Gleichseitiges Dreieck Rechner

Der Rechner für gleichseitige Dreiecke hilft dir bei den Berechnungen der Standardparameter von Dreiecken. Egal, ob du den Flächeninhalt, die Höhe, den Umfang, den Umkreisradius oder den Innenradius des gleichseitigen Dreiecks suchst, mit diesem Tool bist du auf der sicheren Seite.

Scrolle nach unten, um mehr über die Formeln (z. B. zur Berechnung der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks) zu erfahren und zu lernen, was ein gleichseitiges Dreieck ist.

Ein gleichseitiges Dreieck, auch regelmäßiges Dreieck genannt, ist ein Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind. Was sind die anderen wichtigen Eigenschaften dieser besonderen regelmäßigen Form?

• Alle drei Innenwinkel sind kongruent zueinander und betragen jeweils 60°.
• Die Höhen, Winkelhalbierenden, Mittelsenkrechten und Mediane haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Das gleichseitige Dreieck ist ein Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks, bei dem nicht nur zwei, sondern alle drei Seiten gleich lang sind.

Die Formel für den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks ist gleich der Seitenlänge zum Quadrat, multipliziert mit der Quadratwurzel aus 3, geteilt durch 4:

Flächeninhalt = (a² · √3)/ 4.

Die Gleichung für die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks lautet:

h = a · √3 / 2, wobei a eine Seite des Dreiecks ist.

Aber weißt du auch, woher die Formeln kommen? Du kannst sie auf mindestens zwei Arten finden: durch Ableitung aus dem Satz des Pythagoras oder mithilfe der Trigonometrie.

1. Mit dem Satz des Pythagoras

• Die Grundformel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Seite a (Basis) multipliziert mit der Höhe h, geteilt durch 2:

  Flächeninhalt = (a · h) / 2.

• Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks wird abgeleitet, indem das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt wird. In unserem Rechtwinkliges Dreieck Rechner erfährst du mehr über rechtwinklige Dreiecke.

  Ein Schenkel dieses rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Höhe, der andere Schenkel ist die Hälfte der Seite und die Hypotenuse ist die Seite des gleichseitigen Dreiecks.

  (a/2)² + h² = a².

  Nach einfachen Umformungen erhalten wir eine Formel für die Höhe des gleichseitigen Dreiecks:

  h = a · √3 / 2.

• Setzt man h in die erste Flächenformel ein, erhält man die Gleichung für den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks:

  Flächeninhalt = a² · √3 / 4.

2. Verwende Trigonometrie

• Beginnen wir mit der trigonometrischen Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks:

  Flächeninhalt = (1/2) · a · b · sin(γ), wobei γ der Winkel zwischen den beiden Seiten ist.

• Wir erinnern uns daran, dass im gleichseitigen Dreieck alle Seiten und alle Winkel gleich sind, sodass sich die Formel vereinfacht:

  Flächeninhalt = 0,5 · a · a · sin(60°).

• Wir wissen zudem, dass der Sinus von 60° √3/2 ist, also lautet die Formel für den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks:

  Flächeninhalt = (1/2) · a² · (√3 / 2) = a² · √3 / 4.

  Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ergibt sich aus der Definition des Sinus:

  h / a = sin(60°), also:
  h = a · sin(60°) = a · √3 / 2.

Du kannst den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks ganz einfach ermitteln, indem du alle Seiten des Dreiecks addierst. Bei regelmäßigen Dreiecken sind alle Seiten gleich lang, also lautet die Formel für den Umfang:

U = 3 · a.

Wie findet man den Umkreisradius und den Innenradius?

Umkreisradius = 2 · h / 3 = a · √3 / 3.

Innenradius = h / 3 = a · √3 / 6.

Nehmen wir ein Beispiel aus dem Alltag: Wir möchten alle Parameter des Vorfahrtzeichens (das Straßenschild) finden.

1. Gib die Werte, die du gegeben hast, in die entsprechenden Felder des Rechners ein. Angenommen, das Schild hat eine Seitenlänge von 36 Zentimetern.

2. Der Rechner findet die anderen Werte im Handumdrehen. Jetzt wissen wir, dass:

   • Die Höhe des Schildes 31,2 cm ist;

   • Sein Flächeninhalt 561 cm² beträgt;

   • Der Umfang 108 cm beträgt;

   • Der Umkreisradius 20,8 cm; und

   • Der Innenradius 10,4 cm ist.

3. Werfe einen Blick auf andere Funktionen dieses flexiblen Tools. Aktualisiere den Rechner und gib einen anderen Parameter ein, z. B. den Umfang. Der Rechner funktioniert auch auf diese Weise. Ist das nicht cool?