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Calculadora de prueba Z

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Índice general

¿Qué es una prueba Z?¿Cuándo se utiliza una prueba Z?Fórmula de la prueba zValor p de la prueba ZPrueba Z de dos colas y prueba Z de una colaValores críticos de la prueba Z y regiones críticas¿Cómo utilizo la calculadora de prueba Z de una muestra?Ejemplos de prueba ZPreguntas frecuentes

Esta calculadora de prueba Z es una herramienta que te ayuda a realizar una prueba Z de una muestra sobre la media de la población. Existen dos formas en las que puedes realizar esta prueba en función de tus necesidades: la prueba Z de dos colas y la prueba Z de una cola. También puedes elegir si la calculadora debe determinar el valor p de la prueba Z o si prefieres utilizar el método del valor crítico.

Sigue leyendo para saber más sobre la prueba Z en estadística y, en particular, cuándo utilizar la prueba Z, cuál es la fórmula de la prueba Z y si debes utilizar la prueba Z o la prueba t. Además, te ofrecemos algunos ejemplos paso a paso de cómo se realiza una prueba Z.

O también puedes consultar nuestra calculadora del estadístico t, donde podrás aprender el concepto de otro estadístico esencial. Si también te interesa la prueba F, consulta nuestra calculadora del estadístico F 🇺🇸.

¿Qué es una prueba Z?

La prueba Z de una muestra es una de las pruebas paramétricas más populares. La hipótesis nula es que el valor medio de la población es igual a un número dado, μ0\mu_0:

H0μ=μμ=μ0.\footnotesize \mathrm H_0 \mu = \mu\mu = \mu_0 \text{.}

Realizamos una prueba Z de dos colas si queremos comprobar si la media de la población no es μ0\mu_0:

H1μμμμ0,\footnotesize \mathrm H_1 \mu \mu \ne\mu \ne \mu_0 \text{,}

y una prueba Z de una cola si queremos comprobar si la media de la población es menor/mayor que μ0\mu_0:

H1:μ<μ0μ<μ0 (prueba de cola izquierda)\footnotesize \mathrm H_1 \!:\mu \lt \mu_0\mu \lt \mu_0 \ (\text{prueba de cola izquierda)}
H1:μ>μ0 (prueba de cola derecha).\footnotesize \mathrm H_1 \!\!:\!\! \mu \gt \mu_0 \ (\text{prueba de cola derecha).}

Analicemos ahora las suposiciones de una prueba Z de una muestra.

¿Cuándo se utiliza una prueba Z?

Puedes utilizar una prueba Z si tu muestra consta de puntos de datos independientes y:

  • los datos están distribuidos normalmente, y conoces la varianza de la población;

    o

  • la muestra es grande, y los datos siguen una distribución que tiene una media y una varianza finitas. No necesitas conocer la varianza poblacional.

La razón de que existan estas dos posibilidades es que queremos que el estadístico de contraste siga la distribución normal estándar N(0,1)\mathrm N(0, 1). En el primer caso, se trata de una distribución normal estándar exacta, mientras que en el segundo, lo es aproximadamente, gracias al teorema del límite central.

La pregunta sigue siendo: "¿Cuándo se considera que mi muestra es grande? Pues bien, no existe un criterio universal. En general, cuantos más puntos de datos tengas, mejor funcionará la aproximación. Los libros de estadística recomiendan no tener menos de 50 puntos de datos, mientras que 30 se considera el mínimo indispensable.

Fórmula de la prueba z

Sea x1,...,xnx_1, ..., x_n una muestra independiente que sigue la distribución normal N(μ,σ2)\mathrm N(\mu, \sigma^2), es decir, con una media igual a μ\mu, y una varianza igual a σ2\sigma ^2.

Planteamos la hipótesis nula, H0 ⁣ ⁣: ⁣ ⁣μ=μ0\mathrm H_0 \!\!:\!\! \mu = \mu_0.

Definimos el estadístico de contraste, Z, como:

Z=(xˉμ0)nσZ = (\bar x - \mu _0 ) \frac{\sqrt n}{\sigma}

donde:

  • xˉ\bar x es la media de la muestra, es decir, xˉ=(x1+...+xn)/n\bar x = (x_1 + ... + x_n) / n;

  • μ0\mu_0 es la media propuesta en H0\mathrm H_0;

  • nn es el tamaño de muestra;

  • σ\sigma es la desviación estándar de la población.

En lo que sigue, la mayúscula ZZ significa el estadístico de contraste (tratado como una variable aleatoria), mientras que la minúscula zz denotará un valor real de ZZ, calculado para una muestra dada extraída de N(μ,σ²).

Si se cumple H0\mathrm H_0, entonces la suma Sn=x1+...+xnS_n = x_1 + ... + x_n sigue la distribución normal, con media nμ0n \mu_0 y varianza n2σn^2 \sigma. Como ZZ es la normalización (puntuación Z) de Sn/nS_n/n, podemos concluir que el estadístico de contraste ZZ sigue la distribución normal estándar N(0,1)\mathrm N(0, 1), siempre que H0\mathrm H_0 sea cierta. Por cierto, tenemos la calculadora de puntuación Z por si quieres centrarte solo en este valor.

Si nuestros datos no siguen una distribución normal, o si se desconoce la desviación estándar de la población (y, por tanto, en la fórmula para ZZ sustituimos la desviación estándar de la población σ\sigma por la desviación estándar de la muestra), entonces el estadístico de contraste ZZ no es necesariamente normal. Sin embargo, si la muestra es suficientemente grande, entonces el teorema del límite central garantiza que ZZ es aproximadamente N(0,1)\mathrm N(0, 1).

En los apartados siguientes, te explicaremos cómo utilizar el valor del estadístico de contraste, zz, para saber si debes o no rechazar la hipótesis nula. Se pueden utilizar dos métodos para ello: el método del valor p y el método del valor crítico, ¡y cubrimos ambos! ¿Cuál debes utilizar? En el pasado, el enfoque del valor crítico era más popular porque resultaba difícil calcular el valor p a partir de la prueba Z. Sin embargo, con la ayuda de las computadoras modernas, podemos hacerlo con bastante facilidad y con una precisión decente. En general, ¡te recomendamos encarecidamente que indiques el valor p de tus pruebas!

Valor p de la prueba Z

Formalmente, el valor p es el nivel de significación más pequeño con el que podría rechazarse la hipótesis nula. De forma más intuitiva, el valor p responde a las preguntas:
Suponiendo que vivo en un mundo en el que se cumple la hipótesis nula, ¿cuán probable es que el valor del estadístico de contraste sea al menos tan extremo como el valor zz que tengo para mi muestra?

Por lo tanto, un valor p pequeño significa que tu resultado es muy improbable según la hipótesis nula, y que hay pruebas sólidas contra la hipótesis nula: cuanto más pequeño es el valor p, más sólidas son las pruebas.

Para hallar el valor p, tienes que calcular la probabilidad de que el estadístico de contraste, ZZ, sea al menos tan extremo como el valor que hemos observado realmente, zz, siempre que la hipótesis nula sea cierta. (La probabilidad de un suceso calculada bajo la hipótesis de que H0\mathrm H_0 es cierta se denotará como Pr(eventoH0)\small \mathrm{Pr}(\text{evento} | \mathrm{H_0})) Es la hipótesis alternativa la que determina qué significa más extremo:

  1. Prueba z de dos colas: los valores extremos son aquellos cuyo valor absoluto es superior a z|z|, es decir, los menores que z-|z| o mayores que z|z|. Por tanto, tenemos:
valor p= Pr(Z ⁣ ⁣z  H0)+ Pr(Z ⁣ ⁣z  H0)\begin{split} \quad \text{valor p} &= \ \mathrm{Pr} (Z \! \leq \! - |z| \ | \ \mathrm{H_0}) \\[0.5em] &+ \ \mathrm{Pr} (Z \! \geq \! |z| \ | \ \mathrm{H_0}) \end{split}

La simetría de la distribución normal da:

valor p=2 Pr(Z ⁣ ⁣z  H0)\quad \text{valor p} = 2 \ \mathrm{Pr} (Z \! \leq \! - |z| \ | \ \mathrm{H_0})
  1. Prueba z de cola izquierda: los valores extremos son los menores que zz, entonces
valor p=Pr(ZzH0)\quad \text{valor p} = \mathrm{Pr} (Z \leq z | \mathrm{H_0})
  1. Prueba z de cola derecha: los valores extremos son los mayores que zz, por lo que
valor p=Pr(ZzH0)\quad \text{valor p} = \mathrm{Pr} (Z \geq z | \mathrm{H_0})

Para calcular estas probabilidades, podemos utilizar la función de distribución acumulada, (FDA) de N(0,1)\mathrm N(0, 1), que para un número real, xx, se define como:

Φ(x)=Pr(ZxH0)=12πxet22dt\begin{split} \Phi (x) &= \mathrm{Pr}(Z \leq x | \mathrm{H_0}) = \\[1em] &\quad \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt \end{split}

Además, los valores p pueden representarse como el área bajo la función de densidad de probabilidad (FDP) de N(0,1)\mathrm N(0, 1), debido a:

Pr(ZxH0)=Φ(x)=aˊrea a la izquierda de x\mathrm{Pr}(Z \leq x | \mathrm{H_0}) = \Phi(x) \\[0.5em] = \text{área a la izquierda de } x
Pr(ZxH0)=1Φ(x)=aˊrea a la derecha de x\mathrm{Pr}(Z \geq x | \mathrm{H_0}) = 1 - \Phi(x) \\[0.5em] = \text{área a la derecha de } x

Prueba Z de dos colas y prueba Z de una cola

Con todos los conocimientos que has adquirido en la sección anterior, estás preparado para aprender sobre las pruebas z.

  1. Prueba Z de dos colas:
valor p=Φ(z)+(1Φ(z))\small \text{valor p} = \Phi(-|z|) + (1 - \Phi(|z|))

Del hecho de que Φ(z)=1Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z), deducimos que

valor p=2Φ(z)=2(1Φ(z))\small \text{valor p} = 2 \Phi(-|z|) = 2(1 - \Phi(|z|))

El valor p es el área bajo la función de distribución de probabilidad (FDP) tanto a la izquierda de z-|z|, como a la derecha de z|z|:

Gráfico del valor p de dos colas
  1. Prueba Z de cola izquierda:
valor p=Φ(z)\small \quad \text{valor p} = \Phi(z)

El valor p es el área bajo la FDP a la izquierda de nuestro zz:

Gráfico del valor p de cola izquierda
  1. Prueba z de cola derecha:
valor p=1Φ(z)\small \quad \text{valor p} = 1 - \Phi(z)

El valor p es el área bajo la FDP a la derecha de zz:

Gráfico del valor p de cola derecha

¡La decisión de rechazar o no la hipótesis nula puede tomarse ahora a cualquier nivel de significación, α\alpha, que desees!

  • si el valor p es menor o igual que α\alpha, se rechaza la hipótesis nula a este nivel de significación;

  • si el valor p es mayor que α\alpha, entonces no hay pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula en este nivel de significación.

Valores críticos de la prueba Z y regiones críticas

El método del valor crítico consiste en comparar el valor del estadístico de contraste obtenido para nuestra muestra, zz, con los llamados valores críticos. Estos valores constituyen los límites de las regiones en las que es muy improbable que se encuentre el estadístico de contraste. Esas regiones suelen denominarse regiones críticas, o regiones de rechazo. La decisión de rechazar o no la hipótesis nula se basa entonces en si nuestro zz pertenece o no a la región crítica.

Las regiones críticas dependen de un nivel de significación, α\alpha, de la prueba, y de la hipótesis alternativa. La elección de α\alpha es arbitraria; en la práctica, los valores 0.1, 0.05 o 0.01 son los más utilizados como α\alpha.

Una vez acordado el valor de α\alpha, podemos determinar fácilmente las regiones críticas de la prueba Z:

  1. Prueba Z de dos colas:
 (,Φ1 ⁣ ⁣(α2) ⁣][Φ1 ⁣ ⁣(α2),)\small \ \left(-\infty, \Phi^{-1} \!\! \left( \frac{\alpha}{2} \right) \! \right] \cup \left[ \Phi^{-1} \!\! \left( \frac{\alpha}{2} \right), \infty \right)
(,Φ1 ⁣(α)]\small \quad \left(-\infty, \Phi^{-1} \! \left(\alpha \right) \right]
[Φ1 ⁣(1α),)\small \quad \left[ \Phi^{-1} \! \left( 1 - \alpha \right), \infty \right)

Para decidir que pasa con H0\mathrm H_0, comprueba si tu zz cae o no en la región crítica:

  • en caso afirmativo, rechaza H0\mathrm H_0 y acepta H1\mathrm H_1;

  • si la respuesta es negativa, entonces no hay pruebas suficientes para rechazar H0\mathrm H_0.

Como ves, las fórmulas para los valores críticos de las pruebas Z implican la inversa, Φ1\Phi^{-1}, de la función de distribución acumulada (FDA) de N(0,1)\mathrm N(0, 1).

¿Cómo utilizo la calculadora de prueba Z de una muestra?

Nuestra calculadora simplifica los pasos:

  1. Elige la hipótesis alternativa: de dos colas o de cola izquierda/derecha.

  2. En nuestra calculadora de prueba Z, puedes decidir si utilizas el método del valor p o el de las regiones críticas. En este último caso, establece el nivel de significación, α\alpha.

  3. Introduce el valor del estadístico de contraste, zz. Si no lo sabes, puedes introducir algunos datos que nos permitan calcular tu zz por ti:

    • media muestral xˉ\bar x (Si tienes los datos sin procesar, ve a la calculadora de medias para determinar la media);
    • media propuesta μ0\mu_0;
    • tamaño de muestra nn;
    • desviación estándar poblacional σ\sigma (o desviación estándar muestral si tu muestra es grande).
  4. Los resultados aparecen inmediatamente debajo de la calculadora.

Si quieres encontrar zz basándote en el valor p, recuerda que en el caso de las pruebas de dos colas hay dos valores posibles de zz: uno positivo y otro negativo, y son números opuestos. Esta calculadora de prueba Z devuelve el valor positivo en tal caso. Para encontrar el otro valor posible de zz para un valor p dado, solo tienes que tomar el número opuesto al valor de zz que muestra la calculadora.

Ejemplos de prueba Z

Para asegurarnos de que has comprendido bien la esencia de la prueba Z, veamos algunos ejemplos:

  1. Una máquina llenadora de botellas sigue una distribución normal. Su desviación típica, declarada por el fabricante, es igual a 30 ml. Un vendedor de zumos afirma que el volumen vertido en cada botella es, en promedio, de un litro, es decir, 1000 ml, pero sospechamos que, en realidad, el promedio es menor que ese...

Formalmente, las hipótesis que establecemos son las siguientes:

  • H0 ⁣:μ=1000 ml\mathrm H_0 \! : \mu = 1000 \text{ ml}

  • H1 ⁣:μ<1000 ml\mathrm H_1 \! : \mu \lt 1000 \text{ ml}

Hemos ido a una tienda y hemos comprado una muestra de 9 botellas. Tras medir cuidadosamente el volumen del contenido de cada botella, hemos obtenido la siguiente muestra (en mililitros):

1020,970,1000,980,1010,930,950,980,980\small 1020, 970, 1000, 980, 1010, 930, 950, 980, 980.

  • Tamaño de muestra: n=9n = 9;

  • Media de la muestra: xˉ=980 ml\bar x = 980 \ \mathrm{ml};

  • Desviación estándar de la población: σ=30 ml\sigma = 30 \ \mathrm{ml};

  • Por lo que

Z=(9801000)/309=2\quad Z = (980 - 1000) / \frac{30}{\sqrt 9} = -2
  • Y, por tanto, valor p=Φ(2)0.0228\text{valor p} = \Phi(-2) \approx 0.0228.

    Como 0.0228<0.050.0228 \lt 0.05, concluimos que nuestras sospechas no son infundadas; al nivel de significación más común, 0.05, rechazaríamos la afirmación del productor, H0\mathrm H_0, y aceptaríamos la hipótesis alternativa, H1\mathrm H_1.

  1. Lanzamos una moneda 50 veces. Obtenemos cruz 20 veces y cara 30. ¿Hay pruebas suficientes para afirmar que la moneda está sesgada?

    Está claro que nuestros datos siguen la distribución de Bernoulli, con una probabilidad de acierto pp y una varianza σ2=p(1p)\sigma^2 = p (1-p). Sin embargo, la muestra es grande, por lo que podemos realizar con seguridad una prueba Z. Adoptamos la convención de que obtener cruz es un éxito.

    Formulemos las hipótesis nula y alternativa:

    • H0 ⁣:p=0.5\mathrm H_0 \! : p = 0.5 (la moneda es justa, la probabilidad de salir cruz es 0.50.5)

    • H1 ⁣:p0.5\mathrm H_1 \! : p \ne 0.5 (la moneda está sesgada, la probabilidad de cruz difiere de 0.50.5)

En nuestra muestra tenemos 20 aciertos (representados por unos) y 30 fallos (representados por ceros), por lo que:

  • Tamaño de muestra n=50n = 50;

  • Media de la muestra xˉ=20/50=0.4\bar x = 20/50 = 0.4;

  • La desviación estándar de la población viene dada por σ=0.5×0.5\sigma = \sqrt{0.5 \times 0.5} (porque 0.50.5 es la proporción pp hipotetizada en H0\mathrm H_0). Por lo tanto, σ=0.5\sigma = 0.5;

  • Así que

Z=(0.40.5)/0.550=21.4142\begin{split} \quad Z &= (0.4 - 0.5)/ \frac{0.5}{\sqrt{50}} \\[0.5em] &= -\sqrt 2 \approx -1.4142 \end{split}
  • Y, por lo tanto,
valor p2 Φ(1.4142)0.1573\begin{split} \quad \text{valor p} &\approx 2 \ \Phi(-1.4142) \\[0.5em] &\approx 0.1573 \end{split}

Desde 0.1573>0.10.1573 \gt 0.1 no tenemos pruebas suficientes para rechazar la afirmación de que la moneda es justa, ni siquiera a un nivel de significación tan grande como 0.10.1. En ese caso, puedes utilizar la calculadora de probabilidad de lanzar una moneda para averiguar tus probabilidades de obtener, por ejemplo, 10 caras seguidas (¡que son extremadamente bajas!).

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre la prueba Z y la prueba t?

Utilizamos una prueba t de Student para comprobar la media poblacional de un conjunto de datos con distribución normal que tiene una desviación estándar poblacional desconocida. Esto se consigue sustituyendo la desviación estándar de la población en la fórmula del estadístico de la prueba Z por la desviación estándar de la muestra, lo que significa que este nuevo estadístico de contraste sigue (siempre que se cumpla H₀) la Distribución t de Student con n-1 grados de libertad en lugar de N(0,1).

¿Cuándo debo utilizar la prueba t en lugar de la prueba Z?

Para muestras grandes, la Distribución t de Student con n grados de libertad se aproxima a la N(0,1). Por tanto, mientras haya un número suficiente de puntos de datos (al menos 30), no importa realmente si utilizas la prueba Z o la prueba t, ya que los resultados serán casi idénticos. Sin embargo, para muestras pequeñas con varianza desconocida, recuerda utilizar la prueba t en lugar de la prueba Z.

¿Cómo calculo el estadístico de contraste Z?

Para calcular el estadístico de contraste Z:

  1. Calcula la media aritmética de tu muestra.
  2. A esta media, réstale la media propuesta en la hipótesis nula.
  3. Multiplica por la raíz cuadrada del tamaño de muestra.
  4. Divide por la desviación estándar de la población.
  5. Y listo, ¡acabas de calcular el estadístico de contraste Z!

Aquí, realizamos una prueba z para el valor medio de la población μ.

Hipótesis nula H₀: μ = μ₀.

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