Arithmetische Folge Rechner

Dieser Rechner für arithmetische Folgen/ Reihen ist ein praktisches Hilfsmittel zum Analysieren einer Abfolge von Zahlen, die durch die wiederholte Addition eines konstanten Wertes entsteht. Du kannst damit jede Eigenschaft der Abfolge ermitteln — den ersten Term, die gemeinsame Differenz, den n-ten Term oder die Summe der ersten n Terme. Du kannst sofort loslegen oder weiter lesen, um zu erfahren, wie der Rechner funktioniert.

In diesem Artikel erklären wir dir die Definition arithmetischer Folgen, erläutern die Gleichung, die der Rechner verwendet, und zeigen dir die Formel, mit welcher du selber arithmetische Folgen finden kannst.
Zudem geben wir dir einen Überblick über die Unterschiede zwischen arithmetischen und geometrischen Folgen und gehen ein leicht verständliches Beispiel durch.

Um diese Frage zu beantworten, musst du zunächst wissen, was der Begriff Folge oder Reihe bedeutet. Laut Definition ist eine Folge in der Mathematik eine Sammlung von Objekten, wie z. B. Zahlen oder Buchstaben, die in einer bestimmten Reihenfolge stehen. Diese Objekte werden Elemente oder Terme der Folge genannt. Es kommt häufig vor, dass ein und dasselbe Objekt mehrmals in einer Folge vorkommt.

Eine arithmetische Folge ist auch eine Sammlung von Objekten — genauer gesagt, von Zahlen. Jede aufeinanderfolgende Zahl entsteht, indem eine konstante Zahl (die sogenannte gemeinsame Differenz) zur vorherigen addiert wird. Eine solche Folge kann endlich sein, wenn sie eine bestimmte Anzahl von Termen hat (zum Beispiel 20), oder unendlich, wenn wir keine Anzahl für die Terme festlegen.

Jede arithmetische Folge ist durch zwei Koeffizienten individuell definiert: die gemeinsame Differenz und den ersten Term. Wenn du diese beiden Werte kennst, kannst du die komplette, gesamte Folge aufschreiben.

Wenn du anfängst, dich mit dem Thema arithmetischer Folgen zu beschäftigen, ist es wahrscheinlich, dass du auf einige Verwirrungen stoßen wirst. Das liegt an den verschiedenen Namenskonventionen, die verwendet werden.

Zwei der gebräuchlichsten Begriffe sind arithmetische Folge und Reihe/ Sequenz. Die erste wird oft auch arithmetische Progression genannt, während die zweite auch Partialsumme genannt wird.

Der Hauptunterschied zwischen Folgen und Reihen besteht darin, dass eine arithmetische Reihe definitionsgemäß einfach die Sammlung von Zahlen ist, die durch die Addition der gemeinsamen Differenz entsteht. Eine arithmetische Folge hingegen ist die Summe von n Termen einer Reihe. Das kann zum Beispiel die Summe der ersten 12 Terme mit S₁₂ = a₁ + a₂ + ... + a₁₂ sein — eine perfekte Spirale.

Einige Beispiele für arithmetische Folgen sind:

• 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ..
• 6, 3, 0, -3, -6, -9, -12, -15, ..
• 50; 50,1; 50,2; 50,3; 50,4; 50,5; ..

Kannst du die gemeinsame Differenz jeder dieser Folgen finden? Tipp: Versuche, einen Term vom darauffolgenden Term zu subtrahieren.

Anhand dieser Beispiele für arithmetische Folgen kannst du feststellen, dass die gemeinsame Differenz keine natürliche Zahl sein muss — es kann auch ein Bruch oder eine negative Zahl sein!

Wenn die gemeinsame Differenz einer arithmetischen Folge positiv ist, nennen wir sie eine aufsteigende Folge. Wenn die Differenz negativ ist, ist die Folge natürlich absteigend. Was passiert, wenn die Differenz null ist? Nun, dann erhältst du eine monotone Folge, bei der jeder Term dem vorherigen entspricht.

Schauen wir uns diese Folge einmal genauer an:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Kannst du ableiten, was hier die gemeinsame Differenz ist?

Eigentlich solltest du dazu nicht in der Lage sein. Dies ist kein Beispiel für eine arithmetische Folge, sondern ein Spezialfall, der Fibonacci-Reihe genannt wird. Jeder Term wird durch die Addition der beiden vorherigen Terme gefunden. Interessant, nicht wahr? Wenn du mehr darüber wissen möchtest, schau dir den Fibonacci Rechner an. Es ist deine Zeit wert.

Eine tolle Anwendung der Fibonacci-Reihe ist das Konstruieren einer Spirale. Wenn du Quadrate mit Seitenlängen zeichnest, die den aufeinanderfolgenden Termen dieser Folge entsprechen, erhältst du eine perfekte Spirale.

Mathematiker haben die Fibonacci-Reihe schon immer geliebt! Wenn du eine Folge entdecken möchtest, die sie seit fast einem Jahrhundert in Angst und Schrecken versetzt, schau dir unseren Collatz-Problem Rechner 🇺🇸 an.

Nehmen wir an, du möchtest den 30-ten Term einer der oben genannten Folgen finden (außer der Fibonacci-Reihe natürlich). Die ersten 30 Terme aufzuschreiben, wäre mühsam und zeitaufwändig. Du hast aber sicher bemerkt, dass du sie nicht alle aufschreiben musst! Es reicht aus, wenn du 29 gemeinsame Differenzen zum ersten Term hinzufügst.

Lasst uns diese Aussage verallgemeinern, um die Gleichung der arithmetischen Folge zu formulieren. Das ist die Formel für jeden n-ten Term der Folge.

a_n = a₁ + (n−1)d,

wobei:

• a_n — der n-te Term der Folge ist;
• d — die gemeinsame Differenz ist; und
• a₁ — der erste Term der Folge ist.

Diese Formel für arithmetische Folgen gilt für alle gemeinsamen Differenzen, egal ob sie positiv, negativ oder gleich null sind. Bei einer Differenz von null sind natürlich alle Terme gleich, sodass keine Berechnungen erforderlich sind.

Unser Rechner für arithmetische Folgen kann auch die Summe der Reihe für dich ermitteln. Vertrau uns, du kannst das auch selber schaffen — es ist gar nicht so schwer!

Schau dir das erste Beispiel für eine arithmetische Folge an: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21. Wir könnten alle Terme schriftlich addieren, das ist aber nicht nötig. Versuchen wir, die Terme auf eine geordnete Weise zu summieren. Wir addieren den ersten und den letzten Term zusammen, dann den zweiten und den vorletzten, den dritten und den drittletzten, usw. Du wirst Folgendes schnell feststellen:

• 3 + 21 = 24
• 5 + 19 = 24
• 7 + 17 = 24

Die Summe jedes Paares ist immer 24. Das bedeutet, dass wir nicht alle Zahlen addieren müssen. Du musst nur den ersten und den letzten Term der Folge addieren und diese Summe mit der Anzahl der Paare (d. h. mit n/2) multiplizieren.

Mathematisch können wir das so schreiben:

S = n/2 · (a₁ + a).

Setze die Gleichung der arithmetischen Folge für den n-ten Term ein:

S = n/2 · [a₁ + a₁ + (n-1)d].

Nach der Vereinfachung erhalten wir:

S = n/2 · [2a₁ + (n-1)d].

Mit dieser Formel kannst du die Summe einer arithmetischen Folge ermitteln.

Wenn du nach der Summe einer arithmetischen Folge suchst, hast du wahrscheinlich bemerkt, dass du den Wert von n auswählen musst, um die Teilsumme zu berechnen. Was wäre, wenn du alle Terme der Folge aufsummieren möchtest?

Intuitiv ist die Summe einer unendlichen Anzahl von Termen gleich unendlich, egal ob die gemeinsame Differenz positiv, negativ oder sogar gleich null ist. Das ist aber nicht bei allen Arten von Folgen der Fall. Wenn du eine andere Folge auswählst, zum Beispiel eine geometrische Folge, kann sich die Summe bis unendlich als unendlicher Term herausstellen.

Unser Rechner für arithmetische Folgen ist natürlich nicht in der Lage, andere Arten von Folgen zu analysieren. Zum Beispiel hat die Folge 2, 4, 8, 16, 32, ... keinen gemeinsamen Teiler. Das liegt daran, dass es sich um eine andere Art von Folge handelt — eine geometrische Folge.

Was ist der Hauptunterschied zwischen einer arithmetischen und einer geometrischen Folge?
Während eine arithmetische Folge eine gemeinsame Differenz verwendet, um jeden aufeinanderfolgenden Term zu konstruieren, verwendet eine geometrische Folge ein Standardverhältnis. Das bedeutet, dass wir jeden Term jedes Mal mit einer bestimmten Zahl multiplizieren, wenn wir einen neuen Term erhalten möchten.

Ein interessantes Beispiel für eine geometrische Folge ist das sogenannte digitale Universum. Du hast wahrscheinlich schon gehört, dass sich die Menge der digitalen Informationen alle zwei Jahre verdoppelt. Das bedeutet, dass du die Zahlen, die die Datenmenge repräsentieren, in eine geometrische Folge schreiben kannst, wobei das Standardverhältnis zwei beträgt.

Du kannst auch eine besondere Art von Folge analysieren, die arithmetisch-geometrische Folge. Sie entsteht durch die Multiplikation der Terme zweier Folgen — einer arithmetischen und einer geometrischen.

Betrachte zum Beispiel diese zwei Folgen:

• Arithmetische Folge: 1, 2, 3, 4, 5, ..
• Geometrische Folge: 1, 2, 4, 8, 16, ..

Um den n-ten Term der arithmetisch-geometrischen Folge zu erhalten, musst du den n-ten Term der arithmetischen Folge mit dem n-ten Term der geometrischen Folge multiplizieren. In diesem Fall sieht das Ergebnis wie folgt aus:

• Erster Term: 1 · 1 = 1
• Zweiter Term: 2 · 2 = 4
• Dritter Term: 3 · 4 = 12
• Vierter Term: 4 · 8 = 32
• Fünfter Term: 5 · 16 = 80

Eine solche Folge wird durch vier Parameter definiert: den Ausgangswert der arithmetischen Folge a, die gemeinsame Differenz d, den Ausgangswert der geometrischen Folge b und das Standardverhältnis r.

Analysieren wir ein einfaches Beispiel, das mit der Formel für arithmetische Folgen gelöst werden kann. Wir werden uns das Beispiel des freien Falls genauer ansehen.

Ein Stein fällt im freien Fall in einen tiefen Schacht. In der ersten Sekunde bewegt er sich vier Meter nach unten. Jede weitere Sekunde wird die Entfernung, die er fällt, um 9,8 Meter größer. Wie groß ist die Entfernung, die der Stein zwischen der fünften und der neunten Sekunde zurücklegt?

Die zurückgelegte Entfernung folgt einer arithmetischen Folge mit einem Ausgangswert a = 4 m und einer gemeinsamen Differenz d = 9,8 m.

Zunächst ermitteln wir die gesamte Entfernung, die in den ersten neun Sekunden des freien Falls zurückgelegt wurde, indem wir die Teilsumme S₉ (n = 9) berechnen:

S₉ = n/2 · [2a₁ + (n-1)d] = 9/2 · [2 · 4 + (9–1) · 9,8] = 388,8 m.

In den ersten neun Sekunden legt der Stein insgesamt 388,8 m zurück. Uns interessiert aber nur die Entfernung, die von der fünften bis zur neunten Sekunde zurückgelegt wird. Wie berechnet man diesen Wert? Ganz einfach — wir müssen nur die in den ersten vier Sekunden der zurückgelegten Entfernung, S₄, von der Teilsumme S₉ abziehen.

S₄ = n/2 · [2a₁ + (n–1)d] = 4/2 · [2 · 4 + (4–1) · 9,8] = 74,8 m.

S₄ ist gleich 74,8 m. Jetzt können wir das Ergebnis durch einfache Subtraktion ermitteln:

Entfernung = S₉ – S₄ = 388,8–74,8 = 314 m.

Es gibt eine alternative Methode, um dieses Beispiel zu lösen. Du kannst die Formel für arithmetische Folgen verwenden, um die Entfernung zu berechnen, die in der fünften, sechsten, siebten, achten und neunten Sekunde zurückgelegt wird, und diese Werte zusammenzählen. Versuche es selbst — du wirst merken, dass das Ergebnis genau dasselbe ist!

Um den n-ten Term einer arithmetischen Folge zu finden, a_n:

1. Multipliziere die gemeinsame Differenz d mit (n-1).
2. Addiere dieses Produkt zum ersten Term a₁.
3. Das Ergebnis ist der n-te Term. Gut gemacht!
4. Alternativ kannst du auch die Formel: a_n = a₁ + (n-1) · d verwenden.

Subtrahiere zwei beliebige benachbarte Terme, um die gemeinsame Differenz der Folge zu erhalten. Du kannst alle nachfolgenden Terme verwenden, z. B. a₂-a₁, a₇-a₆, oder a₁₀₀-a₉₉. Wenn du nicht für alle Differenzen das gleiche Ergebnis erhalten hast, ist deine Folge keine arithmetische Folge.

Die gemeinsame Differenz ist 11. Du kannst sie berechnen, indem du ein beliebiges aufeinanderfolgendes Paar von Termen subtrahierst, z. B. a₂ - a₁ = -1 - (-12) = 11 oder a₄ - a₃ = 21 - 10 = 11.

Die Differenz zwischen benachbarten Termen ist für jede arithmetische Folge konstant, während das Verhältnis jedes aufeinanderfolgenden Paares von Termen für jede geometrische Folge gleich ist.

Um den nächsten Term der arithmetischen Folge zu erhalten, musst du eine gemeinsame Differenz zum vorherigen Term addieren.

Um den nächsten Term der geometrischen Folge zu erhalten, musst du den vorherigen Term mit einem Standardverhältnis multiplizieren.

Die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Zahlenpaaren muss identisch sein. Um zu prüfen, ob eine Folge arithmetisch ist, musst du die Differenzen zwischen den benachbarten Term-Paaren ermitteln. Wenn einer der Werte unterschiedlich ist, ist deine Folge nicht arithmetisch.