Calculadora de la forma punto-pendiente

La calculadora de la forma punto-pendiente te mostrará cómo hallar la ecuación de una recta a partir de un punto de esa recta y la pendiente de la recta. Pronto sabrás qué es la ecuación de la forma punto-pendiente y aprenderás en qué se diferencia de la forma pendiente-intersección. También se nos han ocurrido dos ejercicios, y te explicaremos cómo resolverlos en el último párrafo.

Empecemos por lo básico y hablemos de qué es la pendiente.

La pendiente indica la inclinación de una recta. Si es positiva, significa que la recta es creciente. Si es negativa, la recta es decreciente. En caso de ser igual a cero, la recta es horizontal.

Puedes hallar la pendiente entre dos puntos estimando la variación en Y sobre la variación en X, es decir, la diferencia de altura sobre la diferencia de distancia entre dos puntos.

Por tanto, la fórmula de la pendiente es:

m = variación en Y / variación en X = (y - y₁) / (x - x₁)

La ecuación de la forma punto-pendiente es la ecuación de la pendiente reordenada.

Para hallar la variación de funciones no lineales, puedes utilizar la calculadora de razón de cambio promedio.

Hay más de una forma de escribir la ecuación de una recta. La forma punto-pendiente es una forma de ecuación lineal, en la que hay tres números característicos: dos coordenadas de un punto de la recta y la pendiente de la recta. La ecuación de la forma punto-pendiente es:

donde

• $\small x_1, y_1$ son las coordenadas de un punto, y
• $\small m$ es la pendiente.

¿Ves la similitud con la fórmula de la pendiente? Lo que quizá no sepas es que no es la única forma de escribir la ecuación de una recta. La más popular es la forma pendiente-intersección:

donde:

• $\small m$ es la pendiente; y
• $\small b$ es la intercepción con el eje Y, también llamada ordenada al origen.

La verdad es que no es más que una forma punto-pendiente más precisa. Una recta intercepta al eje Y en un punto (0, b). Si eliges este punto (0, b), como punto que quieres utilizar en la forma punto-pendiente de la ecuación, obtendrás:

$\small y - b = m \times (x - 0)$, que es lo mismo que $\small y = m x + b$.

En las dos gráficas siguientes puedes ver la misma función, solo que descrita de dos formas distintas:

Para aprender a hallar la intersección con los ejes X e Y de una recta, visita nuestra calculadora de intersecciones X e Y 🇺🇸.

Veamos dos ejercicios para comprender mejor el tema.

La pendiente de una recta es 2. Pasa por el punto A(2, -3). ¿Cuál es la ecuación general de la recta?

1. Identifica las coordenadas del punto:
   • x₁ = 2,
   • y₁ = -3.
2. Identifica la pendiente:
   • m = 2
3. Introduce los valores en la fórmula de la forma punto-pendiente:
   • $\small y - y_1 = m (x - x_1)$
   • $\small y - (-3) = 2(x - 2)$
4. Simplifica para obtener la ecuación general:
   • $\small y = 2x - 4 -3$
   • $\small 0 = 2x - y - 7$
   Y ya tienes la respuesta. Ahora, puedes comprobar el resultado con nuestra calculadora de la forma punto-pendiente.

Resolvamos un ejercicio con un tema más familiar.

Supongamos que tienes un cachorro. Cuando lo recibiste, pesaba 6 kg. Creció 0,1 kg cada día, y al cabo de 30 días, pesaba 9 kg. Halla la ecuación general del crecimiento del cachorro.

1. La pendiente es el cambio de peso por día: m = 0.1

2. El punto característico es 9 kg en el día 30: (x₁, y₁) = (30, 9)

3. Ahora, introduce los valores en la fórmula punto-pendiente:

   $\small y - 9 = 0.1 \times (x - 30)$

4. Simplifica la ecuación para obtener la ecuación general:

   $\small 0 = 0.1x - y + 6$

¡Y listo! ¡Esperamos que te haya gustado nuestra calculadora de la forma punto-pendiente!

Si te dan la forma punto-pendiente de una recta, puedes obtener la forma pendiente-intersección siguiendo estos pasos:

1. Escribe tu forma punto-pendiente:

   y - b = m(x - a)

2. Distribuye el lado derecho:

   y - b = mx - ma

3. Suma b en ambos lados:

   y = mx - ma + b.

4. ¡Esta es la forma pendiente-intersección! La pendiente es m, y la intersección es -ma + b.

La ordenada al origen o intersección con el eje Y de una recta escrita en la forma punto-pendiente y - b = m(x - a) viene dada por la fórmula intersección = b - ma. Por ejemplo, para la recta y - 1 = 2(x - 3) se obtiene la intersección 1 - 6 = -5.

Si la pendiente es cero, la fórmula punto-pendiente se reduce a y - b = 0. Esta ecuación describe una recta horizontal que cruza el eje vertical en y = b.

¡Sí! Tomemos la recta con forma pendiente-intersección y = mx + b. Escribamos su forma punto-pendiente para el punto (0, b). Obtenemos y - b = m(x - 0), que es lo mismo (si movemos b al lado derecho) que la forma pendiente-intersección.