Calculadora de valor crítico

¡Te presentamos la calculadora de valor crítico! Aquí puedes determinar rápidamente el o los valores críticos para pruebas de dos colas, así como para pruebas de una cola. Funciona para las distribuciones más comunes en pruebas de hipótesis: la distribución normal estándar N(0,1) (es decir, cuando tienes una puntuación Z), t de Student, chi-cuadrado (χ²), y la distribución F.

¿Qué es un valor crítico? ¿Y cuál es la fórmula del valor crítico? Sigue leyendo: te daremos la definición de valor crítico y te explicamos cómo calcular los valores críticos para utilizarlos en la construcción de regiones de rechazo (también llamadas regiones críticas).

En las pruebas de hipótesis, los valores críticos son uno de los dos enfoques que te permiten decidir si mantienes o rechazas la hipótesis nula. El otro enfoque consiste en calcular el valor p (por ejemplo, utilizando la calculadora de valor p).

El enfoque del valor crítico consiste en comprobar si el valor del estadístico de contraste generado por tu muestra pertenece a la llamada región de rechazo, o región crítica, que es la región en la que es muy improbable que se encuentre el estadístico de contraste. Un valor crítico es un valor de corte (o dos valores de corte en el caso de una prueba de dos colas) que constituye el límite de la región o regiones de rechazo. En otras palabras, los valores críticos dividen la escala de tu estadístico de contraste en la región de rechazo y la región de no rechazo.

Una vez hallada la región de rechazo, revisa si el valor del estadístico de contraste generado por tu muestra pertenece a ella:

• Si es así, significa que puedes rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa; y
• Si no es así, entonces no hay pruebas suficientes para rechazar H₀.

Pero, ¿cómo calcular los valores críticos? En primer lugar, necesitas fijar un nivel de significancia, $\alpha$, que cuantifica la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando esta es realmente correcta. La elección de α es arbitraria; en la práctica, lo más frecuente es utilizar un valor de 0.05 o 0.01. Los valores críticos también dependen de la hipótesis alternativa que elijas para tu prueba, dilucidada en la siguiente sección.

Para determinar los valores críticos, necesitas conocer la distribución de tu estadístico de contraste bajo el supuesto de que se cumple la hipótesis nula. Los valores críticos son entonces puntos con la propiedad de que la probabilidad de que tu estadístico de contraste asuma valores al menos tan extremos en esos valores críticos es igual al nivel de significancia α. Vaya, qué definición, ¿verdad? No te preocupes, te explicaremos qué significa todo esto.

En primer lugar, señalemos que la hipótesis alternativa es la que determina lo que significa “extremo”. En concreto, si la prueba es de una cola, solo habrá un valor crítico; si es de dos colas, habrá dos: uno a la izquierda y otro a la derecha de la mediana de la distribución.

Los valores críticos pueden representarse convenientemente como los puntos con la propiedad de que el área bajo la curva de densidad del estadístico de contraste desde esos puntos hasta las colas es igual a $\alpha$:

• Prueba de cola izquierda: el área bajo la curva de densidad desde el valor crítico hacia la izquierda es igual a $\alpha$;

• Prueba de cola derecha: el área bajo la curva de densidad desde el valor crítico hacia la derecha es igual a $\alpha$; y

• Prueba de dos colas: el área bajo la curva de densidad desde el valor crítico izquierdo hacia la izquierda es igual a $\alpha/2$, y el área bajo la curva desde el valor crítico derecho hacia la derecha también es igual a $\alpha/2$; por tanto, el área total es igual a $\alpha$.

Como puedes ver, hallar los valores críticos para una prueba de dos colas con significancia $\alpha$ se reduce a hallar los dos valores críticos de una cola con un nivel de significancia de $\alpha/2$.

Las fórmulas para los valores críticos implican la función cuantil, $Q$, que es la inversa de la función de distribución acumulada ($\mathrm{FDA}$) para la distribución del estadístico de contraste (¡calculada bajo el supuesto de que H₀ se cumple!): $Q = \mathrm{FDA}^{-1}$.

Una vez acordado el valor de $\alpha$, las fórmulas de los valores críticos son las siguientes:

1. Prueba de cola izquierda:

2. Prueba de la cola derecha:

3. Prueba de dos colas:

En el caso de una distribución simétrica respecto a 0, los valores críticos de la prueba de dos colas también son simétricos:

Por desgracia, las distribuciones de probabilidad más comunes en las pruebas de hipótesis tienen fórmulas $\mathrm{FDA}$ algo complicadas. Para hallar los valores críticos a mano, tendrías que utilizar software especializado o tablas estadísticas. En estos casos, la mejor opción es, por supuesto, ¡nuestra calculadora de valor crítico! 😁

Ahora que has encontrado nuestra calculadora de valor crítico, ¡ya no tienes que preocuparte de cómo hallar el valor crítico de todas esas distribuciones complicadas! Aquí tienes los pasos que debes seguir:

1. Dinos la distribución de tu estadístico de contraste bajo la hipótesis nula: ¿es una normal estándar N(0,1), t de Student, chi-cuadrado (χ²), o F de Snedecor? Si no estás seguro, consulta las secciones de abajo dedicadas a esas distribuciones, e intenta localizar la prueba que necesitas realizar.

2. Elige la hipótesis alternativa: de dos colas, de cola derecha, o de cola izquierda.

3. Si es necesario, especifica los grados de libertad de la distribución del estadístico de contraste. Si no estás seguro, consulta la descripción de la prueba que estás haciendo. Puedes obtener más información sobre el significado de esta cantidad en estadística en la calculadora de grados de libertad.

4. Ajusta el nivel de significancia, $\alpha$. Por defecto, lo preestablecimos en el valor más común, 0.05, pero, por supuesto, puedes ajustarlo a tus necesidades.

5. La calculadora de valor crítico mostrará entonces no sólo tu(s) valor(es) crítico(s), sino también la(s) región(es) de rechazo.

Ve a las opciones avanzadas de la calculadora de valor crítico si necesitas aumentar la precisión con la que se calculan los valores críticos.

Utiliza la opción Z (normal estándar) si tu estadístico de contraste sigue (al menos aproximadamente) la distribución normal estándar N(0,1).

En las fórmulas siguientes, $u$ denota la función cuantil de la distribución normal estándar N(0,1):

1. Valor crítico de Z de cola izquierda: $u(\alpha)$

2. Valor crítico de Z de cola derecha: $u(1-\alpha)$

3. Valor crítico de Z de dos colas: $\pm u(1- \alpha/2)$

Consulta calculadora de prueba Z para saber más sobre la prueba Z más utilizada para la media poblacional. También hay pruebas Z para la diferencia entre dos medias poblacionales, en particular, una entre dos proporciones.

Utiliza la opción t de Student si tu estadístico de contraste sigue la distribución t. Esta distribución es similar a N(0,1), pero sus colas son más gruesas: la forma exacta depende del número de grados de libertad. Si este número es grande (>30), lo que ocurre genéricamente para las muestras grandes, entonces la distribución t es prácticamente indistinguible de N(0,1). Consulta nuestra calculadora de valor t para calcular el estadístico de contraste correspondiente.

En las fórmulas siguientes, $Q_{\text{t}, d}$ es la función cuantil de la distribución t-Student con $d$ grados de libertad:

1. Valor crítico de t de cola izquierda: $Q_{\text{t}, d}(\alpha)$

2. Valor crítico de t de cola derecha: $Q_{\text{t}, d}(1 - \alpha)$

3. Valores críticos de t de dos colas: $\pm Q_{\text{t}, d}(1 - \alpha/2)$

Visita la calculadora de prueba t para saber más sobre distintas pruebas t: la de una media poblacional con una desviación estándar poblacional desconocida, las de la diferencia entre las medias de dos poblaciones (con desviaciones estándar poblacionales iguales o desiguales), así como sobre la prueba t para muestras pareadas.

Utiliza la opción χ² (chi-cuadrado) cuando realices una prueba en la que el estadístico de contraste siga la distribución χ².

Tienes que determinar el número de grados de libertad de la distribución χ² de tu estadístico de contraste. A continuación, se encuentran enumerados para las pruebas χ² más usadas.

Aquí te damos las fórmulas para los valores críticos de chi-cuadrado; $Q_{\chi^2, d}$ es la función cuantil de la distribución χ² con $d$ grados de libertad:

1. Valor crítico de χ² de cola izquierda: $Q_{\chi^2, d}(\alpha)$

2. Valor crítico de χ² de cola derecha: $Q_{\chi^2, d}(1 - \alpha)$

3. Valores críticos de χ² de dos colas: $Q_{\chi^2, d}(\alpha/2)$ y $Q_{\chi^2, d}(1 - \alpha/2)$

Diferentes pruebas conducen a una puntuación χ²:

• Prueba de bondad de ajuste: ¿la distribución empírica coincide con la distribución esperada?

  Esta prueba tiene cola derecha. Su estadístico de contraste sigue la distribución χ² con $k - 1$ grados de libertad, donde $k$ es el número de clases o categorías en que se divide la muestra.

• Prueba de independencia: ¿existe una relación estadísticamente significativa entre dos variables?

  Esta prueba también es de cola derecha, y su estadístico de contraste se calcula a partir de la tabla de contingencia. Hay $(r - 1)(c - 1)$ grados de libertad, donde $r$ es el número de filas y $c$ es el número de columnas de la tabla de contingencia.

• Prueba de la varianza de los datos distribuidos normalmente: ¿tiene esta varianza algún valor predeterminado?

  Esta prueba puede ser de una o de dos colas. Su estadístico de contraste tiene la distribución χ² con $n - 1$ grados de libertad, donde $n$ es el tamaño de la muestra.

Por último, elige F (Fisher-Snedecor) si tu estadístico de contraste sigue la distribución F. Esta distribución tiene un par de grados de libertad.

Veamos cómo surgen esos grados de libertad. Supongamos que tienes dos variables aleatorias independientes, $X$ y $Y$, que siguen distribuciones χ² con $d_1$ y $d_2$ grados de libertad, respectivamente. Si ahora consideras el cociente $(\frac{X}{d_1}):(\frac{Y}{d_2})$, resulta que sigue la distribución F con $(d_1, d_2)$ grados de libertad. Por eso llamamos $d_1$ y $d_2$ a los grados de libertad del numerador y del denominador, respectivamente.

En las fórmulas siguientes, $Q_{\text{F}, d_1, d_2}$ representa la función cuantil de la distribución F con $(d_1, d_2)$ grados de libertad:

1. Valor crítico de F de cola izquierda: $Q_{\text{F}, d_1, d_2}(\alpha)$

2. Valor crítico de F de cola derecha: $Q_{\text{F}, d_1, d_2}(1 - \alpha)$

3. Valores críticos de F de dos colas: $Q_{\text{F}, d_1, d_2}(\alpha/2)$ y $Q_{\text{F}, d_1, d_2}(1 -\alpha/2)$

Aquí enumeramos las pruebas más importantes que producen puntuaciones F: cada una de ellas es de cola derecha.

• ANOVA: prueba la igualdad de medias en tres o más grupos que proceden de poblaciones distribuidas normalmente con varianzas iguales. Hay $(k - 1, n - k)$ grados de libertad, donde $k$ es el número de grupos y $n$ es el tamaño total de la muestra (en cada grupo).

• Significancia global en el análisis de regresión. El estadístico de contraste tiene $(k - 1, n - k)$ grados de libertad, donde $n$ es el tamaño de la muestra, y $k$ es el número de variables (incluida la intercepción).

• Comparar dos modelos de regresión anidados. El estadístico de contraste sigue la distribución F con $(k_2 - k_1, n - k_2)$ grados de libertad, donde $k_1$ y $k_2$ son el número de variables en los modelos menor y mayor, respectivamente, y $n$ es el tamaño de la muestra.

• La igualdad de varianzas en dos poblaciones distribuidas normalmente. Hay $(n - 1, m - 1)$ grados de libertad, donde $n$ y $m$ son los tamaños de muestra respectivos.

Un valor crítico de Z es el valor que define la región crítica en las pruebas de hipótesis cuando el estadístico de contraste sigue la distribución normal estándar. Si el valor del estadístico de contraste cae dentro de la región crítica, debes rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa.

Para encontrar un valor crítico de Z para un nivel de confianza dado α:

1. Comprueba si realizas una prueba de una cola o de dos colas.

2. Para una prueba de una cola:

   • Cola izquierda: el valor crítico es el α-ésimo cuantil de la distribución normal estándar N(0,1).

   • Cola derecha: el valor crítico es el (1-α)-ésimo cuantil.

3. Prueba de dos colas: el valor crítico es igual al ±(1-α/2)-ésimo cuantil de N(0,1).

4. ¿No tienes tablas de cuantiles? ¡Utiliza tablas FDA! (La función cuantil es la inversa de la FDA)

5. Comprueba tu respuesta con una calculadora online de valores críticos.

En teoría, no. En la práctica, muy a menudo, sí. La distribución t-Student es similar a la distribución normal estándar, pero no es igual. Sin embargo, si el número de grados de libertad (que es, a grandes rasgos, el tamaño de tu muestra) es lo suficientemente grande (>30), entonces las dos distribuciones son prácticamente indistinguibles, por lo que el valor crítico de t tiene prácticamente el mismo valor que el valor crítico de Z.

El valor crítico de Z para un intervalo de confianza del 95 % es:

• 1.96 para una prueba de dos colas;
• 1.64 para una prueba de cola derecha; y
• -1.64 para una prueba de cola izquierda.