Kalkulator ciągu arytmetycznego

Kalkulator ciągu arytmetycznego jest przydatnym narzędziem do analizy ciągu liczb, który jest tworzony przez dodawanie stałej wartości do każdego kolejnego wyrazu. Możesz go użyć do znalezienia dowolnej właściwości ciągu — pierwszego wyrazu, różnicy ciągu, n-tego wyrazu lub sumy pierwszych n wyrazów ciągu. Możesz od razu zacząć korzystać z kalkulatora lub czytać dalej, aby dowiedzieć się, jak dokładnie działa.

W tym artykule wyjaśniamy definicję ciągu arytmetycznego, równanie ciągu używane przez nasz kalkulator oraz podamy wzór na znalezienie sumy ciągu arytmetycznego. Przedstawiamy również różnice między ciągami arytmetycznymi i geometrycznymi oraz zaprezentujemy łatwy do zrozumienia przykład zastosowania naszego narzędzia.

Aby odpowiedzieć na to pytanie, musisz najpierw wiedzieć, co oznacza termin ciąg. Z definicji, ciąg w matematyce to zbiór obiektów, takich jak liczby lub litery, które występują w określonej kolejności. Obiekty te nazywane są elementami lub wyrazami ciągu. Często zdarza się, że ten sam obiekt pojawia się wielokrotnie w jednym ciągu.

Ciąg arytmetyczny jest również zbiorem obiektów, a dokładniej liczb. Każda kolejna liczba jest tworzona przez dodanie stałej liczby (zwanej różnicą ciągu) do poprzedniej. Taki ciąg może być skończony, gdy ma określoną liczbę wyrazów (na przykład 20), lub nieskończony, gdy nie określamy liczby wyrazów.

Każdy ciąg arytmetyczny jest w wyjątkowy sposób zdefiniowany przez dwa współczynniki: różnicę ciągu oraz pierwszy wyraz. Jeśli znasz te dwie wartości, jesteś w stanie zapisać cały ciąg.

Kiedy zaczniesz zagłębiać się w temat ciągów arytmetycznych, prawdopodobnie zauważysz wiele nieścisłości. Dzieje się tak z powodu różnych konwencji nazewnictwa, które są w użyciu.

Dwa najczęściej spotykane terminy to ciąg arytmetyczny i szereg. Pierwszy z nich jest również często nazywany postępem arytmetycznym, podczas gdy drugi jest również nazywany sumą częściową.

Główną różnicą między ciągiem a szeregiem jest to, że z definicji ciąg arytmetyczny jest po prostu zbiorem liczb utworzonym przez dodawanie wspólnej różnicy za każdym razem. Z drugiej strony, szereg jest sumą n wyrazów ciągu. Na przykład, możesz oznaczyć sumę pierwszych 12 wyrazów jako S₁₂ = a₁ + a₂ + ... + a₁₂.

Przykłady ciągów arytmetycznych:

• 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ..
• 6, 3, 0, -3, -6, -9, -12, -15, ..
• 50, 50.1, 50.2, 50.3, 50.4, 50.5, ..

Czy potrafisz znaleźć różnicę ciągu we wszystkich przykładach? Wskazówka: spróbuj odjąć wyraz następny od poprzedniego.

Na podstawie tych przykładów ciągów arytmetycznych możesz zauważyć, że różnica nie musi być liczbą naturalną — może być ułamkiem. W rzeczywistości nie musi być nawet dodatnia!

Jeśli różnica ciągu arytmetycznego jest dodatnia, nazywamy go ciągiem rosnącym. Oczywiście, jeśli różnica jest ujemna, ciąg będzie malejący. Co się stanie w przypadku zerowej różnicy? Otóż otrzymasz ciąg monotoniczny, w którym każdy wyraz jest równy poprzedniemu. Ten parametr nazywamy monotonicznością ciągu.

Przyjrzyjmy się teraz bliżej temu ciągowi:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..

Czy potrafisz wydedukować, jaka jest różnica ciągu w tym przypadku?

W rzeczywistości nie da się tego zrobić. Nie jest to przykład ciągu arytmetycznego, ale specjalny przypadek zwany ciągiem Fibonacciego. Każdy kolejny wyraz to suma dwóch poprzedzających go wyrazów. Interesujące, prawda? Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej, sprawdź nasz kalkulator ciągu Fibonacciego 🇺🇸.

Świetnym zastosowaniem ciągu Fibonacciego jest skonstruowanie spirali. Gdybyś narysował/a kwadraty o bokach równych kolejnym wyrazom tego ciągu, rezultatem byłaby idealna spirala.

Matematycy zawsze uwielbiali ciąg Fibonacciego! Jeśli chcesz odkryć ciąg, który przeraża ich od prawie wieku, sprawdź nasz kalkulator problemu Collatz'a 🇺🇸.

Załóżmy, że chcesz znaleźć 30-ty wyraz dowolnego z ciągów wymienionych powyżej (z wyjątkiem ciągu Fibonacciego, oczywiście). Zapisanie pierwszych 30 wyrazów byłoby żmudne i czasochłonne. Dzięki matematyce nie trzeba jednak zapisywać ich wszystkich! Wystarczy, że dodamy 29 różnic ciągu do pierwszego wyrazu.

Uogólnijmy to stwierdzenie, aby sformułować równanie ciągu arytmetycznego. Jest to wzór na dowolny n-ty wyraz ciągu.

a_n = a₁ + (n−1)d

gdzie:

• a_n — n-ty wyraz ciągu
• d — różnica ciągu
• a₁ — pierwszy wyraz ciągu

Ten wzór na ciąg arytmetyczny ma zastosowanie w przypadku wszystkich wspólnych różnic, zarówno dodatnich, ujemnych, jak i równych zero. Oczywiście w przypadku zerowej różnicy wszystkie wyrazy są sobie równe, co sprawia, że wszelkie obliczenia są zbędne.

Nasz kalkulator ciągu arytmetycznego może również wyznaczyć sumę ciągu (zwaną szeregiem) za ciebie. Zaufaj nam, możesz to zrobić samodzielnie — to nie jest takie trudne!

Spójrz na pierwszy przykład ciągu arytmetycznego: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21. Moglibyśmy zsumować wszystkie wyrazy ręcznie, ale nie jest to konieczne. Spróbujmy zsumować wyrazy w bardziej zorganizowany sposób. Dodamy do siebie pierwszy i ostatni wyraz, następnie drugi i przedostatni, trzeci i przedostatni itd. Szybko zauważysz, że:

• 3 + 21 = 24
• 5 + 19 = 24
• 7 + 17 = 24

Suma każdej pary jest stała i równa 24. To oznacza, że nie musimy dodawać wszystkich liczb. Wystarczy dodać pierwszy i ostatni wyraz ciągu i pomnożyć tę sumę przez liczbę par (czyli przez n/2).

Matematycznie jest to zapisane jako:

S = n/2 ⋅ (a₁ + a)

Podstawiając do równania ciągu arytmetycznego dla n-tego wyrazu:

S = n/2 ⋅ [a₁ + a₁ + (n-1)d]

Po uproszczeniu:

S = n/2 ⋅ [2a₁ + (n-1)d]

Ten wzór pozwoli ci znaleźć sumę ciągu arytmetycznego.

Szukając sumy ciągu arytmetycznego, zauważymy, że należy wybrać wartość n, aby obliczyć sumę częściową. A co jeśli chcemy zsumować wszystkie wyrazy ciągu?

Intuicyjnie, suma nieskończonej liczby wyrazów będzie równa nieskończoności, niezależnie od tego, czy wspólna różnica jest dodatnia, ujemna, czy nawet równa zeru. Nie dotyczy to jednak wszystkich rodzajów ciągów. Jeśli wybierzesz inny, na przykład ciąg geometryczny, suma do nieskończoności może okazać się określoną liczbą.

Oczywiście nasz kalkulator ciągów arytmetycznych nie jest w stanie przeanalizować żadnego innego typu ciągu. Na przykład ciąg 2, 4, 8, 16, 32, ..., nie ma wspólnej różnicy. To dlatego, że jest to inny rodzaj ciągu — ciąg geometryczny.

Jaka jest główna różnica między ciągiem arytmetycznym a geometrycznym? Podczas gdy ciąg arytmetyczny wykorzystuje wspólną różnicę do skonstruowania każdego kolejnego wyrazu, ciąg geometryczny wykorzystuje wspólny iloraz. Średnia polega na tym, że mnożymy każdy wyraz przez pewną liczbę za każdym razem, gdy chcemy utworzyć nowy wyraz.

Jednym z interesujących przykładów ciągu geometrycznego jest tak zwany cyfrowy wszechświat. Prawdopodobnie słyszałeś/aś, że ilość informacji cyfrowych podwaja swój rozmiar co dwa lata. Jest to o tyle interesujące, że liczby reprezentujące ilość danych możesz zapisać w ciągu geometrycznym o wspólnym ilorazie równym dwa.

Możesz również przeanalizować specjalny typ ciągu, zwany ciągiem arytmetyczno-geometrycznym. Jest on tworzony przez mnożenie wyrazów dwóch ciągów — arytmetycznego i geometrycznego.

Dla przykładu rozważ następujące dwa ciągi:

• Ciąg arytmetyczny: 1, 2, 3, 4, 5, ..
• Ciąg geometryczny: 1, 2, 4, 8, 16, ..

Aby otrzymać n-ty wyraz serii arytmetyczno-geometrycznej, musisz pomnożyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego przez n-ty wyraz ciągu geometrycznego. W tym przypadku wynik będzie wyglądał następująco:

• Pierwszy wyraz: 1 ⋅ 1 = 1
• Drugi wyraz: 2 ⋅ 2 = 4
• Trzeci wyraz: 3 ⋅ 4 = 12
• Czwarty wyraz: 4 ⋅ 8 = 32
• Piąty wyraz: 5 ⋅ 16 = 80

Taki ciąg jest zdefiniowany przez cztery parametry: wartość początkową ciągu arytmetycznego a, różnicę ciągu d, wartość początkową ciągu geometrycznego b oraz wspólny iloraz r.

Przeanalizujmy prosty przykład, który można rozwiązać za pomocą wzoru ciągu arytmetycznego. Przyjrzymy się bliżej przykładowi swobodnego spadania.

Kamień spada swobodnie w dół głębokiej dziury. W pierwszej sekundzie pokonuje dystans czterech metrów. W każdej następnej sekundzie odległość, na jaką spada, wydłuża się o 9,8 metra. Jaką odległość przebył kamień między piątą a dziewiątą sekundą?

Przebyta odległość to ciąg arytmetyczny o wartości początkowej a = 4 m i różnicy ciągu równej d = 9,8 m.

Najpierw oblicz całkowitą odległość przebytą w ciągu pierwszych dziewięciu sekund spadania, obliczając sumę częściową S₉ (n = 9):

S₉ = n/2 ⋅ [2a₁ + (n-1)d] = 9/2 ⋅ [2 ⋅ 4 + (9-1) ⋅ 9,8] = 388,8 m

W ciągu pierwszych dziewięciu sekund kamień przebył łącznie 388,8 m. Nas interesuje jednak tylko odległość pokonana od piątej do dziewiątej sekundy. Jak obliczyć tę wartość? To proste — wystarczy, że od sumy częściowej S₉ odejmiemy odległość przebytą w pierwszych czterech sekundach, czyli S₄.

S₄ = n/2 ⋅ [2a₁ + (n-1)d] = 4/2 ⋅ [2 ⋅ 4 + (4-1) ⋅ 9,8] = 74,8 m

S₄ jest równe 74,8 m. Teraz możemy znaleźć wynik przez proste odejmowanie:

odległość = S₉ - S₄ = 388,8 - 74,8 = 314 m

Istnieje alternatywna metoda rozwiązania tego przykładu. Możesz użyć wzoru na ciąg arytmetyczny, aby obliczyć odległość przebytą w piątej, szóstej, siódmej, ósmej i dziewiątej sekundzie i dodać te wartości do siebie. Spróbuj zrobić to samodzielnie — szybko zdasz sobie sprawę, że wynik jest dokładnie taki sam!

Aby znaleźć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, a_n:

1. Pomnóż różnicę ciągu d przez (n-1).
2. Dodaj ten iloczyn do pierwszego wyrazu a₁.
3. Wynikiem jest wartość n-tego wyrazu. Dobra robota!
4. Alternatywnie możesz użyć wzoru: a_n = a₁ + (n-1) ⋅ d.

Odejmij dowolne dwa sąsiadujące wyrazy, aby uzyskać różnicę ciągu. Możesz wziąć dowolne kolejne, np. a₂-a₁, a₇-a₆ lub a₁₀₀-a₉₉. Jeśli nie uzyskano tego samego wyniku dla wszystkich różnic, dany ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.

Różnica ciągu wynosi 11. Możesz ją obliczyć, odejmując dowolną kolejną parę wyrazów, np. a₂ - a₁ = -1 - (-12) = 11 lub a₄ - a₃ = 21 - 10 = 11

Różnica między dowolnymi sąsiednimi wyrazami jest stała dla dowolnego ciągu arytmetycznego, podczas gdy stosunek dowolnej kolejnej pary wyrazów jest taki sam dla dowolnego ciągu geometrycznego.

Aby otrzymać następny wyraz ciągu arytmetycznego, musisz dodać różnicę ciągu do poprzedniego wyrazu.

Aby otrzymać następny wyraz ciągu geometrycznego, musisz pomnożyć poprzedni wyraz przez wspólny iloraz.

Różnica między każdą kolejną parą liczb musi być identyczna. Aby sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, znajdź różnice między każdą sąsiednią parą wyrazów. Jeśli którakolwiek z wartości jest inna, twój ciąg nie jest arytmetyczny.