Calculadora de Raiz

Bem-vindo à calculadora de raiz da Omni, onde analisaremos juntos a teoria e a prática de como calcular a raiz n-ésima de um número, também chamada de radical n-ésimo.

Começaremos com uma rápida explicação sobre o que é uma raiz na matemática e daremos alguns exemplos fáceis que você já deve ter visto, como a raiz quadrada de 2, a raiz quadrada de 3 ou a raiz cúbica de 4. Mas e se você quiser encontrar a raiz quarta? As anteriores foram bastante simples, mas o que é, digamos, a raiz quarta de 81? Não se preocupe, mostraremos a você em breve!

Sente-se, relaxe e aproveite o passeio pelo mundo dos radicais!

Todos nós conhecemos a multiplicação, certo? Como $12 \cdot 4 = 48$? Se quisermos multiplicar o mesmo número algumas vezes, podemos escrevê-lo em uma forma simplificada:

onde o fator $5$ é chamado de expoente e significa quantas cópias do número $12$ tomamos. Também chamamos essa operação de tomar a $5$-ésima potência de $12$. Você pode explorar essa operação matemática na calculadora de expoentes da Omni.

Uma raiz é a operação oposta. Para conectá-la ao significado biológico, quando olhamos para uma árvore adulta, vemos suas folhas e tronco, mas tudo é construído sobre suas raízes. E a história é muito parecida com os números: quando vemos o número $125$, a raiz nos mostrará o pequeno grão do qual ele se originou. Neste exemplo, isso nos mostrará que a semente é $5$ porque $5^3 = 125$.

Formalmente, a raiz $n\textrm{-ésima}$ de um número $a$ é o número $b$, de modo que:

Por exemplo, vamos dar uma olhada mais de perto em qual é a raiz quadrada de algum número. Suponha que você esteja construindo uma piscina no seu quintal. Você gostaria que ela fosse tão longa quanto larga e, no total, cobrisse uma área de $256\,m^2$. Como você pode descobrir qual deve ser o comprimento dos lados? É isso mesmo, calculando o radical! Nesse caso, ele deve ser a raiz quadrada da área, ou seja, a raiz quadrada de $256$.

E qual é a raiz quadrada desse número? Bem, vamos ver como você pode encontrá-la e como calcular a raiz quadrada em geral.

Às vezes, o cálculo da raiz na matemática pode se assemelhar a um jogo de adivinhação. Mas não é o mesmo que jogar dados com os olhos fechados e adivinhar o que você irá obter. É mais uma adivinhação calculada. Afinal, uma vez que sabemos que $3^4 = 81$, podemos dizer com segurança que a raiz $4^{\mathrm{a}}$ de $81$ é $3$. Mas você precisa saber isso primeiro.

Então, o que podemos fazer se esquecermos em casa a nossa tabela de bolso dos primeiros cem números e suas primeiras potências? É uma causa perdida? Felizmente, não. Ao menos não totalmente. Voltaremos a esse assunto em breve.

Como exemplo, mostraremos como calcular a raiz quadrada de $72$. Nossa principal ferramenta aqui será a fatoração de números primos, ou seja, a divisão de $72$ em suas menores partes possíveis.

No procedimento de fatoração de números primos, pegamos um número (no nosso caso, $72$) e encontramos o menor número primo que o divide. Lembre-se de que um número primo é um número inteiro que tem apenas dois divisores: $1$ e ele mesmo. É muito fácil ver que, para nós, será $2$, pois:

A próxima etapa é encontrar o menor número primo do resultado da divisão do número pelo número primo, ou seja, o número $36$. Se continuarmos assim até chegarmos a $1$, obteremos os seguintes números primos: $2$, $2$, $2$, $3$, $3$. Essa é a fatoração de números primos de $72$, e isso significa que:

Você não entendeu bem o que é a fatoração de números primos? Não se preocupe, é um problema matemático bastante interessante, às vezes difícil de resolver, até mesmo para computadores! Você pode aprender mais (na verdade, quase tudo) sobre isso na calculadora de fatoração de números primos 🇺🇸 da Omni.

Agora, podemos agrupar os fatores primos aos pares, assim, veremos que temos um par de $2$'s, um par de $3$'s e um único $2$. Isso nos permite escrever o radical quadrado de $72$ como:

Um olhar atento observará que os únicos números que permanecem sob a raiz são exatamente os solitários que não encontraram um par.

Mas e quanto ao $2$? Qual é a raiz quadrada de $2$? Bem, é disso que se trata o "não totalmente" que mencionamos antes. A raiz quadrada de $2$, a raiz quadrada de $3$, ou qualquer outro número primo nos leva de volta a um jogo de adivinhação. Felizmente, podemos usar nossa calculadora de raiz para descobrir que $\sqrt{2} \approx 1,\!4142$, o que nos dá:

Essencialmente, quando nos perguntam "qual é a raiz quadrada de...?,", devemos fazer primeiro a fatoração de números primos para decompor o problema e, se (como no exemplo acima) ficarmos com algum dígito pequeno no final, basta usar uma ferramenta como a calculadora de raiz para encontrá-lo.

"No entanto, e quanto aos radicais maiores? E se precisarmos, por exemplo, da raiz quarta de um número?" Bem, que conveniente você perguntar isso! Esse é exatamente o problema com o qual lidaremos na próxima seção.

Lembre-se que em nossa primeira seção você queria construir uma piscina. Agora suponha que você queira que a piscina tenha o formato de um cubo que comporte $1.728\,m^3$ de água. (Não nos pergunte por quê, talvez algo acima disso seja tributado de forma diferente).

Como você pode encontrar o lado desta piscina? Calculando a raiz cúbica do número (é daí que vem o nome raiz cúbica). Isso nos dirá que o comprimento deve ser:

Mas como chegamos lá? Felizmente, a principal ferramenta aqui é a mesma: fatoração de números primos. Se aplicarmos o procedimento a $1.728$, você irá obter isso:

Agora vem a diferença: em vez de pares, agrupamos os números em trios. É isso que o fator $3$ no símbolo da raiz sugere. Precisamos de potências de terços. Observe que as raízes quadradas são, de fato, radicais de ordem $2$, mas não escrevemos o $2$ porque... Bem, se não tivermos que fazer isso a partir de um tipo de raiz, é melhor que seja a mais simples. Isso é apenas convenção e tradição. Pense nisso como o equivalente matemático de assar um peru no dia de Natal.

De qualquer forma, voltando ao nosso problema, o agrupamento nos permite escrever:

Se você aumentar a ordem do radical, a mesma regra se aplica. Ao calcular a raiz quarta, agrupamos os números primos em quádruplos. Por exemplo, se você precisar da raiz $4^{\mathrm{a}}$ de $81$, primeiro observe que:

Portanto, temos quatro $3$'s. Isso significa que a raiz $4^{\mathrm{a}}$ de $81$ é igual a $3$. Caso precisemos da enésima raiz, usaremos grupos de elementos de $n$. E, se sobrar algum número após a fatoração, basta encontrar a raiz quadrada dele com alguma ferramenta externa, como nossa calculadora de raiz.

Muito bem, depois de todo esse tempo lendo a teoria, é hora de abordarmos um exemplo do dia a dia e ver a calculadora de raiz em ação, você concorda?

Parabéns, é um menino! Agora que você se tornou pai, decide começar cedo a economizar algum dinheiro para quando ele for para a faculdade. Você opta por pegar uma boa fatia de suas economias e deixá-la no banco pelos próximos dezoito anos para que o valor cresça junto com seu filho.

Suponha que você tenha conseguido guardar uma sólida quantia de $\text{R\textdollar} \, 8.000$ (chame essa quantidade de $\mathrm{inicial}$). Infelizmente, de alguma forma você esqueceu a taxa de juros sobre o investimento, mas o que está feito está feito. O valor no final será uma surpresa tanto para você quanto para seu filho.

O tempo passa, os anos se passam e, finalmente, chega a hora de presentear seu filho com o dinheiro que você economizou. Você liga para o banco e descobre que há $\text{R\textdollar} \,12.477,\!27$ na conta (chamaremos isso de variável $\mathrm{final}$). Nada mal, não é? Parece que você conseguirá realizar os sonhos do seu filho.

Mas, por pura curiosidade, podemos calcular a taxa de juros com os números que temos?

Claro que sim, e a calculadora de raiz nos ajudará!

Suponha que os juros foram adicionados à conta no final de cada ano e que o dinheiro não foi tributado (sim, sabemos que estamos indo um pouco longe demais). Então, o valor que recebemos no final é descrito pela fórmula:

onde a potência $18^{\mathrm{a}}$ vem dos dezoito anos que o dinheiro passou no banco: essa é a fórmula que você pode encontrar na calculadora de juros simples da Omni. Em nosso caso, isso se traduz em:

Se dividirmos ambos os lados por $\text\textdollar8,\!000$, você obterá esse valor:

Ou depois de uma aproximação:

Portanto, se tivermos a potência $18^{\mathrm{a}}$ à direita, precisamos encontrar o radical $18^{\mathrm{a}}$ do número à esquerda. Agora, isso é algo um pouco mais complicado do que a raiz quadrada de $3$, não é?

Vamos para nossa calculadora de raiz. Nela, temos dois números: $a$ e $n$. Quando olhamos para a figura simbólica, vemos que $n$ é a ordem da raiz, portanto, inserimos $n = 18$. Por sua vez, $a$ é o número sob o radical, portanto, digitamos $a = 1,\!5597$. Isso faz com que o calculador de raiz apresente a resposta como sendo:

Se traduzirmos o decimal em porcentagens, obteremos:

Parece bem pequeno, mas, oh, como cresceu em dezoito anos!

Muito bem, curiosidade satisfeita, é hora de você voltar ao bolo de aniversário. Vamos torcer para que seu filho faça bom uso do dinheiro e continue estudando.

Um método para estimar as raízes quadradas é chamado de método babilônico. Comece com uma estimativa da raiz quadrada e divida o número original por sua estimativa. Em seguida, faça uma média de sua estimativa e do resultado da divisão. Continue até que você obtenha a precisão necessária.

Por exemplo, para encontrar a raiz quadrada de 2:

1. Comece com uma hipótese de 1,5.
2. Divida 2 por 1,5, que é 1,3333.
3. Encontre a média de 1,5 e 1,3333, que é 1,4167.
4. Repita as etapas 2 e 3 até que o resultado atinja a precisão necessária.

Para encontrar a raiz cúbica de um número em uma calculadora comum, insira o número e pressione o botão ∛x. Em uma calculadora gráfica científica, pressione o botão ∛ e, em seguida, digite o número.

Para encontrar raízes superiores em uma calculadora comum, digite a ordem da raiz, pressione o botão ^y√x e, por fim, o número. As etapas são as mesmas em uma calculadora científica, embora o botão possa ser rotulado como ^x√.

Para calcular a raiz quadrada de um número no Excel ou no Google Sheets, use a função SQRT(). Por exemplo, para calcular a raiz quadrada de um número na célula A1, insira a fórmula =SQRT(A1).

Oito. Isso porque, se multiplicarmos 8 por ele mesmo, o resultado será 64. Tirar a raiz quadrada de um número significa encontrar o número que, quando multiplicado por ele mesmo, retorna o número original.

No caso do número 64, como sua raiz quadrada é um número inteiro, 64 é chamado de quadrado perfeito. Isso ocorre porque ele pode ser representado por um conjunto de 64 objetos em um quadrado cujos lados têm comprimento de 8 objetos.