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Calculadora del ángulo entre dos vectores

Created by Hanna Pamuła, PhD
Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater
Translated by Gabriela Diaz and Luis Hoyos
Last updated: May 14, 2024


Con esta calculadora de ángulos entre dos vectores, aprenderás rápidamente a encontrar el ángulo entre dos vectores. No importa si tus vectores están en 2D o 3D, ni si están representados por coordenadas o puntos inicial y final: nuestra herramienta te será útil en todos los casos. Juega un poco con la calculadora y consulta las definiciones y explicaciones que aparecen a continuación; si estás buscando las fórmulas del ángulo entre dos vectores, seguro que las encontrarás.

Fórmulas del ángulo entre dos vectores

En esta sección encontrarás las fórmulas del ángulo entre dos vectores, y solo las fórmulas. Si quieres entender cómo las obtenemos, ve directamente a la siguiente sección, Cómo hallar el ángulo entre dos vectores.

Imagen del ángulo entre dos vectores.

Ángulo entre dos vectores 2D

  1. Vectores representados por coordenadas (notación estándar de conjunto ordenado, en sus componentes):
Vector 2D en forma de componentes.

Para el vector a\boldsymbol a:

a=(xa,ya)\qquad\scriptsize \boldsymbol a = (x_a,y_a)

Y b\boldsymbol b:

b=(xb,yb)\qquad\scriptsize \boldsymbol b = (x_b,y_b)

El ángulo es:

aˊngulo=arccos(xaxb+yaybxa2+ya2xb2+yb2)\quad\scriptsize\begin{split} \mathrm{ángulo} &= \mathrm{arccos}\bigg(\! \frac{x_ax_b +y_a y_b} {\sqrt{x_a^2+y_a^2}\cdot\sqrt{x_b^2+y_b^2}}\bigg) \end{split}
  1. Vectores entre un punto inicial y un punto final:
Vector 2D. Notación: coordenadas de los puntos inicial y final.

Para el vector a\boldsymbol a:

A=(x1,y1)\qquad\scriptsize A =(x_1,y_1)

Y:

B=(x2,y2)\qquad\scriptsize B =(x_2,y_2)

Así que el vector a\boldsymbol a es:

a=(x2x1,y2y1)\qquad\scriptsize\boldsymbol a = (x_2-x_1,y_2-y_1)

Para el vector b\boldsymbol b:

C=(x3,y3)\qquad\scriptsize C =(x_3,y_3)

Y:

D=(x4,y4)\qquad\scriptsize D =(x_4,y_4)

Así que el vector b\boldsymbol b es:

b=(x4x3,y4y3)\qquad\scriptsize\boldsymbol{b}=(x_4-x_3,y_4-y_3)

Y:

aˊngulo=arccos(((x2x1)(x4x3)+(y2y1)(y4y3))/((x2x1)2+(y2y1)2(x4x3)2+(y4y3)2))\scriptsize\begin{split} \mathrm{ángulo} = &\mathrm{arccos}\Big(\big((x_2-x_1)(x_4-x_3)\\ &+(y_2-y_1)(y_4-y_3)\big)\\ & /\big(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\ & \cdot\!\sqrt{(x_4-x_3)^2+(y_4-y_3)^2}\big)\Big) \end{split}

Ángulo entre dos vectores 3D

  1. Vectores representados por coordenadas:
Vector 3D en forma de componentes.
a=(xa,ya,za)\qquad\scriptsize\boldsymbol a = (x_a,y_a,z_a)

Y:

b=(xb,yb,zb)\qquad\scriptsize\boldsymbol b = (x_b,y_b,z_b)

Entonces:

aˊngulo=arccos((xaxb+yayb+zazb)/(xa2+ya2+za2xb2+yb2+zb2))\scriptsize \begin{split} &\mathrm{ángulo} = \mathrm{arccos}\Big((x_a x_b+y_a y_b+z_a z_b)\\ & /\big(\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}\cdot\sqrt{x_b^2+y_b^2+z_b^2}\,\big)\Big) \end{split}
  1. Vectores entre un punto inicial y un punto final:
Vector 3D. Notación: punto inicial y final.

Para el vector a\boldsymbol{a}:

A=(x1,y1,z1)\qquad\scriptsize A = (x_1,y_1,z_1)

Y:

B=(x2,y2,z2)\qquad\scriptsize B =(x_2,y_2,z_2)

Así que:

a=(x2x1,y2y1,z2z1)\qquad\scriptsize\boldsymbol{a} = (x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)

Para el vector b\boldsymbol{b}:

C=(x3,y3,z3)\qquad\scriptsize C = (x_3,y_3,z_3)

Y:

D=(x4,y4,z4)\qquad\scriptsize D =(x_4,y_4,z_4)

Entonces:

b=(x4x3,y4y3,z4z3)\qquad\scriptsize\boldsymbol{b}=(x_4-x_3,y_4-y_3,z_4-z_3)

De forma análoga a la versión 2D, obtén la fórmula final:

aˊngulo=arccos(((x2x1)(x4x3)+(y2y1)(y4y3)+(z2z1)(z4z3))/((x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2(x4x3)2+(y4y3)2+(z4z3)2))\scriptsize\begin{split} &\mathrm{ángulo} = \mathrm{arccos}\Big(\big((x_2-x_1)(x_4-x_3)\\ &+(y_2-y_1)(y_4-y_3) +(z_2-z_1)(z_4-z_3)\big) \\& /\big(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\\ & \!\cdot\!\sqrt{(x_4-x_3)^2+(y_4-y_3)^2 +(z_4-z_3)^2}\big)\Big) \end{split}

También es posible tener un vector definido por coordenadas y el otro definido por un punto inicial y final, pero no dejemos que eso complique aún más esta sección. Lo único que importa es que nuestra calculadora de ángulos entre dos vectores tiene todas las combinaciones posibles a tu disposición.

Cómo hallar el ángulo entre dos vectores

Muy bien, en la sección anterior nos enfocamos exclusivamente en la representación de las fórmulas. Pero, ahora, para entender mejor las fórmulas del ángulo entre dos vectores, veamos de dónde vienen:

  1. Empecemos con la fórmula geométrica básica para calcular el producto punto 🇺🇸:

    El producto punto se define como el producto de las magnitudes de los vectores multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos (aquí denotado por α\alpha):

ab=abcos(α)\small\qquad\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| \, |\boldsymbol{b}| \cos(\alpha)

🙋 Nuestra calculadora de la magnitud de un vector 🇺🇸 está aquí para ayudarte si necesitas refrescar tu memoria sobre esta importante magnitud vectorial.

  1. Entonces, haz que el ángulo sea el sujeto de la ecuación:

    Divide por el producto de las magnitudes de los vectores:

cos(α)=(abab)\qquad\scriptsize\cos(\alpha) = \left(\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \, |\boldsymbol{b}|}\right)

Halla el coseno inverso de ambos lados:

α=arccos(abab)\qquad\scriptsize\alpha = \mathrm{arccos}\left(\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \, |\boldsymbol{b}|}\right)
  1. Ahora, repasemos la definición de la magnitud de un vector:

    Como la magnitud es la raíz cuadrada de la suma de las componentes del vector a la segunda potencia, nos encontramos con que:

    • v=x2+y2|\boldsymbol{v}| =\sqrt{x^2+y^2} en el espacio 2D; y

    • v=x2+y2+z2|\boldsymbol{v}| =\sqrt{x^2+y^2+z^2} en el espacio 3D.

¿Notaste que es la misma fórmula que se utiliza en la calculadora de distancia? ¿Y que tiene su origen directamente en la geometría? Aprende a hacer esto con la calculadora del teorema de Pitágoras

  1. Utiliza la fórmula algebraica del producto punto (suma de los productos de las componentes de los vectores), y sustituye las magnitudes:

En el espacio 2D:

Si los vectores a\boldsymbol{a} y b\boldsymbol{b} son, respectivamente:

a=(xa,ya)\qquad\scriptsize\boldsymbol{a} = (x_a,y_a)

Y:

b=(xb,yb)\qquad\scriptsize\boldsymbol{b} = (x_b,y_b)
α=arccos((xaxb+yayb)/(xa2+ya2xb2+yb2))\qquad\scriptsize \begin{split} \alpha = &\mathrm{arccos}\Big(\big(x_a x_b+y_a y_b\big)\\ &/\big(\sqrt{x_a^2+y_a^2}\!\cdot\!\sqrt{x_b^2+y_b^2}\big)\Big) \end{split}

En el espacio 3D:

Si los vectores a\boldsymbol{a} y b\boldsymbol{b} son, respectivamente:

a=(xa,ya,za)\qquad\scriptsize\boldsymbol{a} = (x_a,y_a,z_a)

Y:

b=(xb,yb,zb)\qquad\scriptsize\boldsymbol{b} = (x_b,y_b,z_b)

Luego:

α=arccos((xaxb+yayb+zazb)/(xa2+ya2+za2xb2+yb2+zb2))\scriptsize \begin{split} &\alpha = \mathrm{arccos}\Big(\big(x_a x_b+y_a y_b +z_a z_b\big)\\ &/\big(\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2} \cdot \sqrt{x_b^2+y_b^2+z_b^2}\big)\Big) \end{split}

¡Y eso es todo!

Además, si tus vectores tienen una forma diferente (conoces sus puntos inicial y final), tendrás que realizar algunos cálculos de antemano. El objetivo es reducirlos a la notación vectorial estándar.

Si tu vector está descrito por el punto inicial A=(x1,y1)A=(x_1, y_1) y el punto final B=(x2,y2)B=(x_2, y_2), entonces el vectora\boldsymbol{a} puede expresarse como:

a=(x2x1,y2y1)\scriptsize\boldsymbol{a} = (x_2-x_1,y_2-y_1)

¿Aún no tiene sentido? ¡No te preocupes! Hemos preparado algunos ejemplos para aclarar cualquier duda que puedas tener.

Ángulo entre dos vectores 3D – ejemplo

Supongamos que queremos hallar el ángulo entre dos vectores:

a=(3,6,1)\scriptsize\boldsymbol{a} = (3, 6, 1)

y b\boldsymbol{b} definido como el vector entre el punto A=(1,1,2)A = (1, 1, 2) y B=(4,8,6)B = (-4, -8, 6).

¿Qué tenemos que hacer?

  1. Primero, calcula el vector b\boldsymbol{b}, dados los puntos inicial y final:
b=(41,81,62)=(5,9,4)\qquad\scriptsize \begin{split} \boldsymbol{b} &= (-4-1,-8-1,6-2)\\ &= (-5,-9,4) \end{split}
  1. A continuación, determina el producto punto de los vectores a\boldsymbol{a} y b\boldsymbol{b}:
  ab=(3×5)+(6×9)+(1×4)=1554+4=65\quad\ \ \scriptsize \begin{split} \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}&= (3 \times -5) + (6 \times-9) + (1\times 4)\\ & = -15 - 54 + 4 = -65 \end{split}
  1. Ahora, halla la magnitud de los vectores:
a=32+62+12=466.782\qquad\scriptsize\begin{split} |\boldsymbol{a}|&=\sqrt{3^2+6^2+1^2}\\ &=\sqrt{46}\approx6.782 \end{split}

Y:

b=(5)2+(9)2+42=12211.045\qquad\scriptsize\begin{split} |\boldsymbol{b}|&=\sqrt{(-5)^2+(-9)^2+4^2}\\ &=\sqrt{122}\approx11.045 \end{split}
  1. Por último, emplea la ecuación del producto escalar transformado:
α=arccos(abab)=arccos(656.782×11.045)=arccos(0.86767)=150.189°150.2°\qquad\scriptsize\begin{split} \alpha &= \mathrm{arccos}\left(\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \, |\boldsymbol{b}|}\right) \\[1em] &=\mathrm{arccos}\left(\frac{-65}{6.782\times11.045}\right) \\[1em] &=\mathrm{arccos}(-0.86767) \\[1em] &=150.189\degree\approx150.2\degree \end{split}

¡Y ahí lo tienes! Acabas de calcular el ángulo entre dos vectores en 3D.

Si quieres aprender más conceptos de geometría de coordenadas, te recomendamos que consultes la calculadora de razón de cambio promedio.

Cómo utilizar la calculadora del ángulo entre dos vectores

Entonces, ¿cómo funciona nuestra calculadora de ángulos entre dos vectores? Sigue estas instrucciones paso a paso:

  1. Elige tu espacio vectorial. Consideremos el mismo ejemplo de la sección anterior. Nuestros vectores y puntos tienen tres coordenadas, así que seleccionamos la opción 3D.

  2. Selecciona la representación del primer vector. El primer vector está en notación estándar, así que dejamos el valor por defecto: representación en coordenadas.

  3. Ingresa el primer vector. Escribe x=3,x = 3, y=6,y = 6, y z=1z = 1.

  4. Elige la representación del segundo vector. Esta vez tenemos que cambiarla a representación con punto.

  5. Ingresa los valores del segundo vector. Introduce A=(1,1,2)\boldsymbol A = (1,1,2) y B=(4,8,6)\boldsymbol B = (-4,-8,6) en los campos correspondientes.

  6. La herramienta indicará el ángulo entre los dos vectores 3D en el momento en que completes el último campo. En nuestro caso, es 150.2°150.2\degree, que es, por supuesto, el mismo resultado que obtuvimos de los cálculos manuales.

FAQ

¿Qué es un vector?

Un vector es una elemento de un espacio vectorial que posee magnitud, dirección y sentido. Es muy común su uso para representar cantidades físicas tales como la fuerza, velocidad y desplazamiento, entre otras.

¿Cómo definir el ángulo formado por dos vectores?

El ángulo formado entre dos vectores se define utilizando el coseno inverso de los productos escalares de los dos vectores y el producto de sus magnitudes.

¿Cómo calcular el ángulo entre dos vectores en 2D?

Para calcular el ángulo entre dos vectores en un espacio 2D:

  1. Halla el producto punto de los vectores.
  2. Divide el producto punto por la magnitud del primer vector.
  3. Divide el resultado por la magnitud del segundo vector.

Matemáticamente, el ángulo α entre dos vectores [xa,ya] y [xb, yb] se puede escribir como:

α = arccos[(xa xb + ya yb) / (√(xa² + ya²) × √(xb² + yb²))]

¿Cómo calcular el ángulo entre dos vectores en 3D?

Para calcular el ángulo entre dos vectores en un espacio 3D:

  1. Halla el producto punto de los vectores.
  2. Divide el producto punto por la magnitud del primer vector.
  3. Divide el resultado por la magnitud del segundo vector.

Matemáticamente, el ángulo α entre dos vectores [xa,ya,za] y [xb, yb,zb] se puede escribir como:

α = arccos[(xa xb + ya yb + za zb) / (√(xa² + ya² + za²) × √(xb² + yb² + zb²))]

Hanna Pamuła, PhD
Image of the angle between two vectors
Vectors in
3D
Vector a
coordinate representation
3D Vector in a component form
x
y
z
Vector b
coordinate representation
3D Vector in a component form
x
y
z
Angle between two vectors
α
deg
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