30-60-90 Dreiecksrechner

Created by Hanna Pamuła, PhD
Reviewed by Bogna Szyk and Adena Benn
Translated by Marcelina Wiśniewska and Julia Kopczyńska, PhD candidate
Last updated: Jan 18, 2024


Mit unserem 30-60-90-Dreiecksrechner kannst du alle relevanten Werte dieses speziellen rechtwinkligen Dreiecks finden. Egal, ob du nach den Formeln für die Hypotenuse des 30-60-90-Dreiecks suchst, die Seitenverhältnisse des 30-60-90-Dreiecks bestimmen willst oder einfach nur eine grafische Darstellung dieses Dreiecks brauchst, hier bist du definitiv auf der richtigen Seite. Lies weiter, um mehr über dieses bestimmte rechtwinklige Dreieck zu erfahren, oder sieh dir unser Tool für den Zwilling dieses Dreiecks an – den 45-45-90-Dreiecksrechner.

Wie bestimme ich die Werte eines 30-60-90-Dreieck?

Wir sollten erst einmal klären, was „30 60 90“ überhaupt bedeutet. Wenn wir von einem 30-60-90-Dreieck sprechen, beziehen wir uns auf die Winkel des Dreiecks, welche gleich 30°, 60° und 90° sind.

Nehmen wir an, dass die kürzeste Seite (eine der zwei Katheten) eines 30-60-90-Dreiecks gleich a ist. Dann ist:

  • die zweite Kathete gleich a√3,
  • die Hypotenuse (die längste Seite) gleich 2a,
  • die Fläche des Dreiecks gleich a²√3/2 und
  • der Umfang gleich a(3 + √3).

Die 30-60-90-Dreiecksformeln sind ziemlich einfach, aber wie genau kommt man auf diese Ergebnisse? Sehen wir uns die Methoden an, mit denen wir diese Eigenschaften beweisen können:

Ein rechtwinkliges 30-60-90-Dreieck. Die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks.
  1. Indem wir die Eigenschaften des gleichseitigen Dreiecks nutzen

Ist dir aufgefallen, dass das 30-60-90-Dreieck einfach die Hälfte des gleichseitigen Dreiecks ist? Wenn du dich an die Formel für die Höhe eines solchen gleichmäßigen Dreiecks erinnerst, dann kennst du bereits die Länge der zweiten Kathete. Diese ergibt sich aus der Multiplikation der Seitenlänge mit der Quadratwurzel aus 3 und Division durch 2:

h = c√3/2, h = b und c = 2a also b = c√3/2 = a√3

  1. Mittels trigonometrischen Funktionen
Ein rechtwinkliges 30-60-90-Dreieck. Ableitung mithilfe der Trigonometrie.

Wenn du mit den Grundlagen der Trigonometrie vertraut bist, kannst du z. B. den Sinus und Kosinus von 30° verwenden, um die anderen Seitenlängen zu ermitteln:

a/c = sin(30°) = 1/2 also c = 2a

b/c = sin(60°) = √3/2 also b = c√3/2 = a√3

Wenn du die Länge zweier Dreiecksseiten bereits kennst, kannst du die dritte mithilfe des Satzes des Pythagoras ermitteln. Die oben beschriebenen Methoden sind jedoch praktischer, da sie nur die Länge einer der 30-60-90-Dreiecksseiten benötigen.

Die Seiten des 30-60-90-Dreiecks

Wenn wir die kürzere Kathete a kennen, können wir Folgendes herleiten:

  • b = a√3

  • c = 2a

Falls jedoch b, also die längere Kathete, angegeben ist:

  • a = b√3/3

  • c = 2b√3/3

Wenn die Hypotenuse c bekannt ist, sehen die anderen Längen wie folgt aus:

  • a = c/2

  • b = c√3/2

Alternativ kannst du einfach deine Werte in den 30-60-90-Dreiecksrechner eingeben, er erledigt den Rest!

Welche Eigenschaften hat ein 30-60-90-Dreieck?

Die wichtigste Eigenschaft dieses spezifischen Dreiecks ist, dass er einen rechten Winkel besitzt und seine Seiten stets in dem folgenden Verhältnis zueinander stehen a : a√3 : 2a. Ist doch leicht zu merken! Eine ungewöhnliche Eigenschaft dieses 30-60-90-Dreiecks ist zudem, dass es das einzige rechtwinklige Dreieck ist, dessen Winkel aus einer arithmetischen Folge besteht.

Was ist eine arithmetische Folge? Schau dir unseren arithmetische Folge Rechner an, um mehr zu erfahren!

Ein 30-60-90-Dreieck.
Zwei Dreiecke (zu einem Quadrat angeordnet). Das rote Dreieck ist das 30-60-90-Grad-Winkel-Dreieck.

🙋 Um mehr über andere außergewöhnliche rechtwinklige Dreiecke zu erfahren, kannst du bei unserem Rechner für spezielle rechtwinklige Dreiecke 🇺🇸 vorbeischauen!

Welche Verhältnisse können in 30-60-90-Dreiecke vorkommen?

In einem 30-60-90-Dreieck können folgende Verhältnisse vorkommen:

  • 1 : 2 : 3 für Winkel von (30° : 60° : 90°) und
  • 1 : √3 : 2 für die Seiten (a : a√3 : 2a).

30-60-90-Dreiecke in Form von Kacheln.

Wie man Werte für ein 30-60-90-Dreieck berechnet – hier ein Beispiel

Da du bereits die Eigenschaften eines 30-60-90-Dreiecks kennst, ist es höchste Zeit, dein Wissen in der Praxis anzuwenden!

  1. Gebe den vorgegebenen Wert in den Rechner ein. Nehmen wir an, wir wollen die Werte für das rote 30-60-90-Dreieck auf dem Bild berechnen und dass die Länge der Seite 11 cm beträgt.
  2. Nun erscheinen alle anderen Werte! Dank dieses 30-60-90-Dreiecksrechners weißt du, dass:
  • Die kürzere Kathete 6,35 cm lang ist – denn a = b√3/3 = 11 cm ∙ √3/3 ≈ 6,35 cm.
  • Die Hypotenuse 12,7 cm lang ist – weil c = 2b√3/3 = 2a ≈ 12,7 cm.
  • Die Fläche gleich 34,9 cm² ist – dies ergibt sich aus der Multiplikation der Kathetenlängen und der Division durch 2 Fläche = (a²√3)/2 ≈ 34,9 cm².
  • Der Umfang beträgt 30,05 cm – wenn du alle Seiten addierst, erhältst du das Ergebnis Umfang = a + a√3 + 2a = a(3 + √3) ≈ 30,05 cm.

FAQ

Wie finde ich die Kathetenlängen eines 30-60-90-Dreiecks, wenn die Hypotenuse gegeben ist?

Wenn die Hypotenuse eines 30-60-90-Dreiecks die Länge c hat, kannst du die Katheten wie folgt bestimmen:

  1. Teile die Länge der Hypotenuse durch 2.
  2. Multipliziere das Ergebnis aus Schritt 1 mit √3, also mit etwa 1,73.
  3. Die Zahl, die du in Schritt 1 erhalten hast, ist die kürzere Kathete deines Dreiecks.
  4. Die Zahl aus Schritt 2 ist die längere Kathete.

Was ist die Fläche eines 30-60-90-Dreiecks mit einer Hypotenuse gleich 10?

Die Fläche beträgt 21,65. Um dieses Ergebnis zu erhalten, benutze die Formel Fläche = a²√3/2, wobei a die kürzere Kathete deines Dreiecks ist. Denk daran, dass die kürzere Kathete die Hälfte der Hypotenuse ist, in unserem Fall also a = 10 / 2 = 5. Setzt man diesen Wert in die Flächenformel ein, erhält man Fläche = 25√3/2 ≈ 21,65.

Hanna Pamuła, PhD
Special right triangle: 30-60-90 triangle
a
in
b
in
c
in
Area
in²
Perimeter
in
Check out 19 similar triangle calculators 🔺
45 45 90 triangleArea of a right triangleCircumscribed circle… 16 more
People also viewed…

Chilled drink

With the chilled drink calculator, you can quickly check how long you need to keep your drink in the fridge or another cold place to have it at its optimal temperature. You can follow how the temperature changes with time with our interactive graph.

Cone volume

Der Kegelvolumen-Rechner bestimmt das Volumen von Kegeln und Kegelstumpfen.

Plastic footprint

Find out how much plastic you use throughout the year with this plastic footprint calculator. Rethink your habits, reduce your plastic waste, and make your life a little greener.

Polar decomposition

Efficiently master polar decomposition of a matrix with our calculator, designed for computing polar decomposition accurately and quickly. Try it today!