Kalkulator trójkąta 30 60 90

Created by Hanna Pamuła, PhD
Reviewed by Bogna Szyk and Adena Benn
Translated by Hanna Pamuła, PhD and Dominik Czernia, PhD
Last updated: Jan 18, 2024


Z naszym Omni kalkulatorem trójkąta 30 60 90 możesz rozwiązać zadania związane z tym szczególnym trójkątem prostokątnym. Niezależnie od tego, czy szukasz wzorów na trójkąt 30 60 90 i jego przeciwprostokątną, zastanawiasz się nad proporcjami trójkąta 30 60 90, czy po prostu chcesz sprawdzić, jak wygląda ten trójkąt — zapewniamy, że jesteś we właściwym miejscu. Czytaj dalej, aby dowiedzieć się więcej o tym szczególnym trójkącie prostokątnym, lub sprawdź nasze bliźniacze narzędzie dla innego trójkąta — trójkąta 45 45 90.

Jak rozwiązać trójkąt 30 60 90?

Zacznijmy od wyjaśnienia, co oznaczają liczby „30 60 90”. Jeśli mówimy o trójkącie 30 60 90, mamy na myśli kąty trójkąta, które są równe 30°, 60° i 90°.

Przyjmijmy, że krótsza przyprostokątna trójkąta 30 60 90 jest równa a. Wtedy:

  • Dłuższa przyprostokątna jest równa a√3.
  • Przeciwprostokątna jest równa 2a.
  • Pole jest równe a²√3/2.
  • Obwód jest równy a(3 + √3).

Jak widzisz, wzory związane z trójkątem 30 60 90 są dość proste. Ale skąd się wzięły? Sprawdźmy, jakich metod można użyć do ich udowodnienia:

Szczególny trójkąt prostokątny 30-60-90. Połowa trójkąta równobocznego.
  1. Zastosuj własności trójkąta równobocznego.

Czy zauważyłeś, że ten trójkąt to po prostu połowa trójkąta równobocznego? Jeśli pamiętasz wzór na wysokość trójkąta równobocznego, to masz odpowiedź na to, jaka jest długość dłuższej przyprostokątnej. Jest ona równa bokowi trójkąta pomnożonemu przez pierwiastek kwadratowy z 3, podzielony przez 2:

h = c√3/2, h = b oraz c = 2a, więc
b = c√3/2 = a√3.

  1. Wykorzystaj trygonometrię.
Szczególny trójkąt prostokątny 30-60-90. Wyprowadzenie za pomocą trygonometrii.

Jeśli znasz już podstawy trygonometrii, to możesz wykorzystać np. sinus i cosinus kąta 30°, aby znaleźć długości pozostałych boków:

a/c = sin(30°) = 1/2 więc c = 2a.

b/c = sin(60°) = √3/2 więc b = c√3/2 = a√3.

Ponadto, jeśli znasz dwa boki trójkąta, to trzeci możesz znaleźć z twierdzenia Pitagorasa. Jednakże opisane powyżej metody są o wiele bardziej przydatne, gdyż wymagają podania tylko jednego boku trójkąta 30 60 90.

Boki trójkąta 30 60 90

Jeśli znamy długość krótszego boku a, to możemy stwierdzić, że:

  • b = a√3

  • c = 2a

Jeśli dłuższa przyprostokątna b jest naszą daną, to:

  • a = b√3/3

  • c = 2b√3/3

Dla znanej długości przyprostokątnej c, wzory na pozostałe boki wyglądają następująco:

  • a = c/2

  • b = c√3/2

Możesz też po prostu wpisać którykolwiek bok w nasze narzędzie, a kalkulator trójkąta 30 60 90 zrobi resztę!

Jakie są własności trójkąta 30 60 90?

Najważniejszą zasadą, którą warto zapamiętać, jest informacja, że ten szczególny trójkąt ma jeden kąt prosty, a stosunek długości jego boków jest łatwy do zapamiętania — stosunek ten wynosi a : a√3 : 2a. Ponadto niezwykłą własnością trójkąta 30 60 90 jest to, że jest to jedyny trójkąt prostokątny z wartościami kątów będących ciągiem arytmetycznym.

Co to jest ciąg arytmetyczny? Sprawdź nasz kalkulator ciągu arytmetycznego aby dowiedzieć się więcej!

Trójkąt o kątach 30 60 90.
Zestaw ekierek. Czerwona ekierka jest trójkątem o kątach 30-60-90 stopni.

🙋 Dowiedz się więcej o innych rodzajach trójkątów prostokątnych w naszym kalkulatorze szczególnych trójkątów prostokątnych!

Jakie są proporcje kątów i boków w trójkątach 30 60 90?

W trójkącie 30 60 90 stosunki wynoszą:

  • 1 : 2 : 3 dla kątów (30° : 60° : 90°), oraz
  • 1 : √3 : 2 dla boków (a : a√3 : 2a).

Zielone i niebieskie trójkąty 30 60 90 wypełniające pole ułożone w formie płytek.

Jak rozwiązać zadanie z trójkątem 30 60 90 - przykład

Z naszego artykułu powinniście znać już zasady rozwiązywania trójkątów 30 60 90. Teraz najwyższy czas, abyście zastosowali zdobytą wiedzę!

  1. Wprowadź daną wartość. Powiedzmy, że chcemy sprawdzić, jak wyznaczyć długości boków i kątów dla trójkąta 30 60 90 z naszego zestawu ekierek. Na dłuższym boku (dłuższej przyprostokątnej) znajduje się skala. Przyjmijmy, że ta długość wynosi 15 cm. Wpisz więc 15 w pole kalkulatora oznaczone literką b.
  2. Tylko spójrz! Wszystkie pozostałe wartości się pojawiły w kalkulatorze! Dzięki kalkulatorowi trójkąta 30 60 90 dowiadujemy się, że:
  • Krótsza przyprostokątna ma długość 8,66 cm — bo a = b√3/3 = 15 cm ∙ √3/3 ≈ 8,66 cm.
  • Przeciwprostokątna jest równa 17,32 cm — bo c = 2b√3/3 = 2a ≈ 17,32 cm.
  • Pole powierzchni wynosi 65 cm² — to wynik wymnożenia długości przyprostokątnych i podzielenia przez 2: pole = a²√3/2 ≈ 65 cm².
  • Obwód jest równy 41 cm — dodając wszystkie boki otrzymujemy taki właśnie wynik: obwód = a + a√3 + 2a = a(3 + √3) ≈ 41 cm.

FAQ

Jak znaleźć przyprostokątne trójkąta 30 60 90 znając przeciwprostokątną?

Jeśli przeciwprostokątna trójkąta 30 60 90 ma długość c, to przyprostokątne można znaleźć w następujący sposób:

  1. Dzielimy długość przeciwprostokątnej przez 2.
  2. Mnożymy wynik z kroku 1 przez √3, czyli przez około 1,73.
  3. Liczba, którą otrzymałeś w kroku 1 to krótsza przyprostokątna twojego trójkąta.
  4. Liczba, którą otrzymałeś w kroku 2 to dłuższa przyprostokątna.

Jakie jest pole trójkąta o wymiarach 30 60 90, którego przeciwprostokątna ma długość 10?

Pole powierzchni wynosi 21,65. Aby otrzymać ten wynik, użyj wzoru pole = a²√3/2, gdzie a to krótsza przyprostokątna twojego trójkąta. Przypomnijmy, że krótszy bok to połowa przeciwprostokątnej, więc w naszym przypadku a = 10 / 2 = 5. Wstawiając tę wartość do wzoru na pole powierzchni, otrzymujemy pole = 25√3/2 ≈ 21,65.

Hanna Pamuła, PhD
Special right triangle: 30-60-90 triangle
a
in
b
in
c
in
Area
in²
Perimeter
in
Check out 19 similar triangle calculators 🔺
45 45 90 triangleArea of a right triangleCircumscribed circle… 16 more
People also viewed…

Chilled drink

With the chilled drink calculator, you can quickly check how long you need to keep your drink in the fridge or another cold place to have it at its optimal temperature. You can follow how the temperature changes with time with our interactive graph.

Cone volume

Omni kalkulator objętości stożka oblicza objętość stożka i objętość stożka ściętego.

Plastic footprint

Find out how much plastic you use throughout the year with this plastic footprint calculator. Rethink your habits, reduce your plastic waste, and make your life a little greener.

Polar decomposition

Efficiently master polar decomposition of a matrix with our calculator, designed for computing polar decomposition accurately and quickly. Try it today!