Calculadora de la forma canónica de una parábola

Esta es la calculadora de la forma canónica, también conocida como forma vértice, forma estándar o forma normal. Si quieres saber cómo calcular el vértice de una parábola, este es el lugar adecuado para empezar. Además, nuestra herramienta te enseña qué es la forma canónica de una ecuación cuadrática, así como la fórmula para la forma canónica y su deducción.

¡Y esto no es todo! Esta calculadora también te ayuda a convertir de la forma general a la forma canónica de una parábola, o incluso al revés, ¡en un abrir y cerrar de ojos!

El vértice de una parábola es un punto que representa el extremo de una función cuadrática. La parte cuadrática se debe a que la potencia más significativa de nuestra variable (x) es dos. El vértice puede ser un mínimo (para una parábola que se abre hacia arriba) o un máximo (para una parábola que se abre hacia abajo).

Alternativamente, podemos decir que el vértice es la intersección de la parábola con su eje de simetría.

Normalmente, denotamos el vértice como un punto P(h,k), donde h representa la coordenada x, y k indica la coordenada y.

Bueno, suficiente con las definiciones. ¿Cómo encontramos el vértice de una función cuadrática? Puede que te sorprenda, ¡pero no necesitamos evaluar ninguna raíz cuadrada para hacerlo!

Siempre que nos enfrentemos a la forma general de una parábola y = ax² + bx + c, podemos utilizar las ecuaciones de las coordenadas del vértice:

h = -b/(2a),

k = c - b²/(4a).

Sabiendo cómo hallar estas razones 🇺🇸, podemos dar un paso más y preguntar: ¿Cuál es la forma canónica de una parábola?

Intuitivamente, la forma canónica de una parábola es la que incluye los detalles del vértice. Podemos escribir la ecuación canónica como:

y = a(x-h)² + k

Como puedes ver, necesitamos conocer tres parámetros para escribir la forma canónica de la parábola. Uno de ellos es a, el mismo que en la forma general, el cual nos dice si la parábola se abre hacia arriba (a > 0) o hacia abajo (a < 0). El parámetro a nunca puede ser igual a cero para la forma canónica de una parábola (ni para ninguna otra de sus formas, en sentido estricto).

Los parámetros restantes, h y k, son las componentes del vértice. De ahí que a y = a(x-h)² + k también se le conozca como la forma vértice.

Además, cabe mencionar que es posible dibujar la gráfica de una función cuadrática teniendo solo el parámetro a y el vértice.

Si quieres convertir una ecuación cuadrática de su forma general a la forma canónica, puedes utilizar el método de completar el cuadrado (puedes leer más sobre él en nuestra calculadora para completar el cuadrado 🇺🇸). Veamos cómo funciona este método en nuestro contexto actual.

Para convertir de la forma general y = ax² + bx + c a la forma canónica:

1. Saca el múltiplo común a de los dos primeros términos: y = a[x² + (b/a)x] + c.

2. Suma y resta (b/(2a))² dentro del paréntesis: y = a[x² + (b/a)x + (b/(2a))² - (b/(2a))²] + c.

3. Emplea la fórmula del trinomio cuadrado perfecto: y = a[(x + b/(2a))² - (b/(2a))²] + c.

4. Expande los corchetes: y = a(x + b/(2a))² - b²/(4a) + c.

5. Esta es tu forma canónica con h = -b/(2a) y k = c - b²/(4a).

Esta es una forma de convertir de la forma general a la forma canónica. La segunda (y más rápida) es usar nuestra calculadora de la forma canónica, ¡te la recomendamos encarecidamente! Solo requiere introducir los parámetros a, b y c. Inmediatamente, el resultado aparecerá en la parte inferior del espacio de la calculadora.

Nuestra calculadora de la forma canónica también puede funcionar al revés, encontrando la forma general de una parábola. En caso de que quieras saber cómo hacerlo a mano utilizando la ecuación para la forma canónica, te daremos la receta en el siguiente apartado.

Para convertir una parábola de la forma canónica a la general:

1. Escribe la ecuación de la parábola en forma canónica:

   y = a(x-h)² + k.

2. Expande la expresión del paréntesis:

   y = a(x² - 2hx + h²) + k.

3. Multiplica los términos del paréntesis por a:

   y = ax² - 2ahx + ah² + k.

4. Compara el resultado con la forma general de una parábola:

   y = ax² + bx + c.

5. ¡Ahí tienes la forma general! Sus parámetros son b = -2ah, c = ah² + k.

Hay dos maneras en las que puedes utilizar nuestra calculadora de la forma canónica de una parábola:

• La primera opción es utilizar la forma canónica de una ecuación cuadrática;

• La segunda opción encuentra la solución pasando de la forma general a la forma canónica.

La última ya la hemos descrito en uno de los apartados anteriores. Veamos qué ocurre con la primera:

• Escribe los valores del parámetro a y las coordenadas del vértice, h y k. Digamos, a = 0.25, h = -17, k = -54;

• ¡Y ya está! Como resultado, puedes ver una gráfica de tu función cuadrática, junto con los puntos que indican el vértice, la intersección con el eje “y”, y los ceros.

Debajo de la gráfica, puedes encontrar las descripciones con más detalles:

• La ecuación canónica y general de la parábola: y = 0.25(x + 17)² - 54 e y = 0.25x² + 8.5x + 18.25 respectivamente;

• El vértice: P = (-17, -54);

• La intersección con el eje y: Y = (0, 18.25);

• Los ceros: X₁ = (-31.6969, 0), X₂ = (-2.3031, 0). Si te interesa saberlo, redondeamos los resultados con una precisión de cuatro decimales.

Si conoces los parámetros a, b y c de la forma general de una parábola, puedes hallar las coordenadas del vértice h y k utilizando las fórmulas:

• h = -b/(2a); y
• k = c - b²/(4a).

Alternativamente, puedes evaluar el valor de tu parábola en h, es decir, k = ah² + bh + c.

La forma canónica es y = a(x - 2)² + 5, donde a es el mismo parámetro, distinto de cero, que en la forma general. Para cada valor de a, obtienes una parábola distinta, así que tienes que especificar a para obtener un resultado definitivo.