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Calculadora de la distribución binomial

Created by Jakub Janus, PhD and Jasmine J Mah
Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater
Translated by Álvaro Díez and Luis Hoyos
Last updated: Jan 18, 2024


Esta calculadora de distribución binomial está aquí para ayudarte con los problemas de probabilidad de la siguiente forma: ¿Cuál es la probabilidad de un determinado número de aciertos en una secuencia de sucesos? Sigue leyendo para saber qué es exactamente la distribución de probabilidad binomial, cuándo y cómo aplicarla, y para conocer la fórmula de la probabilidad binomial. Averigua con nosotros qué es la distribución binomial y descubre cómo se utilizan los experimentos binomiales en diversos contextos.

¿Qué es la probabilidad binomial?

Imagina que juegas a los dados. Para ganar, necesitas que exactamente tres de los cinco dados muestren un resultado igual o inferior a 4. Los dos dados restantes tienen que mostrar un número superior. ¿Cuál es la probabilidad de que ganes?

Se trata de un problema tipo que puedes resolver con nuestra calculadora de probabilidad binomial. Conoces el número de sucesos (es igual al número total de dados, es decir, cinco); conoces el número de aciertos que necesitas (exactamente 3); también puedes calcular la probabilidad de que ocurra un solo acierto (4 de 6, es decir, 0.667). Estos son todos los datos necesarios para hallar la probabilidad binomial de que ganes la partida de dados.

Ten en cuenta que para utilizar eficazmente la calculadora de la distribución binomial, los sucesos que analices deben ser independientes. Esto significa que todos los ensayos de tu ejemplo deben ser mutuamente excluyentes.

El éxito en el primer ensayo no afecta a la probabilidad de éxito ni a la probabilidad de fracaso en los sucesos siguientes; permanecen exactamente iguales. En el caso de un juego de dados, estas condiciones se cumplen: cada vez que lanzas un dado es un evento independiente.

A veces puede interesarte el número de intentos que necesitas para obtener un resultado determinado. Por ejemplo, puedes preguntarte cuántas tiradas de un dado son necesarias para lanzar un seis tres veces. Tales preguntas pueden abordarse utilizando una herramienta estadística relacionada llamada distribución binomial negativa. Puedes aprender más con la calculadora de la distribución binomial negativa 🇺🇸 de Omni.

También puedes consultar nuestra calculadora de aproximación a la normal de la binomial 🇺🇸 y la calculadora relacionada corrección por continuidad 🇺🇸.

Fórmula de la probabilidad binomial

Para hallar esta probabilidad, tienes que utilizar la siguiente ecuación:

P(X=r) = nCr × pr × (1-p)n-r

donde:

  • n - Número total de sucesos;
  • r - Número de aciertos necesarios;
  • p - Probabilidad de un éxito;
  • nCr - Número de combinaciones (llamadas "n en r");
  • P(X=r) - Probabilidad de que ocurra un número exacto de aciertos.

Debes tener en cuenta que el resultado es la probabilidad de un número exacto de aciertos. Por ejemplo, en nuestro juego de dados, necesitábamos exactamente tres aciertos, ni más ni menos. ¿Qué pasaría si cambiáramos las reglas para que se necesitaran al menos tres aciertos? Pues que tendrías que calcular la probabilidad de tres, cuatro y cinco aciertos exactos y sumar todos esos valores.

Cómo utilizar la calculadora de la distribución binomial: un ejemplo

Resolvamos juntos el problema del juego de los dados.

  1. Determina el número de sucesos. n es igual a 5, ya que tiramos cinco dados.

  2. Determina el número de aciertos necesarios. r es igual a 3, ya que necesitamos exactamente tres aciertos para ganar la partida.

  3. La probabilidad de sacar 1, 2, 3 o 4 en un dado de seis caras es 4 de 6, es decir, 0.667. Por lo tanto, p es igual a 0.667 o 66.7 %.

  4. Calcula el número de combinaciones (5 en 3). Puedes utilizar la calculadora de combinaciones para hacerlo. Este número, en nuestro caso, es igual a 10.

  5. Sustituye todos estos valores en la fórmula de probabilidad binomial anterior:

    P(X = 3) = 10 × 0.6673 × (1-0.667)(5-3)
    = 10 × 0.6673 × (1-0.667)(5-3)
    = 10 × 0.296 × 0.3332
    = 2.96 × 0.111 = 0.329

  6. También puedes ahorrar tiempo y utilizar la calculadora de la distribución binomial :)

Cómo calcular probabilidades acumulativas

A veces, en lugar de un número exacto de aciertos, quieres saber la probabilidad de obtener r o más aciertos o r o menos aciertos. Para calcular la probabilidad de obtener cualquier rango de aciertos:

  1. Utiliza la fórmula de la probabilidad binomial para calcular la probabilidad de éxito (P) para todos los valores posibles de r que te interesen.
  2. Suma los valores de P para todos los r que se encuentran dentro del intervalo de interés.

Por ejemplo, la probabilidad de obtener dos o menos aciertos al lanzar una moneda cuatro veces (p = 0.5 y n = 4) sería:

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

P(X ≤ 2) = 37.5 % + 25 % + 6.25 %

p(X ≤ 2) = 68.75 %

Este cálculo se hace más fácil con las opciones de la calculadora de la distribución binomial. Puedes cambiar las opciones para calcular la probabilidad de obtener:

  • Exactamente r aciertos: P(X = r)
  • r o más aciertos: P(X ≥ r)
  • r o menos aciertos: P(X ≤ r)
  • Entre r₀ y r₁ aciertos P(r₀ ≤ X ≤ r₁)

Experimentos de distribución de probabilidad binomial

La distribución binomial resulta muy práctica en ámbitos experimentales. Sin embargo, el resultado de un experimento aleatorio de este tipo tiene que ser binario: aprobar o suspender, presente o ausente, conformidad o rechazo. Es imposible utilizar este diseño cuando hay tres resultados posibles.

Al mismo tiempo, aparte de tirar dados o lanzar una moneda, puede emplearse en casos algo menos claros. Aquí tienes un par de preguntas que puedes responder con la distribución de probabilidad binomial:

  • ¿Funcionará un nuevo medicamento en un paciente seleccionado al azar?
  • ¿Funcionará correctamente una bombilla que acabas de comprar, o se estropeará?
  • ¿Cuál es la probabilidad de responder correctamente a una pregunta del examen que te ha tocado al azar?
  • ¿Cuál es la probabilidad de que un votante al azar vote a un candidato en unas elecciones?
  • ¿Qué probabilidad hay de que un grupo de estudiantes sea aceptado en una universidad prestigiosa?

Los experimentos con exactamente dos resultados posibles, como los anteriores, son ejemplos típicos de distribución binomial, a menudo llamados ensayos de Bernoulli.

En la práctica, fácilmente podrás encontrar ejemplos de probabilidad binomial en campos como el control de calidad, donde se utiliza este método para comprobar la eficacia de los procesos de producción. El proceso de inspección basado en la distribución binomial está diseñado para realizar un número suficiente de comprobaciones y minimizar las posibilidades de fabricar un producto defectuoso.

Si no conoces la probabilidad de un suceso independiente en tu experimento (p), recoge los datos históricos en uno de tus ejemplos de distribución binomial, y divide el número de éxitos (y) por el número total de sucesos p = y/n.

Una vez que hayas determinado tu tasa de éxitos (o fracasos) en un único suceso, tienes que decidir cuál es tu número aceptable de éxitos (o fracasos) a largo plazo. Por ejemplo, un producto defectuoso en un lote de cincuenta no es una tragedia, pero no te gustaría tener uno de cada dos productos defectuosos, ¿verdad?

Las pruebas de Bernoulli también son perfectas para resolver sistemas de redes. Curiosamente, pueden utilizarse para calcular trayectorias entre dos nodos de un diagrama. Es el caso de la red del puente de Wheatstone, una representación de un circuito construido para medir la resistencia eléctrica.

Al igual que la tabla de distribución binomial, nuestra calculadora produce resultados que te ayudan a evaluar las probabilidades de que alcances tu objetivo. Sin embargo, si quieres, puedes echar un vistazo a esta tabla de distribución binomial. Te indica cuál es el valor de la distribución binomial para una probabilidad y un número de aciertos dados.

Media y varianza de la distribución binomial

Una de las características más interesantes de las distribuciones binomiales es que representan la suma de un número n de eventos independientes. Cada uno de ellos (Z) puede asumir los valores de 0 o 1 a lo largo de un periodo determinado.

Digamos que la probabilidad de que ocurra cada Z es p. Como los sucesos no están correlacionados, podemos utilizar las propiedades de adición de las variables aleatorias para calcular la media (valor esperado) de la distribución binomial μ = np.

La varianza de una distribución binomial viene dada por: σ² = np(1-p). Cuanto mayor sea la varianza, mayor será la fluctuación de una variable aleatoria respecto a su media. Una varianza pequeña indica que los resultados que obtenemos están repartidos en un rango de valores más estrecho.

La desviación típica o desviación estándar de la distribución binomial, otra medida de la dispersión de una distribución de probabilidad, es simplemente la raíz cuadrada de la varianza, σ. Ten en cuenta que la desviación típica calculada a partir de tu muestra (las observaciones que reúnes realmente) puede diferir de la desviación típica de toda la población. Si esta distinción te resulta confusa, hay aquí tienes una gran explicación de la diferencia.

Hay una intuición clara detrás de estas fórmulas. Supongamos que esta vez lanzo una moneda 20 veces:

  • Mi p es entonces igual a 0.5 (a menos, claro está, que la moneda esté trucada);
  • Cada "Z" tiene una probabilidad equivalente a 0 o 1;
  • El número de pruebas, n, es 20.

Esta secuencia de acontecimientos cumple los requisitos de una distribución binomial.

El valor medio de este sencillo experimento es np = 20 × 0.5 = 10. Podemos decir que, en promedio, si repetimos el experimento muchas veces, deberíamos esperar que salga cara diez veces.

La varianza de esta distribución binomial es igual a np(1-p) = 20 × 0.5 × (1-0.5) = 5. Obtén la raíz cuadrada de la varianza y obtendrás la desviación típica de la distribución binomial, 2.24. Por tanto, los resultados típicos de un experimento de este tipo se desviarán de su valor medio en torno a 2. Lo que significa que, en la mayoría de los ensayos, esperamos obtener entre 8 y 12 aciertos.

Utiliza nuestra calculadora de probabilidad binomial para obtener la media, la varianza y la desviación típica de la distribución binomial a partir del número de sucesos que has proporcionado y la probabilidad de un éxito.

Otras consideraciones

Desarrollada por el matemático suizo Jacob Bernoulli, la distribución binomial es una formulación más general de la distribución de Poisson. En esta última, simplemente suponemos que el número de sucesos (ensayos) es enorme, pero la probabilidad de un único éxito es pequeña.

La distribución binomial está estrechamente relacionada con el teorema del binomio, que resulta útil para calcular permutaciones y combinaciones. Echa un vistazo también a nuestra calculadora de permutaciones 🇺🇸

Ten en cuenta que la fórmula de la distribución binomial describe una distribución discreta. Los posibles resultados de todos los ensayos deben ser distintos y no superponerse. Es más, los dos resultados de un suceso deben ser complementarios: para un p dado, siempre hay un suceso con probabilidad q = 1-p.

Si existe la posibilidad de obtener un resultado entre los dos, como 0.5, no se debe utilizar la fórmula de la distribución binomial. Lo mismo ocurre con los resultados que no son binarios, por ejemplo, un efecto en tu experimento puede clasificarse como bajo, moderado o alto.

Sin embargo, para un número suficientemente grande de ensayos, la fórmula de la distribución binomial puede aproximarse mediante la especificación de la distribución gaussiana (normal), con una media y una varianza dadas. Eso nos permite realizar la llamada corrección por continuidad, y tener en cuenta los argumentos no enteros en la función de probabilidad.

¿Quizá aún necesitas practicar un poco con los ejemplos de distribución de probabilidad binomial?

Vuelve a intentar resolver el problema del juego de dados, pero esta vez necesitas tres o más aciertos para ganarlo. ¿Qué te parecen las probabilidades de obtener exactamente 4?

FAQ

¿La distribución binomial es discreta o continua?

La distribución binomial es discreta: solo toma un número finito de valores.

¿Cómo puedo hallar la media de una distribución binomial?

Para calcular la media (valor esperado) de una distribución binomial B(n,p) tienes que multiplicar el número de ensayos n por la probabilidad de aciertos p, es decir: media = n × p.

¿Cómo puedo hallar la desviación típica de una distribución binomial?

Hallar la desviación típica de una distribución binomial B(n,p):

  1. Calcula la varianza como n × p × (1-p), donde n es el número de ensayos y p es la probabilidad de aciertos.
  2. Toma la raíz cuadrada del número obtenido en el Paso 1.
  3. ¡Ya está! Enhorabuena :)

¿Cuál es la probabilidad de 3 éxitos en 5 intentos si la probabilidad de éxito es 0.5?

Para encontrar esta probabilidad, necesitas

  1. Recordar la fórmula de distribución binomial P(X = r) = nCr × pʳ × (1-p)ⁿ⁻ʳ. La utilizaremos con los siguientes datos:

    • Número de intentos: n = 5;

    • Número de aciertos: r = 3;

    • Probabilidad de éxito: p = 0.5.

  2. Calcula 5 en 3: nCr = 10.

  3. Introduce estos valores en la fórmula:

    P(X = 3) = 10 × 0.5² × 0.5³ = 0.3125.

  4. La probabilidad que buscas es 31.25 %.

Jakub Janus, PhD and Jasmine J Mah
If there are...
Number of events (n)
Probability of success per event (p)
%
What is the probability of getting...
exactly r successes
Number of successes (r)
Probability of r successes
%
Mean number of successes
Variance
Standard deviation
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