Calculadora do Triângulo de Pascal

Boas-vindas à calculadora do triângulo de Pascal da Omni, onde você aprenderá como e por que usar o triângulo de Pascal. Não se preocupe; esse conceito não requer fórmulas de área ou cálculos de unidades, como em um triângulo típico. O que é o triângulo de Pascal, então? Bem, é uma maneira simples de calcular o número de combinações e visualizar a expansão binomial. Mas antes de começarmos a descrever os padrões do triângulo de Pascal, vamos começar com o básico.

O triângulo de Pascal é uma tabela de números na forma de um triângulo equilátero, onde o k-ésimo número na n-ésima linha informa a você quantas combinações sem repetição 🇺🇸 de elementos k existem em um conjunto de n elementos. Seu nome é uma homenagem ao matemático francês Blaise Pascal.

(Observe que seguimos a convenção de que a linha superior, aquela com um único número 1, é considerada a linha zero, enquanto o primeiro número em uma linha, também igual a 1, é considerado o 0º número dessa linha). Dessa forma, a n-ésima linha, como um todo, conta todos os subconjuntos possíveis de um conjunto de n elementos. Não importa a aplicação escolhida, sejam filmes para uma maratona de cinema, países europeus para visitar neste verão ou ingredientes da sua geladeira para o jantar de amanhã, a definição de combinações sempre permanece verdadeira.

Cada número mostrado em nossa calculadora do triângulo de Pascal é dado pela fórmula que seu professor de matemática chama de coeficiente binomial (aquele conhecido como nCr na calculadora de distribuição binomial). O nome não é muito importante, mas vamos ver como é o cálculo. Se você denotar o número de combinações de k elementos de um conjunto de n elementos como C(n,k), então:

C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!)

O ponto de exclamação acima é o que os matemáticos chamam de “fatorial”, definido como o produto de todos os números até e incluindo n, ou seja, você pode usar o fatorial para obter um número maior do que o número de números que você deseja:

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Digamos que você esteja preparando uma maratona de filmes para você e seu parceiro. Você tem uma lista de seus vinte filmes favoritos e seu parceiro pediu que você escolhesse três que ele talvez gostasse. Bem, esses são os melhores filmes que existem, portanto, é claro que ele gostará de cada um deles, e não importa quais você escolher. Além disso, a ordem em que você os assiste também não importa. Então, quantas opções você tem?

O número que você procura é o terceiro número da vigésima linha, 1140. Mágica? Não exatamente, apenas matemática (mas, pensando bem, será que são tão diferentes assim?). De fato, de acordo com a fórmula do triângulo de Pascal, esse número corresponde à expressão C(20,3), que é o número de triplas de um conjunto de vinte elementos. Ou, em nosso caso, o número de maneiras pelas quais podemos escolher três filmes em uma pilha de vinte.

Blaise Pascal se concentrou em várias propriedades triangulares interessantes. De fato, o número de combinações, que é codificado como números individuais em linhas consecutivas, já era conhecido em sua época. Entretanto, o triângulo é frequentemente introduzido usando uma regra muito mais simples. Observe que, além dos números 1 nas extremidades do triângulo, cada um dos outros números é a soma dos dois que estão diretamente acima dele.

Essa é precisamente a observação (ou propriedade, se você preferir) que é frequentemente usada para construir o triângulo. Usando a fórmula do triângulo de Pascal, podemos descrever essa observação:

C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)

Em particular, observe o segundo número a partir da esquerda em cada linha. Cada um deles tem um à sua esquerda superior, e à sua direita superior está o número da linha anterior. Portanto, a soma deles é um mais o número da linha anterior (o conceito básico por trás da nossa calculadora de progressão aritmética), e o resultado é a linha em que estamos.

Outro dos vários padrões interessantes do triângulo de Pascal é sua simetria. Observe que, em qualquer linha, se você ler os números consecutivos da esquerda, obterá o mesmo resultado que obteria se os lesse da direita. Novamente: isso é mágica ou matemática? Bem, vamos tentar entender o que está acontecendo aqui.

Por definição, o número no k-ésimo lugar da n-ésima linha mostra quantas maneiras podemos escolher k elementos de um conjunto de n elementos. Mas e se, em vez disso, apontássemos os elementos que não escolhemos? Isso pode parecer um pouco vago, então, por que não mostramos a você um exemplo?

Lembra do exemplo da seção “Como usar o triângulo de Pascal?”, em que queríamos escolher três filmes para assistir de uma lista de vinte? E se for difícil escolher os três que você mais quer ver? Talvez seja mais fácil eliminar um a um aqueles que você não tem vontade de assistir? Certamente, se eliminarmos dezessete deles, ficaremos com a nossa escolha de três. Isso é exatamente o que descrevemos acima, em vez disso, escolhemos dezessete que não queremos assistir. Escrevendo este vínculo usado a fórmula do triângulo de Pascal, temos:

C(n,k) = C(n,n-k)

o que, para nós, significa que o número no k-ésimo ponto contado a partir da esquerda é o mesmo que o número no k-ésimo ponto ao contar a partir da direita para qualquer linha n.

Em termos matemáticos, a resposta para “O que é o triângulo de Pascal?” é apenas isso: expansão binomial. Não se preocupe; não estamos aqui para parecer presunçosos usando palavras e símbolos sofisticados quando uma explicação simples é suficiente. Para o benefício de todos, mostraremos a você, por meio de um exemplo real, como responder a essa pergunta, explicando como usar a calculadora do triângulo de Pascal ao longo do caminho.

Digamos que sua cadela terá filhotes, e você sabe que serão seis, mas não sabe o sexo deles. Se numerarmos os filhotes na ordem em que eles vierem ao mundo, podemos começar a pensar na probabilidade de qual será o sexo deles. Certamente, seis machos não são tão prováveis quanto, por exemplo, dois machos e quatro fêmeas. Isso ocorre porque os dois machos podem vir como os dois primeiros filhotes, ou os dois últimos, ou os dois do meio, etc., e, portanto, há muito mais combinações para que isso aconteça.

Certo, agora vem a parte complicada. Tentaremos convencer você de que os filhotes podem ser descritos por um símbolo (x + y)⁶. Para ver isso, associe x a “macho” e y a “fêmea” Agora, observe a expansão:

(x + y)⁶ = (x + y) × (x + y) × ... × (x + y).

Como fica cada termo da equação depois que expandimos a expressão acima? Em nosso exemplo, esse procedimento significa determinar o sexo de cada um dos seis filhotes, um por um. Neste caso, o produto x² × y⁴, corresponde a escolher duas vezes x e quatro vezes y, que pode ser traduzido em uma ninhada de dois machos e quatro fêmeas.

Agora vamos analisar a expansão após a multiplicação e reorganizar os monômios semelhantes:

(x + y)⁶ = x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³+ 15x²y⁴ + 6xy⁵ + y⁶.

Os coeficientes que multiplicam cada um dos monômios acima são os números de possíveis combinações de cada um dos cenários.

Podemos comparar o resultado acima com o sexto nível do triângulo de Pascal, retornado pela nossa calculadora:

1 6 15 20 15 6 1.

Esses números correspondem aos coeficientes na expansão acima. Em outras palavras, o sexto (ou n-ésimo, em um caso geral) nível do triângulo corresponde aos coeficientes de (x + y)⁶ (respectivamente: à potência n) em sua expansão binomial. E isso, como vimos em nosso exemplo dos filhotes, pode ser aplicado em problemas da vida real.

Se você quiser calcular uma linha do triângulo de Pascal:

1. Comece escrevendo a parte superior do triângulo: a zerésima linha contém um único 1.

2. Em seguida, a primeira linha contém dois 1.

3. Todas as demais linhas seguem o mesmo princípio: escreva um 1 no início e no final. Cada um dos números ausentes é a soma dos dois números que estão diretamente acima dele (na linha anterior).

4. Siga essas regras até obter a linha de que você precisa.

A soma dos números da n-ésima linha do triângulo de Pascal é igual a 2ⁿ. De fato, verificamos facilmente que as somas subsequentes são 1, 2, 4, 8, 16, etc. Isso decorre do fato de que o conjunto de n elementos tem 2ⁿ subconjuntos.

A sétima linha do triângulo de Pascal é 1 7 21 35 35 21 7 1.

A décima linha do triângulo de Pascal é 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1.