Calculadora de Vetores

Boas-vindas à calculadora de vetores da Omni! Ela ajudará você a realizar e entender uma série de operações vetoriais. Você tem as coordenadas cartesianas de dois vetores ou apenas sabe suas direções, sentidos e módulos? Talvez você precise encontrar o vetor que conecta dois pontos? Esta calculadora de vetores pode ser aplicada em todas essas situações. Ela executa:

• adição de vetores;
• subtração de vetores;
• multiplicação de vetores (produto vetorial e produto escalar!); e
• projeções de vetores.

Como bônus, também ensinaremos a você o que é a norma de um vetor e como normalizar um vetor.

Em um sistema de coordenadas xy retangular (também chamado cartesiano), descrevemos o vetor a em um plano bidimensional por suas coordenadas cartesianas:

a = [a_x, a_y].

Essas coordenadas correspondem ao processo de decompor o vetor a em um deslocamento horizontal a_x ao longo do eixo x e em um deslocamento vertical a_y ao longo do eixo y.

Da mesma forma, descrevemos os vetores no espaço tridimensional usando o sistema cartesiano xyz com três entradas:

a = [a_x, a_y, a_z],

que correspondem a deslocamentos ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente.

Também podemos descrever um vetor plano em termos de sua direção e módulo. O módulo de um vetor é seu comprimento (também chamado de norma ou magnitude), e a direção de um vetor é o ângulo entre o eixo horizontal e o vetor.

Sejam [a_x, a_y] as coordenadas cartesianas de um vetor com módulo m e direção θ. Para converter um conjunto de coordenadas em outro, use as fórmulas a seguir:

a_x = m × cos(θ)

a_y = m × sen(θ)

Se você precisar determinar um vetor que conecta dois pontos, ou seja, a partir do ponto inicial e final, basta fazer a subtração das coordenadas destes pontos, ou seja:

• Ponto inicial (origem): a = [a_x, a_y, a_z]

• Ponto final: b = [b_x, b_y, b_z]

• As coordenadas do vetor resultante entre esses dois pontos são:

  [b_x - a_x, b_y - a_y, b_z - a_z]

Vamos dar uma olhada em um exemplo:

• Ponto inicial: [1, 2, 3]

• Ponto final: [1, 1, -1]

• Coordenadas do vetor entre esses dois pontos:

  [1 - 1, 1 - 2, 3 - (-1)] = [0, -1, 4]

A normalização de vetores é simplesmente apertar/esticar um vetor para que ele tenha módulo unitário, ou seja, igual a 1. Lembre-se de que a direção de um vetor deve ser mantida mesmo após a normalização!

Você pode encontrar a norma de um vetor aplicando o teorema de Pitágoras. A norma de um vetor é seu módulo, sendo este, a raiz quadrada da soma do quadrado de cada uma das coordenadas do seu vetor. A fim de normalizar, divida cada coordenada do vetor inicial pela norma. Você também pode usar a calculadora da norma de um vetor 🇺🇸 para determinar o módulo de qualquer vetor instantaneamente.

Exemplo:

Seja a = [2, 3, 4]. Vamos encontrar a norma de a:

|a| = √(4 + 9 + 16) = √29

A normalização de a nos dá o vetor a/|a| = [2/√29, 3√29, 4/√29]. Você sabia que temos uma ferramenta dedicada a esse tópico? Acesse a nossa calculadora de vetor unitário.

Para usar a calculadora de vetores, basta que você siga os passos abaixo:

1. Informe se você está lidando com vetores planos (2D) ou espaciais (3D).
2. Decida a operação vetorial que você deseja realizar. Você pode escolher adição ou subtração de vetores, multiplicação de vetores (produto escalar ou vetorial), normalização, projeção de vetores ou encontrar o vetor entre dois pontos.
3. Insira seus dados. Você pode escolher entre coordenadas cartesianas ou direção e módulo do vetor (esta última opção no caso de vetores planos).
4. A nossa calculadora de vetores retornará os resultados imediatamente 😊!

• Em coordenadas cartesianas, podemos realizar a soma de vetores simplesmente somando as componentes correspondentes de cada vetor, ou seja:

  para a = [a_x, a_y, a_z],

  e b = [b_x, b_y, b_z],

  temos a + b = [a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z].

  Exemplo:

  A soma de a = [2, 3, 4] e b = [1, -2, 3] é:

  a + b = [2 + 1, 3 + (-2), 4 + 3] = [3, 1, 7]

• Método gráfico: para dois vetores a e b, se você quiser obter a soma vetorial a + b, coloque a origem de b na ponta da seta de a. O vetor resultante vai da origem de a até a ponta da seta de b. Essa regra é conhecida como a lei do paralelogramo:

A subtração envolvendo os vetores a e b pode ser entendida como a soma de a com -b. Para obter o vetor -b, reescreva as coordenadas do vetor b com sinais opostos, ou seja, troque os sinais positivos por negativos e os negativos por positivos:

assim, se b = [1, -2, 4],

então, -b = [-1, 2, -4]

• Consequentemente, em coordenadas cartesianas, a subtração a - b é realizada seguindo os passos abaixo:

  se a = [a_x, a_y, a_z]

  e b = [b_x, b_y, b_z],

  então, a - b = [a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z].

  Exemplo:

  A subtração de a = [2, 3, 4] e b = [1, -2, 3] é dada por

  a - b = [2 - 1, 3 - (-2), 4 - 3] = [1, 5, 1].

• Método gráfico: você obtém o vetor a - b colocando a ponta da seta de b na ponta da seta de a e desenhando um vetor que parte da origem de a até a origem de b:

Tenha cuidado quando quiser multiplicar vetores. Há vários tipos de produtos envolvendo vetores! Os mais populares são o produto vetorial e o produto escalar, que descrevemos a seguir:

Multiplicação de vetores - Produto vetorial

O produto vetorial é uma operação denotada pelo operador × envolvendo dois vetores e retornando outro vetor.
A fórmula é a seguinte:

a × b = |a| × |b| × sen(θ) × n,

onde:

• θ: ângulo entre a e b;
• |a| e |b|: módulos de a e b; e
• n: vetor unitário perpendicular aos vetores a e b, determinado pela famosa Regra da Mão Direita.

Regra da mão direita:

Posicione a mão direita de modo que o dedo indicador aponte para o vetor a e o dedo médio para o vetor b: o polegar mostra a direção do produto vetorial a × b.

• Interpretação gráfica: O vetor resultante a × b forma um ângulo reto (perpendicular) em relação aos vetores iniciais e seu módulo é igual à área de um paralelogramo traçado a partir dos vetores a e b:

• Considerando coordenadas cartesianas:

  se a = [a_x, a_y, a_z],

  e b = [b_x, b_y, b_z], temos

  a × b = [a_y×b_z - a_z×b_y, a_z×b_x - a_x×b_z, a_x×b_y - a_y×b_x].

  Exemplo:

  O produto vetorial de a = [2, 3, 4] e b = [1, -2, 3] é igual a

  `a × b = [3 × 3 - 4 × (-2), 4 × 1 - 2 × 3, 2 × (-2) - 3 × 1] = [17, -2, -7]`.
  

• Sim, a fórmula parece um pouco intimidadora. É mais fácil lembrar dela quando você percebe que as coordenadas do produto são equivalentes aos determinantes das matrizes 2 x 2 construídas a partir das componentes dos vetores iniciais:

1. A primeira coordenada do vetor resultante é:

2. A segunda coordenada do vetor resultante é:

3. A terceira coordenada do vetor resultante é:

• Tenha cuidado com a ordem dos vetores porque, ao contrário do produto escalar, a ordem importa para o produto vetorial! Mais precisamente, temos que b × a = - a × b, portanto, se você errou na ordem, basta mudar o sinal e tudo ficará bem 🙃

• O produto vetorial tem muitas aplicações em física e engenharia, por exemplo, você pode usá-lo para determinar a força de Lorentz agindo sobre partículas carregadas sujeitas a campos elétricos e magnéticos. Confira nossa calculadora de força de Lorentz 🇺🇸 e nossa calculadora de produto vetorial 🇺🇸 para ver outros exemplos!

Multiplicação de vetores - Produto escalar

O produto escalar é uma operação denotada pelo operador · que envolve dois vetores e retorna um número (ou um escalar). Para dois vetores a e b, o produto escalar é o produto de seus módulos (normas) |a| e |b| pelo cosseno do ângulo θ entre eles, ou seja:

a · b = |a| × |b| × cos(θ).

• Em coordenadas cartesianas, o produto escalar é a soma dos produtos das coordenadas correspondentes de seus dois vetores:

  a · b = a_x × b_x + a_y × b_y + a_z × b_z

  Exemplo:

  O produto escalar de a = [2, 3, 4] e b = [1, -2, 3] é

  a · b = 2 × 1 + 3 × (-2) + 4 × 3 = 2 - 6 + 12 = 8.

• Como você já deve ter concluído a partir da fórmula, a ordem não importa neste tipo de produto, assim: a · b = b · a.

• Dica: calcular o produto escalar de um vetor com ele mesmo é equivalente ao quadrado do módulo (norma) do vetor: a · a = |a|²!

• Para obter mais detalhes, consulte a calculadora de produto escalar 🇺🇸 da Omni.

A projeção de b sobre a consiste em calcular a componente do vetor b paralela ao vetor a. Portanto, para encontrá-la, você só precisa determinar o fator de projeção escalar apropriado

• Fórmula:

  A projeção de b sobre a é o vetor a multiplicado pelo fator:

  a · b / |a|².

  Exemplo:

  Sejam a = [2, 3, 4] e b = [1, -2, 3]. Vamos calcular a projeção de b sobre a. Primeiro, vamos encontrar o fator de projeção escalar. Vimos anteriormente que a · b = 8 e |a| = √29. Consequentemente, a projeção de b sobre a é:

  8/29 · [2, 3, 4] = [16/29, 24/29, 32/29]

• Para encontrar a projeção de b sobre a graficamente, você precisa decompor b ao longo dos eixos paralelo e perpendicular a a. A componente paralela ao vetor a é a projeção de b sobre a. Você também pode pensar nisso como a sombra que o vetor b projetaria no vetor a se houvesse uma fonte de luz acima destes vetores:

Para saber mais sobre a projeção de vetores, acesse a calculadora de projeção de um vetor 🇺🇸 da Omni.

Um vetor é um objeto matemático definido por:

• Um módulo/magnitude; e
• Uma direção e um sentido.

Eles são substancialmente diferentes das quantidades escalares, uma vez que, escalares não mudam de valor com a direção.

Os vetores têm ampla aplicação na física, onde são usados para descrever posição e velocidade, por exemplo.

Se você considerar os vetores a e b, poderá encontrar a projeção de a sobre b seguindo os passos a seguir:

1. Calcule o produto escalar entre a e b: a · b.
2. Calcule o produto escalar de b por ele mesmo: b · b.
3. Faça a razão entre os dois resultados: (a · b)/(b · b).
4. Multiplique o resultado (um escalar) pelo vetor b: [(a · b)/(b · b)] × b.

O produto escalar de dois vetores é uma operação que consiste em somar o produto de cada uma de suas componentes.

Se você tiver dois vetores, a = (a₁, a₂, a₃, ..., a_n) e b = (b₁, b₂, b₃, ..., b_n), siga os passos a seguir para computar o produto escalar:

1. Calcule o produto de cada par de componentes: a₁ × b₁, a × b₂, etc.
2. Some os resultados: (a₁ × b₁) + (a₂ × b₂) + ....

Observe que você só pode calcular o produto escalar de vetores com o mesmo número de componentes.

Para computar a norma, ou módulo, de um vetor com as componentes (3,1,4,1,5), aplique o teorema de Pitágoras generalizado sobre todas as componentes. Se o vetor for a = (a₁, a₂, a₃, ..., a_n), você encontrará a norma a partir da seguinte equação:

|a| = √(a₁² + a₂² + a₃² + ... + a_n²)

No caso do vetor (3,1,4,1,5), o módulo é:

√(3² + 1² + 4² + 1² + 5²) = √(9+1+16+1+25) = √(52) ≈ 7,21