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Satz des Pythagoras Rechner

Created by Piotr Małek and Mateusz Mucha
Reviewed by Hanna Pamuła, PhD and Jack Bowater
Translated by Marcelina Wiśniewska
Last updated: Jan 30, 2024


Mit unserem Rechner für den Satz des Pythagoras kannst du die Länge einer der fehlenden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, wenn du die Längen der anderen beiden Seiten kennst. Dazu gehört auch die Berechnung der Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks und liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Bedenke, dass ein rechtwinkliges Dreieck einen 90-Grad-Winkel hat. Die beiden anderen Winkel müssen ebenfalls 90 Grad ergeben, da die Summe der Innenwinkel eines jeden Dreiecks 180 Grad beträgt. In diesem Text findest du eine Antwort auf die Frage: „Was ist der Satz des Pythagoras und wie wird er angewendet?“

Wie benutze ich den Rechner für den Satz des Pythagoras?

Der Rechner für den Satz des Pythagoras ist eines der am leichtesten zugänglichen Werkzeuge, die du finden wirst, auch wenn der Name etwas erschreckend klingt. Du brauchst nur zwei der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, und schon bist du bereit.

Schauen wir uns an, wie du unseren Rechner für den Satz des Pythagoras benutzen kannst.

  1. Gib den Schenkel a des rechtwinkligen Dreiecks ein.

  2. Als Nächstes gibst du den Schenkel b** des rechtwinkligen Dreiecks ein.

  3. Und das war's. Das Werkzeug zeigt die folgenden Ergebnisse an:

    a. Die Hypotenuse (c) des rechtwinkligen Dreiecks.

    b. Den Flächeninhalt des Dreiecks.

    c. Den Umfang des Dreiecks.

  4. Du musst nicht unbedingt die Schenkel a und b eingeben. Wenn du den Wert der Hypotenuse kennst und die Länge der anderen Schenkel wissen möchtest, gib die Informationen entsprechend ein.

  5. Die Standardeinheit ist Zentimeter (cm) für die Länge und cm² für den Flächeninhalt. Du kannst sie je nach deinen Bedürfnissen in eine der aufgeführten Optionen ändern. Denke daran, die Einheit zu ändern, bevor du die Werte eingibst.

Lass uns dies an einem Beispiel anschauen! Du steigst zum Beispiel eine Leiter auf dein Dach und bist neugierig über die Länge der Leiter. Du stellst fest, dass die Entfernung vom Dach zum Boden der Schenkel a und die Entfernung von der Wand zum Fuß der Leiter der Schenkel b ist. Die Leiter selbst ist die Hypotenuse. Du gibst die Maße als Schenkel a und b, 4 m bzw. 3 m, in das Tool ein. (Vergiss nicht, die Einheiten von Zentimetern in Meter zu ändern). Der Rechner bestimmt dann sofort die Hypotenuse als 5 m, den Flächeninhalt als 6 m² und den Umfang unseres imaginären Dreiecks als 12 m.

Wenn du neugierig auf eine Anordnung bist, die wie ein rechtwinkliges Dreieck aussieht, kannst du unseren Rechner für den Satz des Pythagoras benutzen, um die Längen der Schenkel zu bestimmen.

Was ist der Satz des Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras beschreibt, wie die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks in der euklidischen Geometrie zusammenhängen. Er besagt, dass die Summe der zum Quadrat genommenen Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Wenn die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks a und b sind und die Hypotenuse c ist, lautet die Formel:

a² + b² = c²

Der Lehrsatz wird dem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Pythagoras zugeschrieben, der im sechsten Jahrhundert vor Christus lebte. Obwohl er bereits von Indern und Babyloniern verwendet wurde, wird Pythagoras (oder seinen Schülern) zugeschrieben, der Lehrsatz als Erster bewiesen zu haben. Es gibt allerdings weder konkrete Beweise dafür, dass Pythagoras alleine an diesem Satz gearbeitet hat, noch, dass er ihn bewiesen hat.

Wie wende ich den Satz des Pythagoras an?

Hier erfährst du, wie du den Satz des Pythagoras anwenden kannst:

  1. Setze die zwei bekannten Längen in die Formel ein. Nehmen wir nun ein Beispiel, wo wir wissen, dass eine Kathete gleich a = 4 und die Hypotenuse c = 8,94 ist. Wir wollen also die Länge der anderen Katheten b herausfinden.
  2. Nachdem die Werte in die Formel eingesetzt wurden, haben wir 4² + b² = 8,94².
  3. Berechne das Quadrat jedes Wertes, um 16 + b² = 80 zu erhalten.
  4. Kombiniere ähnliche Terme, um b² = 64 zu erhalten.
  5. Berechne die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung, was b = 8 ergibt. Überprüfe das Ergebnis mit unserem Online-Rechner für den Satz des Pythagoras!

Bitte beachte, dass wenn du a oder b finden willst, du die Gleichung so umformen musst, dass die zu berechnende Variable alleine auf einer Seite steht. So kannst du die beiden anderen Werte aufaddieren und die Quadratwurzel berechnen.

Der Rechner für den Satz des Pythagoras berechnet die Seitenlängen auf gleiche Weise. Diese Methode haben wir mitintegriert, um dir zeigen zu können, wie du sie sonst per Hand berechnen könntest.

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Hypotenuse?

Um die Hypotenuse c zu berechnen, musst du nur den Satz des Pythagoras anwenden. Berechne einfach die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung a² + b² = c² womit du c erhältst. Dadurch erhalten wir c = √(a² + b²). Das ist nur eine Umformulierung des Satzes des Pythagoras und dient als Formel zur Berechnung der Hypotenuse.

Andere Überlegungen beim Umgang mit Dreiecken

Beachte, dass die Seiten eines Dreiecks eine bestimmte Steigung haben. Wir können den Steigungsrechner verwenden, um die Steigung jeder Seite zu bestimmen. Das Produkt der Steigung beider Seiten, die den rechten Winkel bilden, beträgt -1. Wenn du die Steigung schriftlich berechnen möchtest, lautet die Formel:

(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁).

Du kannst die fehlenden Seitenlängen und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks auch mit dem Rechtwinkliges Dreieck Rechner berechnen. Solltest du eine Aufgabe haben, wo der Winkel in Grad angegeben ist, du ihn jedoch in Bogenmaß brauchst (oder umgekehrt), dann kann dir unser Winkelrechner 🇺🇸 weiterhelfen. Es gibt einen einfachen Weg, Grad in Bogenmaß und Bogenmaß in Grad umzurechnen.

Wenn der Winkel im Bogenmaß angegeben ist:

  • Multipliziere den Wert mit 180/π.

Wenn der Winkel in Grad angegeben ist:

  • Multipliziere den Wert mit π/180.

Manchmal kann man auf ein Problem stoßen, indem zwei Längenangaben fehlen. In solchen Fällen hilft dir der Rechner für den Satz des Pythagoras nicht weiter – um die fehlenden Werte zu finden, musst du trigonometrische Funktionen verwenden. Aber keine Sorge! Wir haben einen hervorragenden Rechner für trigonometrische Funktionen 🇺🇸 für dich.

Die Entstehung des Rechner für den Satz des Pythagoras

In der Tat wären alle Mathebegeisterten froh, wenn sie Zugang zu einem Rechner für den Satz des Pythagoras hätten. Auch die Schülerinnen und Schüler, die ihre Hausaufgaben machen müssen, wären begeistert. Stell dir nun vor, wie glücklich Mateusz und Piotr waren, als sie beschlossen, ein Werkzeug für eines der bekanntesten Mathematik-Konzepte zu entwickeln, und das mit Erfolg.

Mateusz Mucha ist der Kopf hinter Omni Calculator. Seine tiefgründige Liebe zu Zahlen, mit strategischem Weitblick und operativem Fachwissen ist ein Beleg für seine Karriere. Er glaubt an eine praktische Herangehensweise in allen Aspekten des Lebens, egal ob als Firmenchef, bei der Entwicklung eines innovativen Rechners, digitalen Produkts oder der Teilnahme an einem Radmarathon. Strategisches Denken, Innovation und Liebe zum Detail sind nur einige der Fähigkeiten, die zu seinem Repertoire gehören.

Piotr Małek ist von Natur aus kreativ, sportlich und neugierig, was ihn zu einer Person mit bemerkenswerter Disziplin, hoher Glaubwürdigkeit und Entschlossenheit macht. Als Autor von Inhalten ist seine Fähigkeit, komplexe Themen mit einer märchenhaften Leichtigkeit zu erklären, wirklich faszinierend. Die vielfältigen Erfahrungen, die er im Laufe der Jahre gesammelt hat, seine intellektuelle Neugier und sein Lebensstil des ständigen Lernens machen ihn zu einer glaubwürdigen Stimme in jedem Bereich, den er erforschen möchte.

Wir legen besonderen Wert auf die Qualität unserer Inhalte, damit sie so genau und zuverlässig wie möglich sind. Jedes Tool wird von einem geschulten Experten begutachtet und anschließend von einem Muttersprachler Korrektur gelesen. Wenn du mehr über unsere Standards erfahren möchtest, sieh dir unsere Redaktionsrichtlinien an.

FAQ

Wie lang ist die Hypotenuse, wenn die Katheten gleich 7 und 9 sind?

Die Hypotenuse ist gleich 11,40.

Dafür musst den Satz des Pythagoras anwenden:

  1. Erinnere dich an die Formel: a² + b² = c² – wobei a und b die Katheten und c die Hypotenuse ist.
  2. Setze die Länge der Katheten in die Formel ein: 7² + 9² = c².
  3. Dies ergibt 49 + 81 = c², oder anders c² = 150.
  4. Wenn wir die Quadratwurzel berechnen, erhalten wir c = 11,40. Du kannst das Ergebnis mit unserem Online-Rechner für den Satz des Pythagoras überprüfen.

Welche Länge haben die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer Hypotenuse mit der Länge 10?

Jeder Schenkel hat eine Länge von 10/√2 ≈ 7,07. Um zu diesem Ergebnis zu kommen, müssen wir den Satz des Pythagoras anwenden:

  1. Erinnere dich an die Formel: a² + b² = c² – wobei a und b die Schenkel und c die Hypotenuse ist.
  2. In unserem Fall ist a = b, also lautet die Formel 2a² = c².
  3. Lösen wir die Gleichung für a, erhalten wir a = c/√2.
  4. Setzt man nun c = 10 ein, erhalten wir folgendes Ergebnis: a = 10/√2 ≈ 7,07.
Piotr Małek and Mateusz Mucha
A Pythagorean triangle with all sides marked
a² + b² = c²
a
cm
b
cm
c
cm
Area
cm²
Perimeter
cm
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