Calculadora de Mudança de Fase

Boas-vindas à calculadora de mudança de fase da Omni, onde estudaremos as funções trigonométricas e como calcular suas mudanças de fase. Na verdade, abordaremos mais do que isso: também explicaremos como encontrar a amplitude e como encontrar o período de uma oscilação. Podemos verificar que uma enorme classe de funções se comporta praticamente da mesma forma, e as diferenças se resumem em especificar os valores mencionados acima: a amplitude, o período e a mudança de fase. Podemos calcular também o deslocamento vertical de uma função comparado às funções trigonométricas seno e cosseno.

Como mencionamos acima, nos concentraremos aqui nas funções trigonométricas: mais especificamente no seno e no cosseno. No entanto, é importante lembrar que muitos dos conceitos aqui abordados possuem aplicações em funções mais gerais, como, por exemplo, a translação horizontal ou deslocamento vertical.

Em primeiro lugar, vamos ver um gráfico que mostra a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical (observe que a mesma imagem aparece na parte superior da calculadora de mudança de fase da Omni).

Podemos escrever essas funções com a fórmula (às vezes chamada de equação de mudança de fase ou fórmula de mudança de fase):

ou

onde $A$, $B$, $C$, $D$ são números reais arbitrários. Além disso, $A$ e $B$ são diferentes de zero (caso contrário, f(x) não seria uma função trigonométrica). Esses quatro parâmetros determinam a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical da função, respectivamente. A imagem acima ilustra como eles afetam o gráfico da função. Ainda assim, para que você entenda melhor os elementos presentes nesta figura, faremos uma breve descrição de cada um deles.

1. A amplitude é a medida da variação da função a partir da linha central do gráfico. Para um seno ou cosseno simples, seu valor é $1$, pois a linha central está em $0$ e os valores da função variam de $-1$ a $1$.

2. O período é o comprimento no eixo horizontal, após o qual a função começa a se repetir. Em outras palavras, o gráfico como um todo é formado por cópias da função dentro do intervalo do período coladas uma após a outra. Para um seno ou cosseno simples, o período é igual a $2\pi$, pois $\mathrm{sen}(0) = \mathrm{sen}(2\pi) = \mathrm{sen}(4\pi) = ...$

3. A mudança de fase (também chamada de deslocamento horizontal ou translação horizontal) descreve a distância horizontal em que o gráfico foi movido em relação ao seno ou cosseno regular. Dessa forma, o valor é igual a $0$ se você tiver as duas funções sobrepostas ou em fase.

4. O deslocamento vertical (também chamado de translação vertical) descreve o quanto o gráfico foi deslocado verticalmente em relação ao seno ou cosseno regular. Em outras palavras, é o deslocamento de fase em relação à direção perpendicular. Em particular, o valor é novamente igual a $0$ se tivermos as duas funções inalteradas.

Muito bem, aprendemos o que é a mudança de fase, bem como os três valores que a acompanham. As seções abaixo descrevem como calcular cada um deles com base na notação da fórmula de mudança de fase acima. Primeiro, mostramos como encontrar a amplitude.

O conceito que introduzimos é muito difundido no estudo de movimentos oscilatórios e harmônicos. Essas oscilações são excelentes aplicações das funções trigonométricas. Você pode descobrir a conexão na calculadora de trigonometria da Omni ou aprender mais sobre as várias funções que aparecem quando você analisa um pêndulo na calculadora de funções trigonométricas 🇺🇸 ou nas nossas ferramentas mais específicas: a calculadora de cosseno 🇺🇸 e a calculadora de seno 🇺🇸!

Sabemos que as funções seno e cosseno têm valores que variam de $-1$ a $1$. Além disso, esse simples fato não muda se substituirmos $\mathrm{sen}(x)$ ou $\cos(x)$ por $\mathrm{sen}(Bx - C)$ ou $\cos(Bx - C)$ considerando $B$ diferente de zero e $C$ arbitrário. Na verdade, isso ocorre porque a função $f(x) = Bx - C$ é do tipo bijetora (ou seja, uma correspondência de um para um) no espaço dos números reais.

Vamos ver o que acontece se adicionarmos $D$, ou seja, se tivermos $\mathrm{sen}(Bx - C) + D$ ou $\cos(Bx - C) + D$. Como vimos, anteriormente a função variava entre $-1$ e $1$, já neste caso, os valores máximo e mínimo passam a variar entre $-1 + D$ e $1 + D$ (consulte a seção "Como encontrar o deslocamento vertical" para comparação). Isso significa que metade do gráfico da função estará acima e metade estará abaixo de $D$, contudo, a amplitude ainda continua igual a $1$.

Portanto, a única coisa que pode afetar a amplitude nas fórmulas de mudança de fase $A\cdot\mathrm{sen}(Bx - C) + D$ e $A\cdot\cos(Bx - C) + D$ é o valor do parâmetro $A$. Uma vez que $\mathrm{sen}(Bx - C)$ e $\cos(Bx - C)$ variam entre $-1$ e $1$, ao multiplicarmos estas funções por $A$, o intervalo será alterado para $-1\cdot A = -A$ e $1 \cdot A = A$.

Consequentemente, a amplitude das equações de mudança de fase $A \cdot\mathrm{sen}(Bx - C) + D$ e $A \cdot\cos(Bx - C) + D$ é simplesmente igual a $A$.

Lembre-se de que as funções seno e cosseno têm períodos iguais a $2\pi$, ou seja, temos $\mathrm{sen}(x + 2\pi) = \sin(x)$ e $cos(x + 2\pi) = cos(x)$ para qualquer $x$. Deste modo, ficamos com:

e

Portanto, vemos que $A$ e $D$ não têm efeito sobre o período. Na verdade, tudo se resume ao que acontece nos argumentos das funções trigonométricas. Além disso, veja que:

e

As equações acima mostram que $C$ também não altera o período das funções trigonométricas. Portanto, após descartarmos as contribuições desses três parâmetros, nos resta considerar que o quarto é o responsável por alterar o período, ou seja, a constante $B$.

Vejamos como $B$ altera o período das funções trigonométricas $A \cdot \mathrm{sen}(Bx - C) + D$ e $A \cdot \cos(Bx - C) + D$:

Portanto, a cada $2\pi/B$ adicionado ao argumento $x$, voltamos ao mesmo ponto, e a função se repete (o mesmo ocorre com a função cosseno).

Resumindo, o período de uma equação de mudança de fase é igual a $2\pi/B$.

No dia a dia, quando buscamos alguma informação sobre ondas, geralmente elas são descritas a partir da frequência ao invés do período, contudo, estas grandezas estão conectadas. Descubra como na calculadora de frequência da Omni.

Por definição, a mudança de fase descreve o deslocamento horizontal da função em relação à forma regular do $\mathrm{sen}(x)$ ou do $\cos(x)$. Assim, se as funções estiveram em fase, esse parâmetro é igual a $0$. Observe que ao compararmos os gráficos das funções seno e cosseno

constatamos que podemos obter uma a partir da outra usando um deslocamento horizontal ou uma mudança da fase. Matematicamente, as mudanças de fase responsáveis por cada transformação podem ser escritas como:

e

O exemplo acima sugere onde devemos procurar pelos valores responsáveis pela mudança de fase nas equações $A \cdot\sin(Bx - C) + D$ e $A \cdot\cos(Bx - C) + D$. Ao contrário da amplitude e do período, vemos que no caso da mudança de fase precisaremos de duas das quatro constantes.

Em geral, (ou seja, não apenas em equações de mudança de fase), obtemos o deslocamento horizontal de uma função arbitrária $f(x)$ a partir da relação $f(x - a)$: a qual é equivalente a um deslocamento do gráfico de $a$ para a direita. Em outras palavras, substituímos cada ocorrência de $x$ por $x - a$ na fórmula para $f(x)$. Por exemplo, no caso do $\mathrm{sen}(x)$, obtemos $\mathrm{sen}(x - a)$, já para $\cos(3x + 1)$, ficamos com:

Em outras palavras, não podemos nos esquecer das constantes que multiplicam $x$.

Em nosso caso, a fórmula de mudança de fase fornece:

que equivale a um deslocamento de fase de $C/B$ (para a direita) da função $A \cdot\mathrm{sen}(Bx)$. Obviamente, também podemos repetir o procedimento acima para a função cosseno.

Em resumo, para calcular a mudança de fase de $f(x)$, você precisa encontrar $C/B$.

Esse é o parâmetro mais fácil, especialmente agora que vimos como obter a mudança de fase, a amplitude e o período. Vamos nos basear no que aprendemos até agora.

Sabemos que nas fórmulas de mudança de fase $A \cdot\mathrm{sen}(Bx - C) + D$ e $A \cdot\cos(Bx - C) + D$, o parâmetro $A$ determina os valores máximo e mínimo da sua oscilação. A constante $B$ especifica onde o gráfico irá se repetir e com que frequência. Além disso, combinando essa constante com o parâmetro $C$, podemos verificar se a função foi deslocada para a direita ou para a esquerda.

Obviamente, a translação horizontal não afeta o deslocamento vertical, afinal, estas são duas direções perpendiculares. Por outro lado, a amplitude apenas nos diz até onde o gráfico chega verticalmente, mas não o desloca. Em suma, só nos resta um parâmetro: o $D$.

O parâmetro $D$ nas equações de mudança de fase é precisamente o responsável pelo deslocamento vertical. Ele determina o intervalo da função, ou seja, o quanto deslocamos verticalmente a função em relação às funções trigonométricas originais.

Isso conclui nossas abordagens teóricas. É hora de você ver como calcular o deslocamento de fase em um exemplo. Mostraremos a você como encontrar o período, a amplitude e o deslocamento vertical.

Vamos ver como encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical da função $f(x) = 0{,}5 \cdot\mathrm{sen}(2x - 3) + 4$. Em primeiro lugar, deixaremos que a calculadora de deslocamento de fase do Omni faça o trabalho por você.

Na parte superior da nossa ferramenta, precisamos escolher a função que aparece em nossa fórmula. No nosso caso, escolhemos a opção "seno". Esse procedimento acionará uma representação simbólica dessa equação de mudança de fase: $f(x) = A \cdot\mathrm{sen}(Bx - C) + D$. Considerando a função que desejamos analisar, inclua os seguintes dados na calculadora:

No momento em que fornecemos o último parâmetro, o gráfico da função aparece abaixo junto com os valores para a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical. Além disso, observe que, se necessário, você pode usar a opção "Calcular f(x) em um ponto ", localizada na parte inferior da calculadora, para encontrar o valor da função em qualquer ponto $x_0$.

Agora vamos explicar como encontrar o deslocamento de fase e todos os outros valores por conta própria. Para isso, basta relembrar as quatro seções discutidas anteriormente. Assim, neste caso teremos que:

• A amplitude é $A = 0{,}5$;
• O período é $2\pi / B = 2\pi / 2 = \pi$;
• A mudança de fase é $C / B = 3 / 2 = 1{,}5$; e
• O deslocamento vertical é $D = 4$.

Desta forma, o gráfico tem a seguinte representação:

Não foi tão difícil assim, não é mesmo? Continue explorando a calculadora de mudança de fase para ver como diferentes parâmetros afetam o gráfico.