Kalkulator pola powierzchni

Jeśli zastanawiasz się jak obliczyć pole powierzchni dowolnego podstawowego kształtu, to jesteś we właściwym miejscu — nasz kalkulator pola odpowie na wszystkie twoje pytania. Skorzystaj z naszego intuicyjnego narzędzia, aby wybrać swoją figurę spośród szesnastu różnych kształtów i obliczyć jej powierzchnię w mgnieniu oka. Bez względu na to, czy szukasz definicji powierzchni, czy na przykład wzoru na powierzchnię rombu — możesz na nas liczyć. Przewiń w dół, aby przeczytać więcej lub po prostu pobaw się naszym narzędziem — gwarantujemy, że nie będziesz rozczarowany/a! 🙂

Mówiąc najprościej, pole to wielkość powierzchni. Innymi słowy, pole można zdefiniować jako przestrzeń zajmowaną przez płaski kształt. Aby zrozumieć to pojęcie, zwykle pomocne jest myślenie o powierzchni jako ilości farby potrzebnej do pokrycia powierzchni. Spójrz na poniższy rysunek — wszystkie zakolorowane figury mają taką samą powierzchnię, dokładnie 12 jednostek kwadratowych:

Istnieje wiele przydatnych wzorów do obliczania pola powierzchni prostych kształtów. W poniższych sekcjach znajdziesz nie tylko dobrze znane wzory dla trójkątów, prostokątów i kół, ale także innych kształtów, takich jak równoległoboki, deltoidy czy nawet pierścienie kołowe.

Mamy nadzieję, że po naszym wyjaśnieniu nie będziesz miał/a już problemów z określeniem, czym jest pole powierzchni w matematyce!

Cóż, nie możemy podać jednej prostej odpowiedzi — oczywiście zależy to od wybranego kształtu! Poniżej znajdziesz wzory dla wszystkich szesnastu figur geometrycznych, które znajdują się w naszym kalkulatorze powierzchni. Dla zachowania przejrzystości tekstu podamy tutaj tylko równania — rysunki figur, wyjaśnienia i wzory pochodne znajdziesz w osobnych akapitach poniżej (a także w narzędziach poświęconych poszczególnym kształtom).

Oto najważniejsze i najbardziej przydatne wzory na pole powierzchni dla szesnastu figur geometrycznych:

• Wzór na pole powierzchni kwadratu: A = a²
• Wzór na pole prostokąta : A = a · b
• Wzory na pole trójkąta:
  • A = b · h / 2 lub
  • A = 0,5 · a · b · sin(γ) lub
  • A = 0,25 · √( (a + b + c) · (-a + b + c) · (a - b + c) · (a + b - c) ) lub
  • A = a² · sin(β) · sin(γ) / (2 · sin(β + γ))
• Wzór na pole koła: A = πr²
• Wycinek kołowy i jego wzór na pole powierzchni: A = r² · kąt / 2
• Elipsa: wzór na pole powierzchni: A = a · b · π
• Wzór na pole powierzchni trapezu: A = (a + b) · h / 2
• Wzory na pole powierzchni równoległoboku:
  • A = a · h
  • A = a · b · sin(kąt)
  • A = e · f · sin(kąt)
• Wzory na pole rombu:
  • A = a · h
  • A = (e · f) / 2
  • A = s² · sin(kąt)
• Deltoid — wzory na pole powierzchni:
  • A = (e · f) / 2
  • A = a · b · sin(γ)
• Wzór na pole powierzchni pięciokąta foremnego:
  A = a² · √(25 + 10√5) / 4
• Wzór na pole powierzchni sześciokąta foremnego:
  A = 3/2 · √3 · a²
• Wzór na pole ośmiokąta foremnego:
  A = 2 · (1 + √2) · a²
• Wzór na powierzchnię pierścienia kołowego:
  A = π(R² - r²)
• Wzór na pole dowolnego czworokąta:
  A = 1/2 · e · f · sin(kąt)
• Wzór na pole powierzchni wielokąta foremnego:
  A = n · a² · ctg(π/n) / 4

Chcesz zmienić jednostkę pola powierzchni w kalkulatorze? Wystarczy kliknąć na nazwę jednostki, a pojawi się lista rozwijana z różnymi jednostkami.

Czyżbyś zapomniał/a jaki jest wzór na pole kwadratu? To nie problem — jesteś we właściwym miejscu. Pole powierzchni kwadratu to po prostu iloczyn długości jego boków:

• Pole powierzchni kwadratu = a · a = a², gdzie a to bok kwadratu.

Jest to najbardziej podstawowy i najczęściej stosowany wzór, choć istnieją też oczywiście inne. Przykładowo, stosowane są wzory na pole kwadratu, które wykorzystują przekątną, obwód, czy też promień okręgu opisanego na kwadracie lub wpisanego w kwadrat.

Wzór na pole prostokąta to również bułka z masłem — jest to zwykłe mnożenie boków prostokąta:

• Pole powierzchni prostokąta = a · b

Obliczanie pola powierzchni prostokąta jest niezwykle przydatne w codziennych sytuacjach: od prac budowlanych (oszacowanie liczby potrzebnych płytek, desek, paneli czy obliczenie powierzchni dachu), poprzez dekorowanie mieszkania (ile tak naprawdę potrzebuję farby lub tapety?), aż po obliczenie, ile osób może się najeść twoim ciastem.

Istnieje wiele różnych wzorów na pole trójkąta, w zależności od tego, jakie mamy dane i jakie prawa lub twierdzenia są stosowane. W tym kalkulatorze pola powierzchni zaimplementowaliśmy cztery z nich:

1. Dana podstawa i wysokość

• Pole trójkąta = b · h / 2.

2. Znając dwa boki i kąt pomiędzy nimi (BKB)

• Pole trójkąta = 0,5 · a · b · sin(γ)

3. Dane: trzy boki trójkąta (BBB) (ten wzór na pole trójkąta nazywany jest wzorem Herona)

• Pole trójkąta = 0,25 · √( (a + b + c) · (-a + b + c) · (a - b + c) · (a + b - c) )

Możesz dowiedzieć się więcej w dedykowanym kalkulatorze wzoru Herona 🇺🇸.

4. Znając dwa kąty i bok między nimi (KBK)

• Pole trójkąta = a² · sin(β) · sin(γ) / (2 · sin(β + γ))

Istnieje specjalny rodzaj trójkąta — trójkąt prostokątny. W takim przypadku, podstawa i wysokość to dwa boki tworzące kąt prosty. Wtedy pole trójkąta prostego można wyrazić za pomocą prostszego wzoru, jako:

Pole trójkąta prostokątnego = a · b / 2

Wzór na pole koła jest jednym z najbardziej znanych wzorów:

• Pole koła = πr², gdzie r jest promieniem okręgu.

W tym kalkulatorze zaimplementowaliśmy tylko to równanie, ale w naszym kalkulatorze koła 🇺🇸 można obliczyć pole powierzchni z dwóch różnych podanych wzorów, znając:

1. Średnicę koła

• Pole koła = πr² = π · (d / 2)²

2. Obwód koła

• Pole koła = c² / 4π

Ponadto, wzór na pole koła przydaje się w życiu codziennym — np. w rozwiązywaniu poważnych dylematów, takich jak wybór rozmiaru pizzy.

Wzór na pole wycinka kołowego można znaleźć stosując proporcje. Pole wycinka kołowego jest proporcjonalne do jego kąta, więc znając wzór na pole koła, możemy napisać, że:

α / 360° = Pole wycinka kołowego / Pole koła

Wiemy też, że 360° = 2π, tak więc:

α / 2π = Pole wycinka kołowego / πr²

Ostatecznie:

• Pole wycinka kołowego = r² · α / 2

Aby znaleźć wzór na pole elipsy, przypomnij sobie najpierw wzór na pole koła: πr². W przypadku elipsy nie masz danej jednej wartości promienia, ale dwie różne wartości: a i b. Jedyną różnicą między wzorem na pole koła i elipsy jest zastąpienie r² przez iloczyn półosi wielkiej i półosi małej, a · b:

• Pole powierzchni elipsy = π · a · b

Pole powierzchni trapezu można znaleźć według następującego wzoru:

• Pole powierzchni trapezu = (a + b) · h / 2, gdzie a i b są długościami boków równoległych, a h jest wysokością trapezu.

Również wzór na pole powierzchni trapezu można wyrazić jako:

Pole trapezu = m · h, gdzie m jest średnią arytmetyczną długości dwóch równoległych boków.

Niezależnie od tego, czy chcesz obliczyć pole znając:

• podstawę i wysokość,
• boki i kąt,
• przekątne równoległoboku i kąt między nimi,

to jesteś we właściwym miejscu. W naszym narzędziu znajdziesz właśnie te trzy wzory na pole powierzchni równoległoboku. Znając:

1. Podstawę i wysokość

• Pole powierzchni równoległoboku = b · h

2. Boki i kąt między nimi

• Pole powierzchni równoległoboku = a · b · sin(α)

3. Przekątne i kąt między nimi

• Pole powierzchni równoległoboku = e · f · sin(θ)

Wprowadziliśmy do kalkulatora także trzy przydatne wzory na obliczanie pola powierzchni rombu. Możesz znaleźć pole powierzchni rombu, jeśli znasz:

1. Bok i wysokość

• Pole rombu = a · h

2. Przekątne

• Pole rombu = (e · f) / 2

3. Bok i dowolny kąt, np. α

• Pole rombu = a² · sin(α)

Aby obliczyć pole powierzchni deltoidu, można zastosować dwa równania, w zależności od tego, co mamy dane:

1. Znając przekątne

• Pole deltoidu = (e · f) / 2

2. Dane dwa sąsiednie boki o różnych długościach oraz kąt pomiędzy nimi

• Pole deltoidu = a · b · sin(α)

Pole pięciokąta foremnego można obliczyć ze wzoru:

• Pola pięciokąta = a² · √(25 + 10√5) / 4, gdzie a jest bokiem pięciokąta foremnego.

Sprawdź nasz dedykowany kalkulator pięciokąta, gdzie podane i zastosowane są inne istotne właściwości pięciokąta foremnego: bok, przekątna, wysokość i obwód, a także promień okręgu wpisanego i opisanego na pięciokącie.

Podstawowy wzór na pole powierzchni sześciokąta foremnego to:

• Pole sześciokąta = 3/2 · √3 · a², gdzie a jest bokiem sześciokąta foremnego.

Skąd więc bierze się ten wzór? Możesz myśleć o sześciokącie foremnym jako o zbiorze sześciu przystających trójkątów równobocznych. Aby znaleźć pole sześciokąta, wystarczy znaleźć pole jednego trójkąta i pomnożyć je przez sześć. Wzór na pole trójkąta foremnego jest równy kwadratowi boku razy pierwiastek kwadratowy z 3 podzielony przez 4:

Pole trójkąta równobocznego = (a² · √3) / 4.

Pole sześciokąta = 6 · pole trójkąta równobocznego = 6 · (a² · √3) / 4 = 3/2 · √3 · a²

Aby znaleźć pole ośmiokąta, wystarczy znać długość boku i poniższy wzór:

• Pole ośmiokąta = 2 · (1 + √2) · a²

Pole ośmiokąta można również obliczyć z wzoru:

Pole ośmiokąta = obwód · długość promienia okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny / 2

Obwód w przypadku ośmiokąta to po prostu 8a. A czym jest długość promienia okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny, zwana również apotemą? Apotema to odległość od środka wielokąta do punktu środkowego boku. Jednocześnie jest to wysokość trójkąta powstałego przez poprowadzenie linii od wierzchołków ośmiokąta do jego środka. Trójkąt ten — jeden z ośmiu przystających — jest trójkątem równoramiennym, więc jego wysokość można obliczyć, korzystając np. z twierdzenia Pitagorasa, ze wzoru:

h = (1 + √2) · a / 4

Ostatecznie więc otrzymujemy pierwsze nasze równanie:

Pole ośmiokąta = obwód · apotema / 2 = (8 · a · (1 + √2) · a / 4) / 2 = 2 · (1 + √2) · a²

Pierścień kołowy to figura w kształcie pierścienia — jest to obszar ograniczony przez dwa koncentryczne okręgi o różnych promieniach. Znalezienie pola powierzchni pierścienia kołowego jest prostym zadaniem, jeśli tylko pamiętasz wzór na pole koła. Tylko spójrz: pole pierścienia kołowego to różnica pól powierzchni większego okręgu o promieniu R i mniejszego o promieniu r:

• Pole pierścienia kołowego = πR² - πr² = π(R² - r²)

Wzór na czworokąt, jaki został zaimplementowany w tym kalkulatorze pola powierzchni, wykorzystuje dwie przekątne oraz kąt między nimi:

• Pole czworokąta = 1/2 · e · f · sin(α)

gdzie e i f są przekątnymi dowolnego czworokąta.

Możemy wykorzystać dowolny z dwóch kątów, jako że obliczamy sinus. Wiedząc, że dwa sąsiednie kąty są przylegające, możemy stwierdzić, że sin(kąt) = sin(180° - kąt).

Jeśli szukasz innych wzorów na pole czworokąta, sprawdź nasz dedykowany kalkulator czworokąta 🇺🇸, gdzie znajdziesz wzór Bretschneidera (pozwalający obliczyć pole znając cztery boki i dwa przeciwległe kąty) oraz wzór wykorzystujący biśrodkowe (odcinki łączące punkty środkowe naprzeciwległych boków) i kąt między nimi.

Wzór na pole wielokąta foremnego wygląda następująco:

• Pole wielokąta foremnego = n · a² · cot(π/n) / 4

gdzie n to liczba boków, a a to długość boku.

Istnieją też inne równania i wykorzystują one np. takie parametry jak promień okręgu opisanego na wielokącie lub obwód wielokąta foremnego. Wzory te znajdziesz w dedykowanym paragrafie naszego kalkulatora pola powierzchni wielokątów foremnych.

Jeśli masz do czynienia z nieregularnym wielokątem, pamiętaj, że zawsze możesz podzielić ten kształt na prostsze figury, np. trójkąty. Wystarczy obliczyć pole powierzchni każdego z nich, a na koniec je zsumować. Rozkład wielokąta na zbiór trójkątów nazywamy triangulacją wielokąta.

Dla stałego, danego obwodu czworokątem o największym polu będzie zawsze kwadrat.

Dla danego obwodu, figurą zamkniętą o największym polu powierzchni jest okrąg.

Aby obliczyć pole powierzchni nieregularnego kształtu:

1. Podziel figurę na kilka mniejszych figur — „podkształtów”, dla których możesz łatwo obliczyć pole powierzchni, takich jak trójkąty, prostokąty, trapezy, koła itp.
2. Oblicz pole każdej z tych figur.
3. Zsumuj uzyskane powierzchnie, aby uzyskać ostateczny wynik.

Aby znaleźć obszar pod krzywą w pewnym przedziale, należy obliczyć całkę zupełną funkcji opisującej tę krzywą między dwoma punktami odpowiadającymi punktom końcowym danego przedziału.