Calculadora de probabilidad de cara o cruz

Bienvenido a la calculadora de probabilidad de cara o cruz, donde tendrás la oportunidad de aprender a calcular la probabilidad de obtener un número determinado de caras (o cruces) en un número determinado de lanzamientos. Este es uno de los problemas clásicos de la probabilidad, que más tarde se convirtió en un tema de gran interés en matemáticas.

Por ejemplo, ¿quizá te gusta Batman y conoces a uno de sus muchos villanos, Dos-Caras? Pensarías que su nombre se debe a que tiene la mitad de la cara quemada, ¡pero no! (Está bien, quizá un poco.) Tiene una moneda de la suerte que siempre lanza antes de hacer algo. Como esta moneda tiene dos caras, la probabilidad de que salga cara es de 1.

La probabilidad de que ocurra un suceso o evento se representa matemáticamente (numéricamente) con distintos valores, donde 1 significa que el evento siempre ocurrirá, mientras que una probabilidad de 0 significa que nunca ocurrirá. Los problemas clásicos de probabilidad suelen requerir que averigües con qué frecuencia se produce un resultado frente a otro y cómo afecta la ocurrencia de un suceso a la probabilidad de que se produzcan sucesos futuros. Cuando consideras todas las cosas que pueden ocurrir, la fórmula (igual que nuestra fórmula de probabilidad al lanzar una moneda) afirma que:

probabilidad = (nº de resultados con éxito) / (nº de todos los resultados posibles).

Toma como ejemplo la tirada de un dado. Si tienes un dado normal de 6 caras, entonces hay seis resultados posibles, es decir, los números del 1 al 6. Si es un dado justo, entonces la probabilidad de cada uno de estos resultados es la misma, es decir, 1 entre 6 o 1 / 6. Por tanto, la probabilidad de obtener 6 al lanzar el dado es 1 / 6. La probabilidad es la misma para el número 3 o el 2. Ya entiendes. Si no nos crees, toma un dado y lánzalo unas cuantas veces, y anota los resultados. Recuerda que cuantas más veces repitas un experimento, más fiables serán los resultados. Así que adelante, lánzalo, digamos, mil veces. Estaremos esperando aquí hasta que vuelvas para decirnos que hemos tenido razón todo el tiempo. Ve a la calculadora de probabilidad de dados si quieres un atajo.

¿Pero qué pasa si repites un experimento cien veces y quieres encontrar las probabilidades de que obtengas un resultado fijo al menos 20 veces?

Veamos otro ejemplo. Supongamos que practicas tenis y decides ponerte en busca de otra persona para poder jugar un torneo de dobles. En particular, tienes en mente decirle a 10 amigos para jugar un partido de prueba con cada uno y elegir al mejor. Aunque solo quieres que 4 respondan, ya que no tienes tiempo de jugar un partido con todos. Lo primero que debes hacer es evaluar tu rendimiento como tenista y puntuar tu habilidad. Sin dudarlo, determinas que eres un 9/10.

Como solo quieres que cuatro respondan tu invitación, y, basándonos en tu habilidad como tenista, podemos asumir que tendrás 9/10 chances de que cualquiera de esos cuatro acepte jugar contigo. También significa que quieres que los otros 6 rechacen tu invitación, y esto, al tener un juego inigualable, tiene una probabilidad de 1/10 de suceder (la suma de probabilidades de todos los sucesos posibles es siempre igual a 1, así que obtenemos este número restando 9 / 10 de 1). Si multiplicas la probabilidad de cada evento por el número de veces que quieres que se repita, obtienes la probabilidad de que este escenario hipotético se haga realidad. En este caso, tus probabilidades serían 210 × (9 / 10)⁴ × (1 / 10)⁶ = 0.000137781 donde el número 210 está dado por las combinaciones posibles de 4 personas que aceptarán entre 10 totales. Es bastante improbable, ¿verdad? ¡Quizás deberías intentar no jugar tan bien!

"¡Pero una pareja de dobles y las monedas son dos cosas distintas!" Bueno, déjame explicarte que estos dos problemas son básicamente lo mismo, es decir, desde el punto de vista de las matemáticas. Tanto si quieres lanzar una moneda como si quieres buscar una pareja para tenis, solo pueden darse dos posibilidades. En otras palabras, si asignas el éxito de tu experimento, ya sea obtener cruz o que alguien acepte tu invitación, a una cara de la moneda y la otra opción al reverso de la moneda, la probabilidad de lanzar la moneda determinará la respuesta. Todo se reduce a tener en tus manos una moneda con el peso adecuado. Matemáticamente, hablamos de la distribución de probabilidad binomial.

Veamos un ejemplo paso a paso para ver cómo calcular la probabilidad de un suceso utilizando la calculadora de cara o cruz:

1. Determina tu experimento. ¿Cuáles son las dos posibilidades que pueden ocurrir? Asigna cara a una de ellas y cruz a la otra.

2. ¿Cuántas veces vas a repetir el experimento? Pon ese número como número de intentos en la calculadora.

3. ¿Qué quieres conseguir? ¿Un número exacto de intentos con éxito? ¿Al menos un número determinado de intentos con éxito? ¿O no más de un número determinado de intentos con éxito? Elige la opción correcta de la lista.

4. ¿Cuántos intentos con éxito (exactos, al menos o como máximo) quieres tener? Pon ese número delante de caras.

5. (Opcional) Si tus caras y cruces no tienen la misma probabilidad de ocurrir, ve al modo avanzado, y pon el número correcto en el nuevo campo. Recuerda que en probabilidad clásica, la probabilidad no puede ser menor que 0 ni mayor que 1.

6. La calculadora de cara o cruz calculará automáticamente la probabilidad de que ocurra tu suceso.

¿Sabes que dicen que el dinero no puede comprar la felicidad? Pues bien, es cierto que hay veces en que una moneda no es suficiente si quieres contar la probabilidad de que algo ocurra. Si tu problema aún entra dentro del ámbito de la probabilidad clásica (lo que significa que puedes determinar cuántos resultados exitosos existen y cuántas posibilidades hay en general), entonces la fórmula de probabilidad de lanzar una moneda de la primera sección funcionará perfectamente.

Si quieres saber cuáles son tus posibilidades de ganar la lotería o de sobrevivir en una isla desierta, entonces las cosas empiezan a complicarse más que una simple probabilidad de cara o cruz. (De hecho, el primer caso se trata en la calculadora de lotería 🇺🇸 de Omni)

Si lanzas una moneda justa n veces, la probabilidad de obtener exactamente k caras es P(X=k) = (n en k)/2ⁿ, donde:

• (n en k) = n! / (k! × (n-k)!); y
• ! es el factorial, es decir, n! representa la multiplicación 1 × 2 × 3 × ... (n-1) × n.

Para calcular la probabilidad de 8 caras en 10 lanzamientos:

1. Recuerda la fórmula de la probabilidad de exactamente k caras en n lanzamientos: P(X=k) = (n en k)/2ⁿ.
2. Por tanto, la probabilidad de que salgan exactamente 8 caras en 10 lanzamientos es P(X=8) = (10 en 8)/2¹⁰ = 45/1024 ≈ 0.044.
3. Si necesitas la probabilidad de al menos 8 caras, halla P(X=8) + P(X=9) + P(X=10).
4. Tenemos P(X=9) = 10/1024 ≈ 0.0098 y P(X=10) = 1/1024 ≈ 0.001.
5. La respuesta es 0.044 + 0.0098 + 0.001 ≈ 0.0548.

Si lanzas una moneda 3 veces, la probabilidad de al menos 2 caras es del 50 %, mientras que la de exactamente 2 caras es del 37.5 %. He aquí el espacio muestral de 3 lanzamientos: {AAA, BAA, ABA, AAB, ABB, BAB, BBA, BBB}. Hay 8 resultados posibles. Tres contienen exactamente dos caras, por lo que P(exactamente dos caras) = 3/8 = 37.5 %. Un resultado contiene tres caras, por lo que P(al menos dos caras) = (3+1) / 8 = 50 %.

La probabilidad de que salga al menos 1 cara en 4 lanzamientos es del 93.75 %. Para ver por qué, observa que tenemos P(al menos 1 cara) = 1 - P(ninguna cara) = 1 - P(todas cruces) y P(todas cruces) = (1/2)⁴ = 0.0625. Por lo tanto, P(al menos 1 cara) = 1 - 0.0625 = 0.9375 = 93.75 %.