Calculadora do Vértice da Parábola

Essa é a calculadora do vértice da parábola (também conhecida como calculadora da forma do vértice). Se você quiser saber como encontrar o vértice de uma parábola, este é o lugar certo. Além disso, nossa ferramenta ensina a você qual é a forma do vértice de uma equação quadrática e como derivar a equação da forma do vértice, assim como a própria equação do vértice.

E isso não é tudo! Essa calculadora também ajuda você a converter a forma padrão de uma equação do segundo grau para a equação do vértice de uma parábola, ou até mesmo o contrário. Tudo isso em um piscar de olhos!

O vértice de uma parábola é um ponto que representa o valor extremo de uma curva quadrática. A parte quadrática se deve ao fato de que a potência mais significativa de nossa variável (x) é dois. O vértice pode ser um mínimo (para uma parábola com concavidade voltada para cima) ou um máximo (para uma parábola com concavidade voltada para baixo).

Alternativamente, podemos dizer que o vértice é a interseção da parábola com seu eixo de simetria.

Normalmente, denotamos o vértice como um ponto P(h,k), em que h representa a coordenada x e k indica a coordenada y.

Isso é o suficiente em relação às definições. Mas como encontrar o vértice de uma função quadrática? Talvez você se surpreenda, mas não é necessário calcular nenhuma raiz quadrada para isso!

Sempre que nos deparamos com a forma padrão de uma parábola y = a · x² + b · x + c, podemos usar as equações das coordenadas do vértice:

h = -b/(2 · a)

k = c - b²/(4 · a)

Sabendo como encontrar essas proporções (por exemplo, com a calculadora de razão da Omni), podemos dar um passo adiante e perguntar: qual é a forma do vértice de uma parábola?

Intuitivamente, a forma da equação do vértice de uma parábola é aquela que inclui as coordenadas do vértice em seu interior. Podemos escrever a equação da forma do vértice como:

y = a · (x-h)² + k.

Como você pode ver, precisamos conhecer três parâmetros para escrever a forma do vértice. Um deles é a, o mesmo utilizado na forma padrão de uma equação do segundo grau. Ele nos diz se a parábola é côncava para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0). O parâmetro a nunca pode ser igual a zero quando presente na forma do vértice de uma parábola (ou de qualquer outra forma, estritamente falando).

Os parâmetros restantes, h e k, são as coordenadas do vértice. É daí que a equação da forma do vértice recebe seu nome.

Além disso, vale a pena mencionar que é possível desenhar um gráfico de função quadrática com apenas o parâmetro a e o vértice.

Se quiser converter uma equação quadrática na forma padrão para a forma do vértice, você pode usar o método de completar o quadrado (você pode ler mais sobre isso em nossa calculadora para completar o quadrado 🇺🇸). Vejamos como esse método funciona em nossa calculadora.

Para converter a forma padrão y = ax² + bx + c para a forma do vértice:

1. Extraia o a dos dois primeiros termos: y = a[x² + (b/a)x] + c

2. Adicione e subtraia (b/(2a))² no colchete: y = a[x² + (b/a)x + (b/(2a))² - (b/(2a))²] + c

3. Use a fórmula de multiplicação curta: y = a[(x + b/(2a))² - (b/(2a))²] + c

4. Expanda o colchete: y = a(x + b/(2a))² - b²/(4a) + c

5. Essa é a forma do vértice com h = -b/(2a) e k = c - b²/(4a)

Essa é uma maneira de converter para a forma do vértice a partir de uma forma padrão. A segunda (e mais rápida) opção é usar nossa calculadora da forma do vértice, a maneira que recomendamos! Você só precisa digitar os parâmetros a, b e c. Em seguida, o resultado aparece imediatamente na parte inferior da calculadora.

A calculadora da forma do vértice também pode funcionar de maneira inversa, encontrando a forma padrão da equação de uma parábola. Caso você queira saber como fazer isso manualmente usando a equação da forma do vértice, faremos uma explicação na próxima seção.

Para converter a forma do vértice para a forma padrão:

1. Escreva a equação da parábola na forma do vértice:

   y = a(x-h)² + k

2. Expanda a expressão entre colchetes:

   y = a(x² - 2hx + h²) + k

3. Multiplique os termos entre parênteses por a:

   y = ax² - 2ahx + ah² + k

4. Compare o resultado com a forma padrão de uma parábola:

   y = ax² + bx + c

5. Agora você já sabe qual é a forma padrão! Seus parâmetros são b = -2·a·h, c = a·h² + k

Há duas abordagens que você pode adotar para usar a calculadora do vértice da parábola da Omni:

• A primeira possibilidade é usar a forma do vértice de uma equação quadrática;

• A segunda opção é encontrar a solução ao mudar da forma padrão para a forma do vértice.

Já descrevemos a última opção na seção: “como converter a forma padrão para a forma do vértice?”. Vejamos o que acontece com a primeira:

• Digite os valores do parâmetro a e as coordenadas do vértice, h e k. Digamos que eles são a = 0,25, h = -17 e k = -54;

• Isso é tudo! Como resultado, você pode ver o gráfico da sua função quadrática, juntamente com os pontos que indicam o vértice, a interseção entre a reta e o eixo y e as posições dos mínimos (zeros).

Abaixo do gráfico, você pode encontrar as descrições detalhadas:

• Tanto o vértice quanto a forma padrão da parábola são: y = 0,25 · (x + 17)² - 54 e y = 0,25 · x² + 8,5 · x + 18,25 respectivamente;

• O vértice é: P = (-17, -54);

• A interseção entre a reta e o eixo y é: Y = (0, 18,25);

• Os valores dos zeros são: X₁ = (-31,6969, 0), X₂ = (-2,3031, 0). Caso você esteja curioso, arredondamos o resultado considerando uma precisão de quatro casas decimais.

Se você souber os parâmetros a, b e c da forma padrão de uma parábola, poderá encontrar as coordenadas do vértice h e k usando as fórmulas:

• h = -b/(2a); e
• k = c - b²/(4a).

Como alternativa, você pode obter a componente k do vértice a partir de uma equação do segundo grau da componente h, ou seja, k = a · h² + b · h + c.

A forma do vértice é y = a · (x - 2)² + 5, onde a é o parâmetro da equação do segundo grau na forma padrão. Para cada valor de a, você obtém uma parábola diferente, portanto, é necessário especificar a para obter um resultado definitivo.