirás que 289 es un cuadrado perfecto.

En algunas aplicaciones, especialmente en ciencias experimentales como la química y la física, se prefieren los resultados en notación científica. En pocas palabras, un resultado en notación científica debe tener un punto decimal entre los dos primeros números distintos de cero. Se expresa como un número decimal multiplicado por 10 elevado a un exponente. Por ejemplo, el número 0.00345 se escribe como 3.45 × 10⁻³ en notación científica, mientras que 145.67 se escribe como 1.4567 × 10². Los resultados obtenidos con la calculadora de raíces cuadradas pueden convertirse a notación científica con la calculadora de notación científica.

El mismo número puede presentarse a menudo como una raíz cuadrada de distintas formas. Por ejemplo, √8 = 2√2 y √9 = 3. Evidentemente, escribir 3 como 3 es mucho más simple que expresarlo como √9. Extendemos esta idea a otras raíces: consideramos que una raíz es más simple si el radicando (el número dentro de la raíz) es lo más pequeño posible. Bajo este criterio, solemos considerar que 2√2 es una expresión "más simple" que √8, aunque ambos valores sean iguales.

"Simplificar" una raíz √x significa escribirla en la forma a√b, donde a y b son números enteros y b es lo más pequeño posible. Simplificar raíces será muy útil al momento de sumar y restar raíces — ¡consulta la siguiente sección para más información!

Pero, ¿por qué exactamente √8 y 2√2 representan el mismo número? Esto se debe a que las raíces cumplen la propiedad:

√(x × y) = √x × √y

En otras palabras, multiplicar primero dos números y luego calcular su raíz da el mismo resultado que calcular primero las raíces y después multiplicarlas. Para convencerse de que esta identidad es válida, basta con elevar ambos lados al cuadrado y observar que tanto √(x × y) como √x × √y son raíces cuadradas no negativas de x × y. Recordando que un número solo puede tener una raíz cuadrada no negativa, se concluye que √(x × y) y √x × √y deben ser iguales.

Usando esta propiedad, podemos demostrar que:

√8 = √(4 × 2) = √4 × √2 = 2√2

¿Cuándo se puede simplificar una raíz? Para responder esto, necesitamos analizar los factores del radicando. Si el radicando tiene un factor que sea un cuadrado perfecto, es decir, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, etc. (números que pueden expresarse como 2², 3², 4², 5², 6², 7², y así sucesivamente), entonces la raíz puede simplificarse siguiendo estos pasos:

1. Escribe el radicando como un producto de un cuadrado perfecto y otro número: en nuestro caso, 8 = 4 × 2, ya que 4 = 2² es un cuadrado perfecto.
2. Usa la identidad anterior para expresar la raíz del producto como el producto de raíces: √(4 × 2) = √4 × √2.
3. Calcula la raíz del cuadrado perfecto: √4 = 2.

Combinando estos pasos, obtenemos √8 = 2√2, como queríamos. Veamos más ejemplos:

• ¿Se puede simplificar √27? Los factores de 27 son 1, 3, 9 y 27. Aquí aparece el 9, que es un cuadrado perfecto. Esto significa que sí se puede simplificar √27. ¿Cómo queda esta raíz en su forma simplificada?

• ¿Y qué pasa con √15? Los factores de 15 son 1, 3, 5 y 15. Ninguno es un cuadrado perfecto, así que esta raíz no se puede simplificar.

¿Cuál es la idea principal? Una raíz cuadrada se puede simplificar cuando contiene un cuadrado perfecto entre sus factores.

Practiquemos con algunos ejemplos más:

• ¿Cómo simplificar la raíz cuadrada de 27?

  √27 = √(9 × 3) = √9 × √3 = 3√3

• ¿Cómo simplificar la raíz cuadrada de 45?

  √45 = √(9 × 5) = √9 × √5 = 3√5

• ¿Cómo simplificar la raíz cuadrada de 144?

  √144 = √(4 × 36) = √4 × √36 = 2 × 6 = 12

Ten en cuenta que en el último ejemplo no es necesario factorizar 144 como 4 y 36. Si recuerdas que 144 = 12 × 12 es un cuadrado perfecto, puedes simplificar directamente √144 a 12. Sin embargo, si no recuerdas los cuadrados perfectos grandes de memoria, la forma más sencilla es identificar cuadrados perfectos pequeños dentro de los factores de 144 (como hicimos al usar que 4 divide a 144) y descomponerlo paso a paso.

¿Qué pasa con raíces de orden superior, por ejemplo una raíz cúbica 🇺🇸? También pueden simplificarse de forma similar a las raíces cuadradas. La principal diferencia es que, para simplificar una raíz cúbica, necesitas encontrar al menos un factor que sea un cubo perfecto, es decir, 8 = 2³, 27 = 3³, 64 = 4³, 125 = 5³, etc. Luego se procede de forma análoga, factorizando el número en un cubo perfecto y otro factor. Por ejemplo, ³√192 se puede simplificar así:

∛192 = ∛(64 × 3) = ∛64 × ∛3 = 4∛3

Simplificar raíces cúbicas puede parecer complicado al principio, pero con algo de práctica, podrás simplificarlas mentalmente. ¡Confía en ello!

Sumar raíces cuadradas y restar raíces cuadradas

Por desgracia, sumar o restar raíces cuadradas no es tan fácil como sumar/restar números normales. Por ejemplo, si 2 + 3 = 5, no significa que √2 + √3 sea igual a √5. **Para entenderlo, imagina que tienes dos tipos de figuras diferentes: triángulos 🔺 y círculos 🔵. ¿Qué ocurre cuando añades un triángulo a un círculo 🔺 + 🔵? ¡Nada! Sigues teniendo un triángulo y un círculo 🔺 + 🔵. Por otra parte, ¿qué ocurre cuando intentas sumar tres triángulos a cinco triángulos? 3🔺 + 5🔺? Acabarás con ocho triángulos 8🔺.

Sumar raíces cuadradas es muy parecido a esto. El resultado de sumar √2 + √3 sigue siendo √2 + √3. No puedes simplificarlo más sin resolver las raíces. Sin embargo, la situación es distinta cuando ambas raíces cuadradas tienen el mismo número bajo el símbolo de la raíz. Entonces podemos sumarlas como números normales (o triángulos). Por ejemplo, 3√2 + 5√2 es igual a 8√2. Lo mismo ocurre al restar raíces cuadradas. Veamos más ejemplos que ilustran esta propiedad de la raíz cuadrada:

• ¿Qué es 6√17 + 5√17? Respuesta: 6√17 + 5√17 = 11√17.

• ¿Qué es 4√7 - 7√7? Respuesta: 4√7 - 7√7 = -3√7.

• ¿Qué es 2√2 + 3√8? Respuesta: 2√2 + 3√8 = 2√2 + 6√2 = 8√2, porque hemos simplificado √8 = √(4 × 2) = √4 × √2 = 2√2.

• ¿Cuánto es √45 - √20? Respuesta: √45 - √20 = 3√5 - 2√5 = √5, porque hemos simplificado √45 = √(9 × 5) = √9 × √5 = 3√5 y √20 = √(4 × 5) = √4 × √5 = 2√5.

• ¿Cuánto es 7√13 + 2√22? Respuesta: 7√13 + 2√22, no podemos simplificarlo más.

• ¿Qué es √3 - √18? Respuesta: √3 - √18 = √3 - 3√2, no podemos simplificarlo más, pero al menos hemos simplificado √18 = √(9 × 2) = √9 × √2 = 3√2.

Multiplicar raíces cuadradas y dividir raíces cuadradas

Ahora que sabes cómo sumar raíces cuadradas fácilemente, vayamos un paso más allá. ¿Qué te parece aprender cómo multiplicar raíces cuadradas y cómo dividir raíces cuadradas? ¡No te asustes! En realidad ya lo hemos hecho cuando hablamos de cómo simplificar raíces cuadradas. La multiplicación de raíces cuadradas se basa en la propiedad de la raíz cuadrada que hemos utilizado antes:

√(x × y) = √x × √y

Explicamos de dónde proviene esto en la sección sobre simplificación de raíces cuadradas. Aquí justificaremos esta identidad desde otro enfoque. Recordemos una propiedad de las raíces cuadradas que ya hemos utilizado varias veces:

√x = x^(1/2)

¿Recuerdas cómo se multiplican números con el mismo exponente? Como recordatorio:

xⁿ × yⁿ = (x × y)ⁿ

Si tomamos n = 1/2, obtenemos:

x^(1/2) × y^(1/2) = (x × y)^(1/2)

lo cual es otra forma de expresar:

√x × √y = √(x × y)

A diferencia de la suma, puedes multiplicar cualquier par de raíces cuadradas. Recuerda que la multiplicación es conmutativa: esto significa que los números pueden multiplicarse en cualquier orden. Veamos algunos ejemplos:

• ¿Cuánto es √3 × √2? Respuesta: √3 × √2 = √6.

• ¿Cuánto es 2√5 × 5√3? Respuesta: 2√5 × 5√3 = 2 × 5 × √5 × √3 = 10√15, porque la multiplicación es conmutativa.

• ¿Cuánto es 2√6 × 3√3? Respuesta: 2√6 × 3√3 = 2 × 3 × √6 × √3 = 6√18 = 18√2, ya que simplificamos √18 = √(9 × 2) = √9 × √2 = 3√2.

¿Y la división de raíces cuadradas? Por suerte, la división de raíces sigue una fórmula similar a la multiplicación:

√x / √y = √(x / y)

Solo hay que sustituir la multiplicación por la división. En otras palabras, da lo mismo dividir primero o calcular las raíces primero: el resultado final será el mismo. Al igual que con la multiplicación, esto es un caso particular (con n = 1/2) de la regla de división de potencias:

xⁿ / yⁿ = (x / y)ⁿ

Sin embargo, la división no es conmutativa. Es necesario calcular por separado los números que están fuera de las raíces y los que están dentro de ellas. Veamos algunos ejemplos:

• ¿Cuánto es √15 / √3? Respuesta: √15 / √3 = √5.

• ¿Cuánto es 10√6 / 5√2? Respuesta: 10√6 / 5√2 = (10 / 5) × (√6 / √2) = 2√3.

• ¿Cuánto es 6√2 / 3√5? Respuesta: 6√2 / 3√5 = (6 / 3) × (√2 / √5) = 2√(2/5).

  En esta forma, el resultado puede parecer un poco extraño: normalmente preferimos que el radicando sea un número entero. Esto se puede mejorar con algunos pasos adicionales: 2√(2/5) = (2/5) × (5√(2/5)) = (2/5) × (√(25 × 2/5)) = (2/5)√10. En palabras, el resultado es dos quintos de la raíz cuadrada de 10.

Calcular la raíz cuadrada de números elevados a una potencia o la raíz cuadrada de fracciones puede ser confuso si no usas la calculadora de raíz cuadrada. Pero si quieres o necesitas hacerlo a mano, vamos a ver cómo sacar la raíz cuadrada de esos número fácilmente. Empecemos por sacar las raíces cuadradas de potencias. En ese caso, te resultará más fácil utilizar la forma alternativa de raíz cuadrada √x = x^(1/2). ¿Recuerdas la regla de las potencias? Si no es así, aquí tienes un rápido recordatorio rápido:

(xⁿ)^m = x^{(n × m)}

donde n y m son números reales cualesquiera. Ahora bien, si colocas 1/2 en lugar de m, obtendrás una fracción como exponente:

√(xⁿ) = (xⁿ)^(1/2) = x^(n/2)

Y así es como se saca la raíz cuadrada de un número elevado a una potencia.

Si aún no estás seguro de cómo sacar raíces cuadradas de potencias, aquí tienes algunos ejemplos:

• Raíz cuadrada de 2⁴:

  √(2⁴) = (2⁴)^(1/2) = 2^(4/2) = 2² = 4

• Raíz cuadrada de 5³:

  √(5³) = (5³)^(1/2) = 5^(3/2)

• Raíz cuadrada de 4⁵:

  √(4⁵) = (4⁵)^(1/2) = 4^(5/2) = (2²)^(5/2) = 2⁵ = 32

Como puedes ver, a veces es imposible obtener un resultado bonito como el del primer ejemplo. Sin embargo, en el tercer ejemplo te mostramos un pequeño truco para expresar 4 como 2². A menudo, este método ayuda a simplificar ecuaciones y raíces más complicadas.

¿Qué pasa con las raíces cuadradas de fracciones? Echa un vistazo a la sección anterior, donde escribimos sobre la división de raíces cuadradas. Allí encontrarás la siguiente relación que debería explicarlo todo:

(x / y)^(1/2) ⟺ √x / √y = √(x / y)

donde x / y es una fracción. A continuación encontrarás algunos ejemplos de raíces cuadradas de una fracción:

• Raíz cuadrada de 4/9:

  √(4/9) = √4 / √9 = 2/3

• Raíz cuadrada de 1/100:

  √(1/100) = √1 / √100 = 1/10

• Raíz cuadrada de 1/5:

  √(1/5) = √1 / √5 = 1/√5 = √5/5

Dejar raíces en el denominador no es una buena costumbre, verás que nuestra calculadora de raíces cuadradas evita hacerlo. Por eso nos deshicimos de ella en el último ejemplo. Nos limitamos a multiplicar tanto el numerador como el denominador por el mismo número (siempre podemos hacerlo, ya que es lo mismo que multiplicar por 1), en este caso, por √5.

En matemáticas, las funciones juegan un papel fundamental no solo en matemáticas, sino también en muchas otras áreas como la física, la estadística o las finanzas. La función f(x) no es más que una fórmula que indica cómo cambia el valor de f(x) en función del argumento x. Debajo puedes ver la gráfica de la función raíz cuadrada f(x) = √x, que corresponde a la mitad de una parábola. Obsérvala e intenta comprobar, por ejemplo, si la raíz cuadrada de x = 9 es 3 y la de x = 16 es 4 (como debería ser).

Volvamos a la función raíz cuadrada f(x) = √x y exploremos cuáles son sus propiedades básicas. Consideramos aquí sólo la parte positiva de f(x) (como puedes ver en la gráfica de la raíz cuadrada de arriba). Por tanto, la función raíz cuadrada:

• Es continua y creciente para todo x no negativo.

• Es diferenciable para todo x positivo (para más información, consulta la sección derivadas de la raíz cuadrada.

• Se aproxima al infinitio positivo a medida que x se crece, o se aproxima al infinito (lim √x → ∞ cuando x → ∞).

• Es un número real para todo x no negativo y un número complejo para todo x negativo.

Las derivadas de una función nos indican a qué velocidad cambia dicha función con su argumento. Uno de los ejemplos más sencillos en física es la posición de un objeto y su velocidad (la rapidez de cambio de posición). Digamos que la función x(t) describe cómo cambia la distancia del automóvil en movimiento desde un punto concreto con el tiempo t. ¿Sabes qué determina la rapidez del cambio en la distancia recorrida? La respuesta es ¡la velocidad del automóvil! Así que la derivada de la posición x(t) es la velocidad v(t) (la velocidad también puede depender del tiempo). Para denotar la derivada, solemos utilizar el apóstrofo v(t) = x'(t) o el símbolo de la derivada v(t) = dx(t)/dt.

La derivada de la función general f(x) no siempre es fácil de calcular. Sin embargo, en algunas circunstancias, si la función adopta una forma específica, tenemos algunas fórmulas. Por ejemplo, si

f(x) = xⁿ,

donde n es cualquier número real, la derivada es la siguiente:

f'(x) = n × x^(n-1).

Puede que no lo parezca, pero esto responde a la pregunta cuál es la derivada de una raíz cuadrada. ¿Recuerdas la forma alternativa (exponencial) de una raíz cuadrada? Vamos a recordártela:

√x = x^(1/2).

Puedes ver que en este caso, n = 1/2, por lo que la derivada de una raíz cuadrada es:

(√x)' = (x^(1/2))' = 1/2 × x^(-1/2) = 1/(2√x).

Como un número elevado a una potencia negativa es uno sobre ese número, la estimación de la derivada implicará fracciones. Tenemos una herramienta que puede ser esencial a la hora de sumar o restar fracciones con distintos denominadores. Se llama calculadora de MCM, y te indica cómo hallar el mínimo común múltiplo.

La derivada de una raíz cuadrada es necesaria para obtener los coeficientes en la llamada expansión de Taylor. No queremos profundizar demasiado en los detalles, así que, brevemente, la serie de Taylor te permite aproximar diversas funciones con los polinomios, que son mucho más fáciles de calcular. Por ejemplo, la expansión de Taylor de √(1 + x) en torno al punto x = 0 viene dada por:

√(1 + x) = 1 + 1/2 × x - 1/8 × x² + 1/16 × x³ - 5/128 × x⁴ + ...,

que es válida para -1 ≤ x ≤ 1. Aunque la expresión anterior tiene un número infinito de términos, para obtener el valor aproximado, puedes utilizar sólo unos pocos primeros términos. ¡Vamos a probarlo! Con x = 0.5 y los cinco primeros términos, obtienes

√(1.5) = 1 + 1/2 × 0.5 - 1/8 × 0.25 + 1/16 × 0.125 - 5/128 × 0.0625,

√(1.5) ≈ 1.2241,

y el valor real, proporcionado por nuestra calculadora, es √(1.5) ≈ 1.2247. ¡Bastante cerca!

Hasta aquí muchas matemáticas y ecuaciones. Para los que seáis lo bastante persistentes, hemos preparado la siguiente sección, que explica cómo calcular la raíz cuadrada de un número negativo.

Nuestra calculadora de raíces cuadradas se queja y muestra un error si le preguntas cuál es la raíz cuadrada de un número negativo, tal y como probablemente te enseñaron de más chico.

Tiene sentido sentido porque al multiplicar un número por si mismo el resultado es positivo... ¿o no? En algún momento los matemáticos se hicieron está pregunta y decidieron ver qué pasaría si nos imaginamos un número que multiplicado por si mismo nos de un resultado negativo: el número i. Estos números se llaman imaginarios y tienen la forma:

x = a + b × i,

donde x es el número complejo con la parte real a y la parte imaginaria b. Lo que diferencia un número complejo de uno real es el número imaginario i. Aquí tienes algunos ejemplos de números complejos: 2 + 3i, 5i, 1,5 + 4i y 2. Quizá te sorprenda ver ahí 2, que es un número real. Sí, lo es, pero también es un número complejo con b = 0. Los números complejos son una generalización de los números reales

Hasta ahora, el número imaginario i probablemente siga siendo un misterio para ti. ¿Qué es? Bueno, aunque parezca raro, se define mediante la siguiente ecuación:

i = √(-1),

y eso es todo lo que necesitas para calcular la raíz cuadrada de cualquier número, sea positivo o no. Veamos algunos ejemplos de cómo sacar la raíz cuadrada de números imaginarios:

• Raíz cuadrada de -9: √(-9) = √(-1 × 9) = √(-1)√9 = 3i.
• Raíz cuadrada de -13: √(-13) = √(-1 × 13) = √(-1)√13 = i√13.
• Raíz cuadrada de -49: √(-49) = √(-1 × 49) = √(-1)√49 = 7i.

¿No es sencillo? Este problema no ocurre con la raíz cúbica, ya que puedes obtener un número negativo al multiplicar tres números negativos iguales (algo que no puedes hacer con solo dos números negativos). Por ejemplo:

³√(-64) = ³√[(-4) × (-4) × (-4)] = -4

¡Y eso es todo lo que necesitas saber sobre las raíces cuadradas!