Omni Calculator logo

Kalkulator twierdzenia Pitagorasa

Created by Piotr Małek and Mateusz Mucha
Reviewed by Hanna Pamuła, PhD and Jack Bowater
Translated by Anna Szczepanek, PhD and Hanna Pamuła, PhD
Last updated: Jan 30, 2024


Ten kalkulator twierdzenia Pitagorasa obliczy długość każdego z brakujących boków trójkąta prostokątnego — pod warunkiem że znasz długości jego pozostałych dwóch boków. Oznacza to, że możesz również obliczyć długość przeciwprostokątnej, czyli najdłuższego boku trójkąta prostokątnego (znajduje się on naprzeciw kąta prostego). Długość tego boku można znaleźć za pomocą wzoru na przeciwprostokątną, który wynika z twierdzenia Pitagorasa.

Przypomnijmy, że trójkąt prostokątny to trójkąt, w którym jeden kąt ma 90 stopni. Pozostałe dwa kąty również sumują się to 90 stopni, ponieważ suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi 180 stopni. W dalszej części artykułu wyjaśnimy, czym jest twierdzenie Pitagorasa i jak się je stosuje.

Co to jest twierdzenie Pitagorasa?

Twierdzenie Pitagorasa opisuje, jak długości trzech boków trójkąta prostokątnego są powiązane w geometrii euklidesowej. Mówi ono, że suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Można zatem myśleć o tym twierdzeniu jako o wzorze na długość przeciwprostokątnej: jeśli długości przyprostokątnych trójkąta prostego oznaczymy a i b, a przeciwprostokątną przez c, to wzór wygląda następująco:

a² + b² = c².

Twierdzenie to przypisuje się starożytnemu greckiemu filozofowi i matematykowi Pitagorasowi, który żył w VI wieku p.n.e. Chociaż wcześniej znali je Hindusi i Babilończycy, Pitagorasowi (lub jego uczniom) przypisuje się pierwszy dowód tego twierdzenia. Należy zauważyć, że nie ma twardych dowodów na to, że sam Pitagoras pracował nad tym twierdzeniem lub je udowodnił.

Jak używać twierdzenia Pitagorasa?

Oto jak wykorzystać twierdzenie Pitagorasa:

  1. Wstaw do wzoru dwie długości, które znasz. Na przykład załóżmy, że wiesz, że jedna przyprostokątna ma długość a = 4, a przeciwprostokątna c = 8,94. Chcemy znaleźć długość drugiej przyprostokątnej b.

  2. Po podstawieniu wartości do wzoru mamy 4²+ b² = 8,94².

  3. Podnieś do kwadratu każdy człon, aby otrzymać 16 + b² = 80.

  4. Uprość równanie, aby otrzymać b² = 64.

  5. Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania, aby otrzymać b = 8. Możesz sprawdzić swój wynik za pomocą Omni kalkulatora twierdzenia Pitagorasa.

Zauważ, że jeśli chcesz wyznaczyć a lub b, musisz przekształcić równanie tak, aby niewiadoma była po jednej stronie, a wszystkie dane po drugiej stronie znaku równości.

Nasz kalkulator twierdzenia Pitagorasa przeprowadzi obliczenia w taki sam sposób, jak pokazaliśmy powyżej. Opisaliśmy tę metodę, abyś mógł rozwiązać problem ręcznie, jeśli tak wolisz (lub musisz :P).

Jaki jest wzór na przeciwprostokątną?

Wzór na przeciwprostokątną wyprowadzamy z twierdzenia Pitagorasa. Aby znaleźć długość przeciwprostokątnej, obliczamy pierwiastek kwadratowy z obu stron równania a² + b² = c² i rozwiązujemy dla c. Otrzymujemy c = √(a² + b²). Ten wzór na przeciwprostokątną jest po prostu przeformułowaniem twierdzenia Pitagorasa.

Co jeszcze można wyliczyć w trójkącie prostokątnym?

Jeśli twój trójkąt prostokątny opisuje równię pochyłą, możesz wyznaczyć jej kąt nachylenia, używając Omni kalkulatora nachylenia. Przypomnijmy, że wzór na nachylenie prostej to:

(y2 - y1)/(x2 - x1),

gdzie (x1, y1), (x2, y2) to punkty, przez które ta prosta przechodzi. W przypadku naszego trójkąta możemy przyjąć (x1, y1) = (0,0), zaś drugi punkt to odpowiedni wierzchołek.

Brakujące długości boków i kąty trójkąta możesz również obliczyć w kalkulatorze trójkąta prostokątnego. Jeśli kąty podane w zadaniu są w stopniach i chcesz je przeliczyć na radiany (lub radiany na stopnie), sprawdź nasz przelicznik kątów 🇺🇸. Istnieje prosty sposób na konwersję stopni na radiany i radianów na stopnie:

  • Jeśli kąt jest w radianach: pomnóż przez 180/π.

  • Jeśli kąt jest w stopniach: pomnóż przez π/180.

Czasami możesz spotkać się z problemem, w którym brakuje dwóch długości boków. W takich przypadkach kalkulator twierdzenia Pitagorasa nie pomoże — musisz użyć funkcji trygonometrycznych do wyznaczenia tych brakujących boków. Nie martw się! Mamy dla ciebie doskonały kalkulator funkcji trygonometrycznych 🇺🇸.

FAQ

Ile wynosi przeciwprostokątna gdy przyprostokątne mają długość 7 i 9?

Przeciwprostokątna ma długość 11,40.

Musisz zastosować twierdzenie Pitagorasa:

  1. Przypomnij sobie wzór a² + b² = c², gdzie a, i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna.

  2. Podstaw do wzoru długość przyprostokątnych: 7² + 9² = c².

  3. Podniesienie do kwadratu daje 49 + 81 = c². Czyli c² = 150.

  4. Wyznaczając pierwiastek kwadratowy, otrzymujemy c = 11,40. Wynik można zweryfikować za pomocą internetowego kalkulatora twierdzenia Pitagorasa.

Jak obliczyć przyprostokątną w trójkącie równoramiennym o przeciwprostokątnej 10?

Przyprostokątna ma długość 10/√2 ≈ 7,07. Aby uzyskać tę odpowiedź, stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

  1. Przypomnijmy wzór: a² + b² = c², gdzie a, i b są przyprostokątnymi, a c jest przeciwprostokątną.

  2. W trójkącie równoramiennym mamy a = b, więc wzór przyjmie postać 2a² = c².

  3. Obliczamy z tego wzoru a, otrzymując a = c/√2.

  4. Wstawiając c = 10, otrzymujemy ostateczną odpowiedź: a = 10/√2 ≈ 7,07.

Piotr Małek and Mateusz Mucha
A Pythagorean triangle with all sides marked
a² + b² = c²
a
cm
b
cm
c
cm
Area
cm²
Perimeter
cm
Check out 19 similar triangle calculators 🔺
30 60 90 triangle45 45 90 triangleArea of a right triangle… 16 more
People also viewed…

Common denominator

This common denominator calculator finds the common denominator of a set of fractions.

Inverse tangent

With Omni's inverse tangent calculator you will learn how to calculate the angle from the value of the tangent function.

Schwarzschild radius

Calculate the gravitational acceleration at the event horizon of a black hole of a given mass using the Schwarzschild radius calculator.

Titration

Use our titration calculator to determine the molarity of your solution.