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Pode parecer óbvio, mas a distância euclidiana nada mais é do que a distância entre dois pontos, tal e qual a usamos no dia a dia. Descubra mais sobre como calculá-la com a calculadora de distância euclidiana da Omni!

Aqui você aprenderá:

  • O que é a distância euclidiana?
  • Fórmulas:
    • a distância entre dois pontos e a distância entre três pontos;
    • a distância entre um ponto e uma reta;
    • a distância entre duas retas.
  • Outras utilidades da distância euclidiana.

O que é a distância euclidiana?

A distância euclidiana é uma métrica definida no espaço euclidiano (o espaço físico que nos cerca, com algumas dimensões a mais ou a menos). Em poucas palavras, a distância euclidiana mede o caminho mais curto entre dois pontos em um espaço plano n-dimensional.

Podemos definir a distância euclidiana somente em espaços planos: em superfícies curvas, coisas estranhas acontecem, e as retas não são necessariamente as trajetórias mais curtas!

Como calcular a distância euclidiana?

A distância euclidiana é definida por meio das coordenadas cartesianas dos pontos analisados. Você pode pensar nela como o vetor de deslocamento entre dois pontos. Em nossa calculadora de distância euclidiana, ensinamos a você como calcular:

  • A distância euclidiana entre dois ou três pontos em espaços de uma a quatro dimensões;
  • A distância euclidiana entre um ponto e uma reta em um espaço 2D; e
  • A distância euclidiana entre duas retas paralelas em um espaço 2D.

Distância euclidiana entre dois pontos

Para encontrar a distância euclidiana entre dois pontos, você precisa saber as coordenadas desses pontos.

Tome um ponto genérico pp. Você pode escrever suas coordenadas como:

p=(p1,p2,p3,...)p = (p_1,p_2,p_3,...)

O número de componentes depende da dimensionalidade do espaço.

Para calcular a distância entre o ponto pp e o ponto qq, aplicamos uma forma generalizada do Teorema de Pitágoras:

 ⁣d(p,q) ⁣= ⁣(q1 ⁣ ⁣p1)2 ⁣+ ⁣(q2 ⁣ ⁣p2)2 ⁣+ ⁣=i=1n(qipi)2\small \begin{align*} \!d(p,q)\!&=\!\sqrt{(q_1\!-\!p_1)^2\!+\!(q_2\!-\!p_2)^2\!+\!\dots}\\ \\ &=\sqrt{\sum_{i=1}^n(q_i-p_i)^2} \end{align*}

onde nn é a dimensionalidade do espaço.

Como você pode ver, é tudo muito fácil!

Distância euclidiana entre três pontos

Vejamos como determinar três distâncias possíveis entre três pontos distintos. Esse resultado pode ser aplicado no cálculo da medida dos lados de um triângulo, por exemplo.

Considerando os pontos pp, qq, e rr, podemos encontrar as seguintes distâncias entre eles:

d(p,q)=i=1n(qipi)2d(q,r)=i=1n(qiri)2d(p,r)=i=1n(piri)2\begin{align*} d(p,q)&=\sqrt{\sum_{i=1}^n(q_i-p_i)^2}\\ \\ d(q,r)&=\sqrt{\sum_{i=1}^n(q_i-r_i)^2}\\ \\ d(p,r)&=\sqrt{\sum_{i=1}^n(p_i-r_i)^2} \end{align*}

É interessante notar que este conceito pode ser expandido para n tuplos.

Distância euclidiana entre um ponto e uma reta

Para encontrar a distância de um ponto a uma reta (em duas dimensões), precisamos considerar que uma reta nada mais é do que um conjunto de pontos que satisfazem uma equação. A distância entre um ponto e uma reta a qual nos referimos é, então, a distância mínima entre o ponto e a reta.

Primeiramente, devemos notar que o segmento de reta que liga o ponto ao ponto da reta satisfazendo a condição acima, é perpendicular à própria reta. Para encontrar a distância, usamos esta fórmula:

d=ap1+bq1+ca2+b2d=\frac{\left\lvert a\cdot p_1 +b\cdot q_1 + c\right\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}

onde aa, bb e cc são os coeficientes da equação da reta na forma: ax+by+c=0a\cdot x + b\cdot y + c = 0. Se estivermos considerando a expressão mais comumente encontrada y=mx+cy = m\cdot x + c, usaremos esta fórmula:

d=mp1+q1+cm2+1d=\frac{\left\lvert m\cdot p_1 + q_1 + c\right\rvert}{\sqrt{m^2+1}}

Distância euclidiana entre duas retas paralelas

Para calcular a distância entre duas retas paralelas, usamos a seguinte equação:

d=c2c1a2+b2d=\frac{\lvert c_2-c_1 \rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}

onde as equações das retas são dadas por:

  • a1x+b1y1+c1a_1\cdot x+b_1\cdot y_1 + c_1; e
  • a2x+b2y1+c2a_2\cdot x+b_2\cdot y_1 + c_2.

Entretanto, há uma forte restrição sobre as escolhas dos coeficientes. Como duas retas não paralelas se cruzariam em um determinado ponto do plano, dando uma distância trivial d=0d=0, definimos a distância euclidiana somente no caso de retas paralelas. Essa restrição implica nos vínculos:

  • a1=a2=aa_1=a_2=a;
  • b1=b2=bb_1=b_2=b; e
  • c1c2c_1\neq c_2.

Usando a equação reduzida da reta, a fórmula para a distância se torna:

d=c2c1m2+1d=\frac{\lvert c_2-c_1 \rvert}{\sqrt{m^2+1}}

Distância euclidiana como uma distância entre pontos em um conjunto

A distância euclidiana está se tornando um conceito importante no aprendizado de máquina (a versão menos ficção científica da inteligência artificial), onde a distância entre pontos em espaços de atributos arbitrários é medida com métricas. As mais comumente usadas são:

  • A distância de Minkowski;
  • A distância Manhattan; e
  • A distância Euclidiana.

Cada uma delas é apropriada para determinados dados: a distância Manhattan para valores inteiros e a distância Euclidiana para dados de valores reais. A distância de Minkowski é uma generalização de ambas.

É interessante observar como um conceito físico e concreto (a distância entre dois pontos) é traduzido em uma distância em um espaço de dados: a diferença é que, ao calcular a distância entre a sua casa e a casa de um amigo, você pode generalizar a distância entre duas cores, dois modelos de carro, etc.

Como usar a calculadora de distância euclidiana?

Primeiro, escolha os objetos para os quais você está calculando a distância: para pontos, você também pode escolher a dimensionalidade do espaço.

Em seguida, insira as coordenadas dos pontos ou os parâmetros das retas. Mostraremos a distância e os passos para que você a calcule. Você não precisa fazer mais nada!

Distância euclidiana e além

A distância euclidiana é uma maneira específica, porém comum, de medir a distância. No entanto, criamos ainda mais calculadoras específicas para determinados tópicos e problemas, acesse a:

FAQ

Qual é a distância entre duas retas paralelas com equações y = 2x + 3 e y = 2x - 4?

A distância é de 3,13. Para calcular,

  1. Identifique os parâmetros das retas:

    • m=2 (o valor é o mesmo para ambas as retas, pois elas são paralelas); e

    • c₁ = 3, e c₂ = -4.

  2. Aplique a equação para a distância entre duas retas paralelas:

    d = | c₁ - c₂ |/(√[m² + 1])
    d = | 3 + 4 |/(√[2² + 1] = 3,13

Como calcular a distância entre um ponto e uma reta?

Para calcular a distância entre um ponto e uma reta, siga estas etapas:

  1. Defina as coordenadas e os parâmetros dos objetos.

  2. Calcule a distância usando a fórmula:

    d = | m ⋅ p₁ + q₁ + c |/(√[m² + 1])

  3. E é isso! Para calcular a distância, tivemos que calcular a área de um triângulo no espaço de coordenadas e, em seguida, calcular sua altura.

A fórmula da distância ainda é válida em um espaço de 4 dimensões?

Sim: o conceito de distância existe em qualquer espaço euclidiano com um número arbitrário de dimensões. No entanto, pode ser difícil visualizar um espaço de 4 dimensões. Imagine um carro que se moveu de um ponto A para um ponto B em um determinado tempo t. Se você considerar o tempo como sua quarta dimensão, verá que, se congelar o movimento, o carro não estará se movendo. Assim, precisamos da quarta dimensão para definir a distância!

Qual é a distância entre o ponto p = (1,2) e o ponto q = (2,3)?

d = 1,414. Para calcular a distância entre esses dois pontos em um plano, basta aplicar a fórmula:

√[(p₂ - p₁)² + (q₂ - q₁)²]

Nesse caso:

√[(2 - 1²) + (3 - 2²] = √2 = 1,414

Observe como a distância entre esses dois pontos específicos corresponde tanto à hipotenusa de um triângulo retângulo quanto à diagonal de um quadrado.

Davide Borchia
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